ALG`EBRES DE BERNSTEIN IND´ECOMPOSABLES (INDECOMPOSABLE BERNSTEIN ALGEBRAS)

(INDECOMPOSABLE BERNSTEIN ALGEBRAS)

JO ˜AO CARLOS DA MOTTA FERREIRA et ARTIBANO MICALI

The notion of indecomposable weighted algebra appears, for the first time, in the paper of Costa and Guzzo Jr [4]. This is a version, for weighted algebras, of the notion of M-abelian group probabily due to Jacobson [8, Chapter V, Defini- tion 1]. This paper is a contribution to the classification of indecomposable Bern- stein algebras, over a commutative field of characteristic different from 2,of type (2, n−2),of type (n−1,1) and of dimension 4 (see [2]).

AMS 2000 Subject Classification: 17D92.

Key words: indecomposable weighted algebra, Bernstein algebra.

INTRODUCTION

La notion d’alg`ebre pond´er´ee ind´ecomposable apparaˆıt, pour la premi`ere fois, dans l’article de Costa et Guzzo Jr [4]. Cette notion est inspir´ee de celle de M-groupe ab´elien, due probablement `a Jacobson [8, Chapter V, Definition 1].

Si (A, ω) est uneF-alg`ebre pond´er´ee munie d’un idempotent de poids 1,o`uF est un corps commutatif de caract´eristique diff´erente de 2, l’ensemble M est form´e des multiplications `a gauche et `a droite d´efinies par des ´el´ements deAou de F et, dans ce cas, lesM-subgroupes du groupe ab´elien additifN = Ker(ω) sont les id´eaux bilat`eres de l’alg`ebreAcontenus dansN.Une alg`ebre pond´er´ee (A, ω) munie d’un idempotent de poids 1 est dite ind´ecomposable s’il n’existe pas des id´eaux bilat`eres non nuls I et J de A contenus dans N tels que N soit la somme directe de I et J. Autrement l’alg`ebre est dite d´ecomposable.

Dans [4] les auteurs d´emontrent que la classification des alg`ebres pond´er´ees appartenant `a une certaine classe, ferm´ee sous l’op´erationjoin, se ram`ene `a la d´etermination des alg`ebres pond´er´ees ind´ecomposables, d`es que les conditions a.c.c. et d.c.c. se v´erifient. En particulier ils montrent, dans [3], que les plus importantes classes d’alg`ebres pond´er´ees sont ferm´ees, `a savoir: les alg`ebres de Bernstein, les alg`ebres train `a droite et bien d’autres. Une classification,

`

a isomorphismes pr`es, des alg`ebres de Bernstein de type (2, n−2), (n−1,1) et de dimension 4 a et´e donn´e dans [6] lorsque le corps de base F est celui des nombres r´eels ou des nombres complexes et ult´erieurement, sur un corps

REV. ROUMAINE MATH. PURES APPL.,55(2010),4, 241–267

commutatif quelconque de caract´eristique diff´erente de 2,dans les cas de type (3, n−3) (cf. [4]) et celui de dimension 4 (cf. [2]). Dans cette ´etude nous classifions les alg`ebres de Bernstein ind´ecomposables de dimension 4, celles de type (2, n −2) ainsi que celles de type (n−1,1). Remarquons que les r´esultats trouv´es dans ce travail `a propos de la classification des alg`ebres de Bernstein de type (n−1,1) g´en´eralisent les r´esultats obtenus par Yu.I. Lyubich et J.C. Guti´erez Fern´andez. Notons, finalement, que si l’on consid`ere sur l’ensemble P(F) des classes d’isomorphismes d’alg`ebres pond´er´ees ayant un idempotent de poids 1,sur un corps commutatifF de caractristique diffrente de 2,l’op´eration d´efinie par lejoin, la Proposition 2 de [4] nous dit que, muni de cette op´eration, P(F) est un monoide commutatif `a ´el´ement unit´e, cet

´

el´ement ´etant la classe de l’alg`ebre pond´er´ee (F,id_F).

