Construction de Volodin pour les alg`ebres de Lie Notes d’expos´e du groupe de travail Topologie Alg´ebrique (Nantes) Salim RIVIERE F´evrier 2012

Construction de Volodin pour les alg`ebres de Lie

Notes d’expos´e du groupe de travail Topologie Alg´ebrique

(Nantes) Salim RIVIERE

F´evrier 2012

On fixe un corps F de caract´eristique nulle, toutes les alg`ebres et alg`ebres de Lie sont suppos´ees ˆetre des F-espaces vectoriels.

1 Construction de Volodin associ´ ee ` a une famille de sous-alg` ebres de Lie

1.1 Rappel sur l’hyperhomologie

SoitF :A → B un foncteur exact `a droite entre deux cat´egories ab´eliennes. SiAa assez de projectifs, il est possible de d´efinir les foncteurs d´eriv´es deF, not´esLⁿF, en posant

LⁿF(M) :=Hn(F P_∗)

o`u M est un objet de Aet P<sub>∗</sub> →M est une r´esolution projective de M. Cette d´efinition peut ˆetre ´etendue `a tout complexeM_∗d’objets deA(born´e inf´erieurement) pour d´efinir un foncteurhyperd´eriv´edeF, not´eLⁿF via

LⁿF(M_∗) :=Hn(Tot_∗(P_{∗ ∗}))

o`uP<sub>∗ ∗</sub>est une r´esolution de Cartan-Eilenberg deM<sub>∗</sub> c’est-`a-dire un bicomplexe d’objets projectifs muni d’aug- mentationsε:Pp∗→Mp tel que

– εinduise une r´esolution projective entre l’homologie horizontale deP∗ ∗ et l’homologie deM∗ (degr´e par degr´e) i.e.H_p^h(ε) :H_p^h(P∗ ∗)→Hp(M∗) est une r´esolution projective

– Mˆeme condition sur les espaces de bords i.e.Z_p^h(P∗,∗)→Zp(M∗) est une r´esolution projective.

Il est possible de d´emontrer que les deux conditions pr´ec´edentes impliquent que les colonnes de Pp∗ sont n´ecessairement des r´esolutions projectives de chaque M_p est que le complexe Tot∗(P_{∗ ∗}) est une r´esolution projective deM_∗dans la cat´egorie des complexes de chaˆınes d’objets deA. Comme le foncteur hyperd´eriv´eLⁿF se calcule `a l’aide du complexe total d’un bicomplexe, il est l’aboutissement d’une suite spectrale :

Proposition 1.1.1. Il existe une suite spectrale dite d’hyperhomologie E²_{p q}=L^pF(Hq(M_∗))⇒L^p+qF(M_∗)

1.2 Construction de Volodin

Soitgune alg`ebre de Lie et{gi}<sub>i∈I</sub> une famille de sous alg`ebres de Lie deg. On noteP_∗(gi) :=Ugi⊗Λ^∗gi

la r´esolution de Chevalley-Eilenberg de chaque gi (Ugi est l’alg`ebre enveloppante degi) etC<sub>∗</sub>(gi) := Λ<sup>∗</sup>gi son complexe d’homologie `a coefficients triviaux.

D´efinition 1.2.1. Le complexe de Volodin associ´e `a (g,{g_i}_i∈I), not´e v_∗(g,{g_i}_i∈I), est le sous-complexe deUg-modules libres deP_∗(g)d´efini par

v_∗(g,{gi}i∈I) :=X

i∈I

Ug⊗UgiP_∗(g_i)⊂P_∗(g)

Remarque 1.2.2. Chaquevn(g,{gi}_i∈I)est unUg-module libre carP

i∈IΛⁿgi est libre surF et vn(g,{gi}i∈I)∼=Ug⊗ X

i∈I

Λⁿgi

!

