TOPOLOGIE ALG´ EBRIQUE DES VARI´ ET´ ES II EXAMEN DU 21 F´ EVRIER 2020
L’examen dure trois heures, les notes de cours sont autoris´ ees. Les questions marqu´ ees * sont plus difficiles et hors bar` eme.
Exercice 1: Action de Z
p× Z
psur S
nSoit p un nombre premier et n > 0. On note Z
ple groupe Z /p Z et L
nple quotient de S
2n−1⊂ C
npar l’action de Z
psuivante:
[k].(z
1, . . . , z
n) = (exp(2iπk/p)z
1, . . . , exp(2iπk/p)z
n).
L’application (z
1, . . . , z
n) 7→ (z
1, . . . , z
n, 0) induit une inclusion L
np→ L
n+1p. 1. Montrer que la paire (L
n+1p, L
np) est (2n − 1)-connexe.
2. D´ eduire du point pr´ ec´ edent et de la dualit´ e de Poincar´ e les groupes H
k(L
np, Z
p), puis H
k(K ( Z
p, 1), Z
p) pour tout k ∈ N .
On suppose que Z
p× Z
pagit librement sur S
n.
3. Construire un K( Z
p× Z
p, 1) ` a partir du quotient de S
net en d´ eduire que H
n+1(K( Z
p× Z
p, 1), Z
p) est de dimension 1 au plus.
4. Conclure qu’une telle action n’existe pas.
Exercice 2: Structures presque complexes
Soit M une vari´ et´ e diff´ erentiable. Une structure presque complexe est une sec- tion diff´ erentiable J de End(T M) v´ erifiant J
2= − Id.
1. Montrer que si la vari´ et´ e M admet une telle structure, elle est n´ ecessairement de dimension paire et orientable.
2. Pour un espace vectoriel V orient´ e de dimension 2n, on note J (V ) = {J ∈ End(V ), J
2= −1, J > 0}
o` u J > 0 signifie qu’il existe v
1, . . . , v
n∈ V tel que v
1, J v
1, . . . , v
n, J v
nsoit une base positivement orient´ ee. Montrer que J
n= J ( R
2n) est homotopiquement
´
equivalent ` a SO(2n)/U(n).
3. On admet avoir le diagramme commutatif suivant ou les fl` eches verticales sont des isomorphismes (d´ emontrez le s’il vous reste du temps)
U (2)
//
SO(4)
S
1× SU
2/ ∼
//SU
2× SU
2/ ∼
1
2 TOPOLOGIE ALG ´EBRIQUE DES VARI ´ET ´ES II EXAMEN DU 21 F ´EVRIER 2020
o` u (x, y) ∼ (−x, −y) et S
1⊂ SU
2correspond aux matrices diagonales. En d´ eduire π
k(J
2) pour k ≤ 3.
4*. Montrer que l’action de π
1(M ) sur π
k(J
2) est triviale pour k ≤ 3.
5. Montrer que pour mettre une structure presque complexe sur une vari´ et´ e ori- entable de dimension 4, il y a deux obstructions: α ∈ H
3(M, Z ) et β ∈ H
4(M, Z ).
6*. Montrer que α est nul si et seulement si w
2(M ) est repr´ esent´ e par une classe enti` ere, o` u w
2(M ) ∈ H
2(M, Z /2 Z ) est la premi` ere obstruction ` a trivialiser le fibr´ e tangent de M .
Exercice 3: Premiers groupes d’homologie des groupes Soit 1 → A → B → C → 1 une suite exacte de groupes.
1. Montrer qu’on peut choisir des espaces K(A, 1), K(B, 1), K(C, 1) de sorte qu’il y ait une fibration p : K(B, 1) → K (C, 1) de fibre K(A, 1).
2. On note H
k(A) = H
k(K(A, 1), Z ). Montrer qu’il existe une suite exacte
H
2(B) → H
2(C) → H
0(C, H
1(A)) → H
1(B) → H
1(C) → 0 3. D´ ecrire le groupe H
0(C, H
1(A)) en terme de l’extension A → B → C.
4*. Soit G un groupe donn´ e par une pr´ esentation G = F/R o` u F est un groupe libre. Montrer qu’on a l’isomorphisme suivant (dˆ u ` a Hopf)
H
2(G) = [F, F ] ∩ R/[F, R].
Exercice 4: Fibr´ e en surface sur une surface
Soit S
1et S
2deux vari´ et´ es compactes orient´ ees de dimension 2 de points bases respectifs x
1, x
2et de genres respectifs g
1, g
2.
On note π = π
1(S
1, x
1) et on se donne un morphisme ρ : π → Homeo(S
2) v´ erifiant que pour tout γ ∈ π, ρ(γ) pr´ eserve l’orientation de S
2et fixe x
2.
On note M = S e
1× S
2/π o` u π agit par γ.(x, y) = (γ.x, ρ(γ)y).
1. Montrer que M est une vari´ et´ e compacte orientable de dimension 4 et qu’il existe une fibration p : M → S
1de fibre S
2.
Dans toute la suite, on munit les groupes H
q(S
2, Q ) d’une structure de Z [π]- module en posant γ.x = ρ(γ)
∗x.
2. Soit d = dim H
0(S
1, H
1(S
2, Q )). Calculer les dimensions de tous les groupes H
p(S
1, H
q(S
2, Q )) en fonction de d.
1.
3. Calculer les dimensions de H
p(M, Q ) pour tout p en fonction de g
1, g
2et d.
On pourra montrer que le morphisme de transgression est nul.
4. D´ eterminer en fonction de ρ la torsion dans chaque groupe H
p(M, Z ).
5*. Calculer la signature de M en fonction de celle de la forme quadratique
“double cup-produit” d´ efinie sur H
1(S
1, H
1(S
2, Q )).
1On utilisera librement la dualit´e de Poincar´e `a coefficients tordus `a savoir Hk(S1, M) ' H2−k(S1, M) pour toutZ[π]-moduleM.