1. ALG `EBRES DE BERNSTEIN IND ´ECOMPOSABLES DE TYPE (2,n−2)

Dans ce paragraphe on pr´esente deux r´esultats qui vont nous permet- tre de classifier les alg`ebres de Bernstein ind´ecomposables de type (2, n−2) obtenues dans [5] sauf celle not´eeA_I de type (2,1).

Soient donc F un corps commutatif de caract´eristique diff´erente de 2, (A, ω) une F-alg`ebre de Bernstein de type (2, n−2) avec, comme d´ecomposi- tion de Peirce relative `a un idempotent e,

A=F e⊕Fhui ⊕Fhv₁, . . . , vn−2i

et dont la table de multiplication (chaque fois que l’on parle de table de mul- tiplication dans une alg`ebre de Bernstein nous ajoutons, sans les mentionner, les conditions e² =e, euk= ¹₂uk etevk= 0 pour tout entierk) est donn´ee par

(i)u²=Pn−2 k=1α_kv_k,

(ii)vku=βku,k= 1, . . . , n−2, et (iii) v_jv_k=γ_jku,j, k= 1, . . . , n−2,

o`u lesα_k, β_k, γ_jk sont dansF pourj, k= 1, . . . , n−2.

Proposition 1.1. Si la (n−2)×(n−2) matrice (γ_kj) est inversible alors l’alg´ebre de Bernstein (A, ω) est ind´ecomposable.

Preuve. Soient I et J deux id´eaux non nuls de A contenues dans N = Ker(ω) tels queN =I⊕J.Pour deux ´el´ements non nulsx=a1u+Pn−2

k=1b_1kv_k dans I ety=a2u+Pn−2

k=1b2kvk dansJ on a 0 =xy=a1a2u²+

n−2

X

k=1

(a1b_2k+a2b_1k)uv_k+

n−2

X

k=1

b_1kb_2kv_kv_k+

+

n−2

X

k,j=1(k6=j)

(b1kb2j+b1jb2k)vkvj =

n−2

X

k=1

αka1a2vk+

+ ⁿ⁻²

X

k=1

(a1b_2k+a2b_1k)β_k+

n−2

X

k=1

b_1kb_2kγ_kk+

n−2

X

k,j=1(k6=j)

(b_1kb2j+b1jb_2k)γ_kj

u,

ce qui entraˆıne

(1) α_ka₁a₂= 0, k= 1, . . . , n−2, et

(2)

n−2

X

k=1

(a1b_2k+a2b_1k)β_k+

n−2

X

k=1

b_1kb_2kγ_kk+

n−2

X

k,j=1(k6=j)

(b_1kb2j+b1jb_2k)γ_kj = 0.

D’autre part,

(3) v_jx=

β_ja₁+

n−2

X

k=1

γ_kjb_1k

u, j= 1, . . . , n−2, et

(4) vjy =

βja2+

n−2

X

k=1

γkjb2k

u, j= 1, . . . , n−2, et aussi

2(ex) =a1u et 2(ey) =a2u.

(5)

D’apr`es (5) on a a₁a₂ = 0 et si l’on suppose, par exemple, a₁ 6= 0 alors a2 = 0 pour tout ´el´ement y ∈J et (5) nous dit encore que u ∈ I. La condi- tion (4) entraˆıne alors que Pn−2

k=1γ_kjb_2k = 0, j = 1, . . . , n−2, d’o`u b_2k = 0, k = 1, . . . , n−2, ce qui est un absurde. N´ecessairement, quels que soient les

´

el´ements non nuls x ∈ I ety ∈ J on doit avoir a₁ = 0 et a₂ = 0, ce qui est encore absurde car u∈N.