L’homologie deg`a coefficients dans unUg-modulemest l’homologie du complexe ˜P<sub>∗</sub>(g)⊗Ugmo`u ˜P_∗(g) :=

Λ^∗g⊗Ugest la r´esolution projective de Chevalley-Eilenberg `a droite du Ug-module `a droite F, ce qui montre qu’elle correspond au foncteur d´eriv´e du foncteurF :=F⊗Ug−. En d’autres termes

H∗(g;m) =L^∗F(m)

L’hyperhomologie deg`a coefficients dans unUg-module diff´erentiel gradu´em_∗ peut donc ˆetre d´efinie en posant H∗(g;m_∗) :=L^∗F(m_∗)

En appliquant l’existence de la suite spectrale d’hyperhomologie au cas o`u m_∗=v_∗(g,{gi}i∈I) il vient Proposition 1.2.3. Il existe une suite spectrale

E_{p q}² =H_p(g;H_q(v_∗(g,{gi}i∈I)))⇒Hp+q(g;v_∗(g,{gi}i∈I)) =H_p+q X

i∈I

C_∗(g_i)

!

(1) D´emonstration. La suite exacte d’hyperhomologie a d´ej`a ´et´e introduite. Il reste `a voir que son aboutissement est bienH_∗ P

i∈IC_∗(gi)

. Or, comme les composantes homog`enes dev<sub>∗</sub>(g,{gi}<sub>i∈I</sub>) sontUg-libres, en calculant le (bi)foncteur hyperd´eriv´e du produit tensoriel par rapport `a sa variable de droite (car le produit tensoriel

− ⊗Ug−est “well-balanced” au sens de Cartan-Eilenberg et doncL^∗F(F) =L^∗G(M) pour toutg-moduleM, o`uG:=F⊗Ug−), on peut choisirv<sub>∗</sub>(g,{gi}<sub>i∈I</sub>) comme r´esolution de lui-mˆeme ce qui conduit `a

H∗(g;v_∗(g,{g_i}_i∈I)) =H_∗(F⊗_Ugv_∗(g,{g_i}_i∈I))∼=H_∗ X

i∈I

C_∗(g_i)

!

Le complexe de Volodin est fonctoriel dans le sens de la proposition suivante :

Proposition 1.2.4. Si (g,{g_i}_i∈I) est une paire (alg`ebre de Lie, famille de sous-alg`ebres), (g⁰,{g⁰_j}_j∈J) une autre paire, etf :g→g⁰ est un morphisme d’alg`ebre de Lie tel que

∀i∈I,∃j∈J, f(gi)⊂g⁰_j

alorsf induit un morphisme de complexes de chaˆınes entre les constructions de Volodin v_∗(f) :v_∗(g,{gi}_i∈I)→v_∗(g⁰,{g⁰_j}_j∈J)

qui induit lui-mˆeme un morphisme entre les suites spectrales (1) correspondantes.

1.3 R´esolution simpliciale de v∗(g,{g_i}i∈I)

SoitM un espace vectoriel et{Mi}_i∈I une famille de sous-espaces vectoriels de M. On peut alors associer

`

a la paire (M,{Mi}i∈I) un espace vectoriel simplicialS•(M,{Mi}i∈I) dont lesn-simplexes sont donn´es par S_n(M,{M_i}_i∈I) := M

(i₀,···i_n)∈Iⁿ⁺¹

M_i0···in

o`uM_i0···in d´esigne le sous-espaceM_i0∩M_i1∩ · · · ∩M_in. L’op´erateur face∂_k est donn´e par l’inclusion du facteur direct M_i0···in ⊂S_n(M,{Mi}i∈I) dans le facteur directM_i

0···iˆ_k···i_n ⊂S_n−1(M,{Mi}i∈I). La d´eg´en´erescences_k est sur ce mˆeme facteur M_i0···in l’application l’identit´e M_i0···in → M_{i0···ikik···in}. De plus, S_•(M,{Mi}i∈I) est muni d’une augmentation

S₀(M,{Mi}i∈I) =M

i∈I

M_i−→X

i∈I

M_i⊂M

D´efinition 1.3.1. La famille {Mi}_i∈I est dite bien configur´ee lorsqu’il existe une bonne base {es}_s∈S de M, c’est `a dire telle que chaque Mi soit engendr´e par une partie de cette base (i.e. il existe pour chaque i, Si⊂S, tel que {es}_s∈Si est une base deMi).

