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Montrer que la courbure alg´ebrique en un point p=f(t) est donn´ee par k(p

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Universit´e Bordeaux1 N1MA6011 G´eom´etrie Diff´erentielle

Devoir Surveill´e 1, dur´ee 1h30

Exercice 1 (Cours). On consid`ere dansR2 orient´e un arc g´eom´etrique orient´eA r´egulier.

(1) Donner la d´efinition de la courbure alg´ebrique deA en un pointp∈A.

(2) On suppose que (I, f) est un param´etrage (quelconque) de A. Montrer que la courbure alg´ebrique en un point p=f(t) est donn´ee par

k(p) = det(f0(t), f00(t)) kf0(t)k3 .

Exercice 2. (1) Rappeler les deux mani`eres de d´efinir la longueur d’un arc g´eom´etrique de classe C1 deRn.

(2) Montrer que l’arc f :]0, π[→R2,f(t) = (t, tsin(1/t)), est de longueur infinie.

Exercice 3. Soit 0< r < ades r´eels etM ⊂R3 l’ensemble des points (x, y, z) tels que

(p

x2+y2−a)2+z2=r2.

(1) Montrer que M est une sous-vari´et´e de dimension2 deR3. (2) Quelle est cette surface ? Dessiner l`a.

Exercice 4 (Sph`ere surosculatrice). On consid`ere dans R3 orient´e c : I→R3 de classe C, bir´egulier param´etr´e par longueur d’arc. On note (−→τ ,−→ν ,−→

β) le rep`ere de Frenet, K la courbure et T la torsion. On suppose queT 6= 0 partout sur I. On appellesph`ere surosculatrice `ac en c(s) la sph`ere de centre

m(s) =c(s) + 1 K(s)

→ν(s) + K0(s) T(s)K2(s)

→β(s). (1)

et de rayon r(s) =d(m(s), c(s)). La sph`ere surosculatrice en un point c(s0) est caract´eris´ee par la propri´et´e que s7→d(m(s0), c(s))a ses d´eriv´ees d’ordrek >0nulles jusqu’`a l’ordre k= 3 ens0.

(1) Rappeler les relations de Frenet (on ne demande pas de les montrer).

(2) Montrer que

m0(s) =

−T K(s) +

K0 T K2(s)

0 β(s).

(3) D´eduire de la question pr´ec´edente que c est sur une sph`ere si et seulement si

T K =

K0 T K2

0

.

DS 1, jeudi 7 mars 2013 11h-12h30 S6, 2012-2013

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