Exemple 1.2. Soit (A, ω) une F-alg`ebre de Bernstein de type (2, n−2) avec la d´ecomposition de Peirce A =F e⊕Fhui ⊕Fhv<sub>1</sub>, . . . , vn−2i relative `a un idempotente et dont la table de multiplication est donn´ee par

(i)u²=Pn−2 k=1αkvk,

(ii)v_ku= 0,k= 1, . . . , n−2, et (iii) v_jv_k= 0, j, k= 1, . . . , n−2, o`u lesα_k sont dansF pour k= 1, . . . , n−2.

S’il existe un entier k₀ v´erifiant 1 ≤k₀ ≤n−2 et tel que α_k0 = 0 alors l’alg`ebre de Bernstein (A, ω) est d´ecomposable. En effet, les sous-espaces vectoriels de A, I = hu, v₁, . . . , v_k0−1, v_k0+1, . . . , vn−2i et J = hv_k0i sont des id´eaux non nuls de Acontenues dans N et tels queN =I⊕J.

Il est ´evident que entre les cas o`u la matriceγ = (γkj) est nulle et o`u elle est inversible il y a celui o`u elle est non nulle et non inversible. La r´eponse nous est donn´ee par la Proposition 1.3 et l’Exemple 1.4.

Etant donn´ee unen×nmatriceC`a coefficients dansF,nous d´esignerons parC(i, j), 1≤i, j≤n, la (n−1)×(n−1) matrice obtenue `a partir deC en supprimant la i-`eme ligne et laj-`eme colonne.

Proposition 1.3. Si β1 6= 0,la (n−2)×(n−2) matrice γ = (γkj) est diagonale et la (n−3)×(n−3) matrice γ(1,1) est inversible, alors l’alg`ebre de Bernstein (A, ω) est ind´ecomposable.

Preuve. Consid´erons deux id´eaux non nuls I et J de A contenus dans N = Ker(ω) et tels que N = I ⊕J. Quels que soient les ´el´ements non nuls x=a₁u+Pn−2

k=1b_1kv_kdansI ety=a₂u+Pn−2

k=1b_2kv_k dansJ et en suivant la d´emarche utilis´ee dans la d´emonstration de la Proposition 1.1, on peut ´ecrire (6) α_ka₁a₂= 0, k= 1, . . . , n−2,

(7)

n−2

X

k=1

(a1b_2k+a2b_1k)β_k+

n−2

X

k=1

b_1kb_2kγ_kk = 0, 2(ex) =a₁u et 2(ey) =a₂u,

(8)

(9) v_jx= β_ja₁+γ_jjb_1j

u, j= 1, . . . , n−2, (10) vjy = βja2+γjjb2j

u, j= 1, . . . , n−2.

D’autre part, on a aussi

(11) ux=

ⁿ⁻² X

k=1

β_kb_1k

u+

n−2

X

k=1

α_ka₁v_k,

(12) uy =

ⁿ⁻² X

k=1

β_kb_2k

u+

n−2

X

k=1

α_ka2v_k.

D’apr`es (8) on aa<sub>1</sub>a<sub>2</sub> = 0 et si l’on suppose l’existence d’un ´el´ement non nul x dans I avec a1 6= 0, n´ecessairement u ∈ I et encore d’apr`es (8), pour tout ´el´ement non nul y dans J on a a₂ = 0. Cela entraˆıne que γ_jjb_2j = 0, j = 1, . . . , n−2, pour tout ´el´ement y dans J si γ₁₁ 6= 0 alors b_2j = 0, j = 1, . . . , n−2, car la matrice γ(1,1) est inversible, ce qui est absurde. Donc γ₁₁ = 0 et, par suite, b_2j = 0, j = 2, . . . , n−2. On a ainsi y = b₂₁v₁ donc v1 ∈J car on doit avoirb216= 0.D’apr`es (9) on aa1 = 0 ce qui n’est pas aussi permis. Le mˆeme raisonnement peut encore se faire en ´echangeant les rˆoles de x et y, ou encore, ceux de a1 et a2. Donc, quels que soient les ´el´ements non

nuls xdansI ety dansJ on doit avoir a1 = 0 et a2 = 0.Mais cela est encore impossible car u∈N.