Proposition 1.3.2. Si la famille {Mi}i∈I est bien configur´ee, alors l’espace vectoriel simplicial augment´e S•(M,{Mi}i∈I)→P

i∈IMi est acyclique.

D´emonstration. Soit {es}s∈S une bonne base. Alors S_•(M,{Mi}i∈I) = FS_•, o`u S_• est l’ensemble simplicial engendr´e par la famille{Si}i∈I de sous-ensemble deS dont len-simplexes sont donn´es par

Sn:={(i0,· · · , in, s), ik∈I, s∈Si₀∩ · · · ∩Si_n} L’augmentationS0(M,{Mi}i∈I) =−→P

i∈IMi correspond alors `a la projection S0=a

i∈I

Si→[

i∈I

Si⊂S

Or, pour chaque s dans ∪_i∈IS_i, la composante connexe de S_• au dessus de s est exactement l’ensemble simplicialP_•(Is) dont lesn-simplexes sont donn´es par

Pn(Is) :=I_s^×(n+1)

o`uI_s:={i∈I, s∈S_i}. Or il est bien connu que pour tout ensembleX, P_•(X) est contractile. Il s’ensuit que S_•(M,{M_i}_i∈I)→P

i∈IM_i est acyclique puisque l’homologie deS_•(M,{M_i}_i∈I) est concentr´ee en degr´e 0 et contient exactement autant de copies deFque l’ensemble∪_i∈ISi.

En appliquant la proposition pr´ec´edente degr´e par degr´e, il apparaˆıt que le complexe de Volodin associ´e `a une famille de sous-alg`ebres de Lie {gi}i∈I d’une alg`ebre de Lie gbien configur´ee est lui-mˆeme bien configur´e et admet donc une r´esolution simpliciale par des complexes de chaˆınes de la forme

M

i∈I

Ug⊗UgiP_∗(g_i)⇔ M

(i₀,i₁)

Ug⊗Ugi0i1P_∗(g_i0i1)^←−←

←−· · ·

o`ug_i0···in:=g_i0∩ · · · ∩g_in.

CommeUgest unUg_i0···in-module libre (cela peut se voir en choisissant une base de PBW adapt´ee) Hq(Ug⊗Ug_i0···inP∗(gi₀···i_n) =

Ug⊗Ugi0···inF siq= 0

0 sinon.

Ainsiv_∗(g,{gi}_i∈I) est quasi-isomorphe auUg-module simplicial M

i∈I

Ug⊗Ug_iF⇔ M

(i₀,i₁)

Ug⊗Ug_i0i1F^←−←

←−· · · (2)

Cette r´esolution du complexe de Volodin permet de d´emontrer le th´eor`eme d’isomorphisme suivant : Th´eor`eme 1.3.3. [Suslin-Wodzicki [SW92] Proposition 4.8]Soient{gi}i∈I une famille de sous-alg`ebres de Lie d’une alg`ebre de Lie g, {g⁰_i}i∈I une famille de sous-alg`ebres de Lie d’une alg`ebre de Lie g⁰, et f : g→ g⁰ un morphisme d’alg`ebres de Lie tel que pour touti dansI,f(g_i)⊂g⁰_i. Si les deux familles sont bien configur´ees et si de plus les morphismes

g_i0···in→g⁰_i

0···i_n

induits par f sont des isomorphismes, alors l’application induite par f entre les complexes de Volodin v_∗(f) :v_∗(g,{gi}_i∈I)→v_∗(g⁰,{g⁰_i}_i∈I)

est un quasi-isomorphisme.