Exemple 1.4. Soit (A, ω) une F-alg`ebre de Bernstein de type (2,6) avec la d´ecomposition de Peirce A=F e⊕Fhui ⊕Fhv<sub>1</sub>, . . . , v6i relative `a un idem- potent e et dont la table de multiplication est donn´ee parv₁u =u, v₁v₂ =u, v₃² =u etv₄² =u, les autres produits ´etant nuls. Alors, A est d´ecomposable.

En effet, les sous-espaces vectoriels de A, I =hu, v₁, v₂, v₃, v₄i et J =hv₅, v₆i sont des id´eaux non nuls de A contenues dans N et tels que N =I⊕J.

2. ALG `EBRES DE BERNSTEIN IND ´ECOMPOSABLES DE TYPE (n−1,1)

Dans ce paragraphe nous pr´esentons quelques r´esultats qui nous permet- trons de classifier les alg`ebres de Bernstein ind´ecomposables de type (n−1,1).

Soient donc F un corps commutatif de caract´eristique diff´erente de 2, (A, ω) une F-alg`ebre de Bernstein de type (n−1,1) avec, comme d´ecomposi- tion de Peirce relative `a un idempotent e,

A=F e⊕Fhu₁, . . . , un−2i ⊕Fhvi et dont la table de multiplication est don´ee par

(i)u_ku_j =α_kjv,k, j= 1, . . . , n−2, (ii)u_jv=Pn−2

k=1β_jku_k,j= 1, . . . , n−2, (iii) v² =Pn−2

k=1γ_ku_k,

o`u lesα_kj, β_jk, γ_k sont dansF pour j, k= 1, . . . , n−2.

Proposition2.1. Si la(n−2)×(n−2)matriceα= (αkj) est inversible, alors l’alg`ebre de Bernstein (A, ω) est ind´ecomposable.

Preuve. Soient I et J deux id´eaux non nuls de A contenus dans N = Ker(ω) et tels que N = I ⊕J. Quels que soient les ´el´ements non nuls x = Pn−2

k=1a1kuk+b1v dansI ety=Pn−2

k=1a2kuk+b2v dansJ on a (13) ujx=

n−2

X

k=1

a1kαkj

v+

n−2

X

k=1

b1βjkuk, j= 1, . . . , n−2,

(14) vx=

n−2

X

k=1

ⁿ⁻² X

j=1

a_1jβ_jk +γ_kb₁

u_k,

(15) ujy= ⁿ⁻²

X

k=1

a_2kα_kj

v+

n−2

X

k=1

b2β_jku_k, j= 1, . . . , n−2,

(16) vy=

n−2

X

k=1

ⁿ⁻² X

j=1

a2jβjk+γkb2

uk.

D’autre part on a

(17) 2uj(ex) =

n−2

X

k=1

a1kαkj

v, j= 1, . . . , n−2,

(18) 2v(ex) =

n−2

X

j=1

n−2

X

k=1

a1kβkj

uj,

(19) 2uj(ey) =

n−2

X

k=1

a2kαkj

v, j= 1, . . . , n−2,

(20) 2v(ey) =

n−2

X

j=1

n−2

X

k=1

a_2kβ_kj

uj.

La condition 0 =xy=

n−2

X

k=1

a1ka2kαkk+

n−2

X

k,j=1 k6=j

(a1ka2j+a1ja2k)αkj

v+

+

n−2

X

j=1

ⁿ⁻² X

k=1

(a_1kb₂+a_2kb₁)β_kj+γ_jb₁b₂

u_j

entraˆıne (21)

n−2

X

k=1

a_1ka_2kα_kk+

n−2

X

k,j=1 k6=j

(a_1ka_2j+a_1ja_2k)α_kj = 0,

(22)

n−2

X

k=1

(a_1kb₂+a_2kb₁)β_kj+γ_jb₁b₂= 0, j= 1, . . . , n−2.

Supposons qu’il existe un indice j v´erifiant 1 ≤ j ≤ n−2 et tel que Pn−2

k=1a1kαkj 6= 0.D’apr`es (17) on a v∈I et d’apr`es (19), pour tout ´el´ement non nul y dans J, on a Pn−2

k=1a_2kα_kj = 0, j = 1, . . . , n−2. Il s’ensuit que a_2k = 0, k= 1, . . . , n−2, ce qui entraˆıne que y =b2v avec b2 6= 0 ou encore, v ∈J ce qui n’est pas autoris´e. Le mˆeme raisonnement peut se faire avec un

´

el´ement non nuly dansJ tel quePn−2

k=1a_2kα_kj 6= 0 pour un certainj v´erifiant 1≤j ≤n−2.Donc, quels que soient les ´el´ements non nulsxdansIetydansJ on aPn−2

k=1a1kαkj = 0,j = 1, . . . , n−2, etPn−2

k=1a2kαkj = 0,j= 1, . . . , n−2,

d’o`u a1k= 0,k= 1, . . . , n−2, eta2k= 0,k= 1, . . . , n−2.Cela entraˆıne que x=b₁v ety=b₂v ce qui, encore, n’est pas permis.

Proposition2.2. Si la(n−2)×(n−2)matriceβ = (βjk) est inversible, alors l’alg`ebre de Bernstein (A, ω) est ind´ecomposable.

Preuve. Soient I et J deux id´eaux non nuls de A contenus dans N = Ker(ω) et tels que N = I ⊕J. Quels que soient les ´el´ements non nuls x = Pn−2

k=1a_1ku_k +b₁v dans I et y = Pn−2

k=1a_2ku_k+b₂v dans J, consid´erons les relations (13) `a (22) de la d´emonstration de la Proposition 2.1. Supposons que pour un telxdon´ee dansI il existe un indicejv´erifiant 1≤j≤n−2 et tel que Pn−2

k=1a_1kα_kj 6= 0. D’apr`es (17) on av ∈ I et d’apr`es (20),Pn−2

k=1a_2kβ_kj = 0, j = 1, . . . , n−2,soita_2k= 0, k= 1, . . . , n−2.Cela nous montre quey=b₂v avec b2 6= 0,ce qui n’est pas permis. A une conclusion analogue on arrive en raisonnant avecy`a la place dex.Donc, quels que soient les ´el´ements non nulsx dansI etydansJon aPn−2

k=1a_1kα_kj = 0,j= 1, . . . , n−2, etPn−2

k=1a_2kα_kj = 0, j = 1, . . . , n−2.D’apr`es les conditions (13) et (15) on a respectivementu_jx= b1Pn−2

k=1β_jku_k,j= 1, . . . , n−2, etujy=b2Pn−2

k=1β_jku_k,j= 1, . . . , n−2.On doit alors avoir b₁b₂ = 0. Supposons que qu’il existe un ´el´ement x dans I tel que b₁ 6= 0 donc Pn−2

k=1β_jku_k ∈ I, j = 1, . . . , n−2.La relation (16) nous dit alors quePn−2

k=1

Pn−2 j=1 a2jβjk

uk= 0 doncPn−2

j=1a2jβjk = 0,k= 1, . . . , n−2, soit encore a_2j = 0, j = 1, . . . , n−2, ce qui est absurde. A une conclusion analogue on arrive en raisonnant avec y `a place de x.Donc, quels que soient les ´el´ements non nuls x dans I et y dans J on a respectivement b1 = 0 et b₂ = 0.Cela est encore impossible carv∈N.