D´emonstration. L’existence du morphisme v_∗(f) a d´ej`a ´et´e ´evoqu´ee `a la proposition 1.2.4. D’apr`es les con- sid´erations pr´ec´edentes (voir (2)), v_∗(g,{g_i}_i∈I) et v_∗(g⁰,{g⁰_i}_i∈I) sont respectivement quasi-isomorphes aux modules simpliciaux

M

i∈I

Ug⊗_UgiF⇔ M

(i₀,i₁)

Ug⊗_Ugi

0i1F^←−←

←−· · ·

et

M

i∈I

Ug⁰⊗_Ug⁰

iF⇔ M

(i0,i1)

Ug⁰⊗_Ug⁰

i0i1F^←−←

←−· · ·

Il suffit donc de montrer que f induit des isomorphismes Ug⊗_Ugi

0···inF−→Ug⁰⊗_Ug⁰

i0···inF (3)

Or ´etant donn´e une bonne base{es}s∈S ordonn´ee degtelle que{¯e_s}s∈S−Si0···in soit une base de g/g_i0···in, les classes des images par f des e_s lorsque s parcourt S−S_i0···in forment une base de g⁰/g⁰_i

0···in. Ainsi, les monˆomes ordonn´es en lese_s, lorsquesparcourtS−S_i0···in, forment une base deUg⊗_Ugi

0···inF, et leur images parf une base deUg⁰⊗_Ug⁰

i0···inF. Ceci ´etablir le caract`ere bijectif de (3).

Corollaire 1.3.4. Si(g,{gi}i∈I)est bien configur´ee et simest ung-module, alors la paire de projection/inclusion canoniques

ggnm induit des quasi-isomorphismes

v_∗(g,{gi}_i∈I)v_∗(gnm,{ginm}_i∈I) quasi-inverses l’un de l’autre.

2 Application aux alg` ebres de Lie de matrices

SoitAuneF-alg`ebre ´eventuellement non unitaire. Introduisons les alg`ebres de Lie de matrices suivantes.

D´efinition 2.0.5. – gl_n(A)d´esigne l’alg`ebre de Lie des matricesn×n`a coefficients dansA(crochet donn´e par le commutateur).

– sln(A) est la sous alg`ebre de Lie de gl_n(A) constitu´ee des matrices dont la trace est dans [A, A] (une somme de commutateurs d’´el´ements deA)

– en(A) est la sous-alg`ebre de Lie de sln(A)engendr´ee par les matrices ´el´ementaires de la forme eij(a), a∈A,16i6=j 6n, o`u eij(a)est la matrice ayant des z´eros partout `a l’exception d’una `a la position situ´eei-`eme ligne et laj-`eme colonne.

– Chacune des alg`ebres de Lie pr´ec´edentes admet une version stable not´ee gl(A) := S

ngl_n(A), sl(A), et e(A).

– Si σ est un ordre partiel sur {1,· · ·, n}, notons t^σ_n(A) la sous-alg`ebre de Lie de gl_n(A) constitu´ee des matrices(aij)telle queaij = 0 sii

σ

≮j.

Remarquons que t^σ_n(A) est engendr´ee par les matrices eij(a) lorsque aparcourt A et i < j^σ ce qui permet de faire la famille{t^σ_n(A)}_σ∈Πn (resp.{t^σ_n(A)}_{n∈N,σ∈Πn}) une famille bien configur´ee de sous-alg`ebres de Lie de en(A) (resp.e(A)). Ici Πn d´esigne l’ensemble des ordres partiels sur{1,· · · , n}.

Toute sous-alg`ebre de Liegdegl<sub>n</sub>(A) agit sur le module des vecteurs colonnes de taillen`a coefficients dans A, not´eMn1(A), ce qui permet former son produit semi-direct avecMn1(A) :

˜g:=gnM_n1(A) ={ α v

0 0

∈gl_n+1(A), α∈g, v∈M_n1(A)}

de mˆeme que les versions stables associ´ees (qui peuvent ˆetre obtenues comme produit semi-direct avec le module des colonnes infinies presque nulles).

Finalement, nous disposons de versions instables et stables des complexes de Volodin associ´es aux paires (en(A),{t^σ_n(A)}_σ∈Πn) :

v_∗ⁿ(A) :=v_∗(en(A),{t^σ_n(A)}_σ∈Πn), et

v_∗(A) := lim

→n

vⁿ_∗(en(A),{t^σ_n(A)}_σ∈Πn) =v_∗(e(A),{t^σ_n(A)}_{n∈N,σ∈Πn}), ainsi que leurs versions tordues

v˜_∗ⁿ(A) :=v_∗(˜en(A),{˜t^σ_n(A)}σ∈Πn),

et

˜

v_∗(A) := lim

→n

˜

vⁿ_∗(en(A),{t^σ_n(A)}_σ∈Πn) =v_∗(˜e(A),{˜t^σ_n(A)}_{n∈N,σ∈Πn}).

Le corollaire 1.3.4 a pour cons´equence la proposition suivante : Proposition 2.0.6. Les projections et inclusions canoniques

en(A)˜en(A) et e(A)˜e(A) induisent des paires de quasi-isomorphismes quasi-inverses l’un de l’autre

v_∗ⁿ(A)v˜_∗ⁿ(A) et v_∗(A)˜v_∗(A)

Afin de d´emontrer le th´eor`eme final, il nous faut ´etablir la trivialit´e de certaines actions afin de pouvoir appliquer le th´eor`eme de comparaison des suites spectrale de Zeeman. La d´emonstration du lemme suivant est analogue au cas des groupes et a ´et´e trait´ee dans l’expos´e pr´ec´edent de V. Franjou. Elle ne sera donc pas d´etaill´ee.

Lemme 2.0.7. Supposons que A=A². Alors

1. Les actions dee(A)sur H∗(v∗(A))et de˜e(A)sur H∗(˜v∗(A))sont triviales.

2. Les actions degl(A)sur H∗(e(A))et degl(A)˜ sur H∗(˜e(A))sont triviales.

Nous sommes maintenant en mesure de d´emontrer le th´er`eme principal de la section 4 de [Suslin-Wodzicki [SW92]] : Th´eor`eme 2.0.8. [thm 4.16 Suslin-Wodzicki [SW92]] Supposons queA =A². Alors, les assertions suivantes sont ´equivalentes :

(a) H_∗(gl(A)) =H_∗( ˜gl(A)), (b) H_∗(e(A)) =H_∗(˜e(A)), (c) H_∗(P

n,σC_∗(t^σ_n(A))) =H_∗(P

n,σC_∗(˜t^σ_n(A))) D´emonstration.

– (a)⇔(b) : Consid´erons le morphisme d’extensions d’alg`ebres de Lie 0 //e(A) //

gl(A) //

gl(A)/e(A) //0

0 //˜e(A) //gl(A)˜ //gl(A)/e(A)˜ //0

Elle donne lieu `a un morphisme entre les suites spectrales de Hochschild-Serre associ´ees E_{p q}² =Hp gl(A)/e(A);Hq(e(A)) +3

Hp+q(gl(A))

E_{p q}² =H_p gl(A)/˜˜ e(A);H_q(˜e(A)) +3H_p+q( ˜gl(A))

Le lemme 2.0.7 permet alors d’appliquer le th´eor`eme de comparaison des suites spectrales de Zeeman montrant l’´equivalence des assertions (a) et (b).

– (b) ⇔ (c) : L’inclusion e(A) ⊂˜e(A) induit, d’apr`es la proposition 1.2.4, un morphsime entre les suites spectrales d’hyperhomologie

E_{p q}² =Hp e(A);Hq(v∗(A)) +3

H_p+q P

n,σC_∗(t^σ_n(A))

E_{p q}² =Hp ˜e(A);Hq(˜v∗(A)) +3H_p+q P

n,σC_∗(˜t^σ_n(A))

De plus, les coefficients Hq(v∗(A)) et Hq(˜v∗(A)) de chaque deuxi`eme page sont les mˆemes d’apr`es la proposition 2.0.6. Le lemme 2.0.7 permet alors d’appliquer le th´eor`eme de comparaison des suites spectrales de Zeeman pour en d´eduire l’´equivalence des assertions (c) et (b).