Exemple 2.3. Soit (A, ω) une alg`ebre de Bernstein de type (3,1) avec, comme d´ecomposition de Peirce relative `a un idempotent e, A = F e ⊕ Fhu₁, u2i ⊕Fhvi et dont la table de multiplication est don´ee par u²₁ = 0, u₁u₂ = 0, u²₂ = 0, u₁v = 0, u₂v = 0, v² = u₁. Alors l’alg`ebre de Bernstein (A, ω) est d´ecomposable. En effet, les sous-espaces vectoriels I = hu₁, vi et J =hu₂i de A sont des id´eaux non nuls de A contenus dans N = Ker(ω) tels que N =I⊕J.

Proposition 2.4. Supposons qu’il existe des entiers ≥ 1, l₁⁽ⁱ⁾, . . . , l⁽ⁱ⁾ni, i= 1, . . . , r, avec Pr

i=1

Pni

j=1l⁽ⁱ⁾_j =n−2et tels que pour chaquej,1≤j≤ni, i= 1, . . . , r, on puisse associer une l⁽ⁱ⁾_j ×l⁽ⁱ⁾_j matrice β⁽ⁱ⁾_j du type

β_j⁽ⁱ⁾=











c_i 1 . . . 0 ... . .. ... ...

... . .. 1 0 . . . ci











telle que la (n−2)×(n−2) matrice β = (βjk) soit la somme directe des Pni

j=1l⁽ⁱ⁾_j

× Pni

j=1l_j⁽ⁱ⁾

matrices

β_i =















β₁⁽ⁱ⁾

0

. ..

0













 ,

c’est `a dire,

β =















β₁

0

. ..

0

r













 .

Les assertions suivantes sont alors v´erifi´ees:

1)sici 6= 0 (i= 1, . . . , r),alors l’alg`ebre de Bernstein(A, ω)est ind´ecom- posable;

2) si, pour chaque i avec ci = 0, 1≤i≤r, on a l_j⁽ⁱ⁾ ≥2, j = 1, . . . , ni, alors l’alg`ebre de Bernstein (A, ω) est ind´ecomposable;

3)si, pour chaque i, 1≤i≤r, βi est une 1×1 matrice telle que γ1 6= 0 si i = 1 ou γPi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1

6= 0 si i ≥ 2 et la (n−3)×(n−3) matrice β(1,1) sii= 1 ou la(n−3)×(n−3) matrice

β i−1

X

s=1 ns

X

j=1

l^(s)_j + 1,

i−1

X

s=1 ns

X

j=1

l^(s)_j + 1

si i≥2 est inversible, alors l’alg`ebre de Bernstein (A, ω) est ind´ecomposable;

4) si i < i⁰ sont les seuls indices pour lesquels c_i = 0 et c_i⁰ = 0 respec- tivement et tels que:

4.1) β_i est la 1×1 matrice nulle;

4.2) γi 6= 0 et l⁽ⁱ

0)

j ≥2, j= 1, . . . , ni⁰; 4.3) γ2 6= 0, γ

l⁽²⁾₁ +2 = 0, . . . , γPn2−1

j=1 l⁽²⁾_j +2= 0 si i⁰ = 2 ou γ i0−1

P

s=2 ns

P

j=1

l^(s)_j +2

!= 0, γ i0−1

P

s=2 ns

P

j=1

l^(s)_j +l⁽ⁱ₁⁰⁾+2

!= 0, . . . , γ i0−1

P

s=2

Pni j=1

l^(s)_j +Pⁿ_i0 −1 j=1 l⁽ⁱ_j⁰⁾+2

! = 0, si i⁰ ≥3, alors l’alg`ebre de Bernstein (A, ω) est ind´ecomposable.

Preuve de 1). Si ci 6= 0, i = 1, . . . , r, la (n−2)×(n−2) matrice β est triangulaire sup´erieure inversible et d’apr`es la Proposition 2.2 l’alg`ebre de Bernstein (A, ω) est ind´ecomposable.