3 Conclusion

SoitAune alg`ebre H-unitaire surF=Q. En particulier A=A<sup>2</sup> donc le th´eor`eme 2.0.8 s’applique. Il a ´et´e d´emontr´e dans les expos´es sur l’excision en homologie cyclique

H_∗( ˜gl(A)) =H_∗(gl(A₁)) et que (voir th´eor`eme 1.11 de [Wod89])

HC_∗(A₁) =HC_∗(A)

pour un certain produit semi direct H-unitaire A1 :=AnM. En appliquant le th´eor`eme de Loday-Quillen- Tsygan-Hanlon d´emontr´e par A. Djament dans l’un de ses expos´es, il vient

H_∗(gl(A))∼= Λ^∗HC_∗(A)[1]∼=H_∗( ˜gl(A)) Le th´eor`eme 2.0.8 implique donc que

H_∗(X

n,σ

C_∗(t^σ_n(A))) =H_∗(X

n,σ

C_∗(˜t^σ_n(A))) (4)

Comme lest^σ_n(A) sont nilpotentes et que leurs groupes exponentiels sont les groupesT_n^σ(A) de matrices triangu- laires sup´erieures pour l’ordre σ, le corollaire 5.11 de [Suslin-Wodzicki [SW92]] d´emontr´e dans l’expos´e de J-C Thomas permet d’en d´eduire des isomorphismes

H_∗(BT_n^σ(A))∼=H_∗(C_∗(t^σ_n(A))) , n∈N, σ∈Πn

et

H_∗(BT˜_n^σ(A))∼=H_∗(C_∗(˜t^σ_n(A))) , n∈N, σ∈Π_n

qui, `a l’aide d’un emploi r´ep´et´e de suite de Mayer-Vietoris, et en conjonction avec (4), impliquent les isomor- phismes du corollaire 5.14 :

H∗([

n,σ

BT_n^σ(A))∼=H∗(X

n,σ

C∗(t^σ_n(A))) et

H∗([

n,σ

BT˜_n^σ(A))∼=H∗(X

n,σ

C∗(˜t^σ_n(A))) Ainsi

H∗([

n,σ

BT_n^σ(A))∼=H∗([

n,σ

BT˜_n^σ(A))

Le th´eor`eme 2.10, qui est l’analogue pour les groupes du th´eor`eme 4.16, et dont les principaux ´el´ements de la d´emonstration (qui repose sur l’existence de suites spectrales fonctorielles pour la construction de Volodin associ´ee au familles de sous-groupes et sur le th´eor`eme de comparaison de Zeeman) ont ´et´e d´etaill´es dans l’expos´e de V. Franjou permet alors d’en d´eduire l’isomorphisme

H∗(GL(A))∼=H∗(gGL(A))

qui, comme cela a ´et´e expliqu´e par Aur´elien dans son expos´e introductif, est ´equivalent au fait que A soit excisive en K-th´eorie alg´ebrique rationnelle. Nous avons ainsi r´esum´e la d´emonstration d’une des implications du th´eor`eme B de [Suslin-Wodzicki [SW92]] :

Aest uneQ-alg`ebreH-unitaire⇒Aest excisive en K-th´eorie alg´ebrique rationnelle.

R´ ef´ erences

[SW92] Andrei A Suslin and Mariusz Wodzicki. Excision in algebraic k-theory. Annals of mathematics, pages 51–122, 1992.

[Wod89] Mariusz Wodzicki. Excision in cyclic homology and in rational algebraic k-theory. Ann. of Math, 129(591-640) :296, 1989.