Preuve de 2). Soient I et J deux id´eaux non nuls de A contenus dans N = Ker(ω) et tels que N = I ⊕J. Quels que soient les ´el´ements non nuls x = Pn−2

k=1a_1ku_k +b₁v dans I et y = Pn−2

k=1a_2ku_k +b₂v dans J on doit avoir, comme dans la d´emonstration de la Proposition 2.1, Pn−2

k=1a1kαkj = 0, j = 1, . . . , n− 2 ou Pn−2

k=1a_2kα_kj = 0, j = 1, . . . , n −2. Supposons qu’il existe un ´el´ement non nul x dans I tel que Pn−2

k=1a_1kα_kj 6= 0, pour un indice j convenable, 1 ≤ j ≤ n −2. D’apr`es la condition (17) Proposi- tion 2.1 on a v ∈ I et pour tout ´el´ement non nul y dans J, la condition (20) Proposition 2.1 nous dit alors que Pn−2

k=1a_2kβ_kj = 0, j = 1, . . . , n−2.

D’apr`es l’hypoth´ese faite sur la matrice β, pour chaque i avec c_i 6= 0, 1 ≤ i ≤ r, on a a2k = 0 (k = 1,2, . . . ,Pn1

j=1l⁽¹⁾_j ) si i = 1 ou a2k = 0

k = Pi−1 s=1

Pns

j=1l^(s)_j + 1, . . . ,Pi s=1

Pns

j=1l_j^(s)−1, Pi s=1

Pns

j=1l^(s)_j

si i ≥ 2;

de plus, pour chaque i avec c_i = 0, 1 ≤ i ≤ r, on a a_2k = 0

k =

1, . . . , l⁽¹⁾₁ −1, l⁽¹⁾₁ + 1, . . . , l₁⁽¹⁾+l⁽¹⁾₂ −1, l₁⁽¹⁾+l₂⁽¹⁾+ 1, . . . ,Pn1

j=1l⁽¹⁾_j −1 si i = 1 ou a_2k = 0

k = Pi−1 s=1

P_ns

j=1l^(s)_j + 1, . . . ,Pi−1 s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +l₁⁽ⁱ⁾ −1, Pi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +l₁⁽ⁱ⁾+ 1, . . . ,P_i

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j −1

si i≥2 et cela, pour tout

´

el´ement non nul y dans J. Consid´erons maintenant l’ensemble M ={i | 1≤ i≤r etci = 0}; alors

y=

n1

X

k=1

a

2

k

P

j=1

l⁽¹⁾_j

!u _k

P

j=1

l⁽¹⁾_j

!+

+X

i∈M i≥2

ni

X

k=1

a

2

i−1

P

s=1 nsP

j=1

l^(s)_j +

k

P

j=1

l⁽ⁱ⁾_j

!u i−1

P

s=1 nsP

j=1

l^(s)_j +

k

P

j=1

l⁽ⁱ⁾_j

!

!

pour tout ´el´ement non nuly dansJ.D’autre part, `a partir de la propri´et´e (ii) de la table de multiplication de l’alg`ebre de Bernstein (A, ω) on a

u1v=c1u1+u2, u2v=c1u2+u3, . . . , u_l(1) 1

v=c1u_l(1) 1

, u_l(1)

1 +1v=c1u_l(1)

1 +1+u_l(1)

1 +2, . . . , u_l(1)

1 +l⁽¹⁾₂ v=c1u_l(1)

1 +l⁽¹⁾₂ , . . . , uⁿ1

P

s=1

l^(s)_j

v=c1uⁿ1

P

s=1

l^(s)_j , . . . ,

u i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +1

!v=ciu i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +1

!+u i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l_j^(s)+2

!, . . . ,

u _i

P

s=1 ns

P

j=1

l_j^(s)

!v=ciu _i

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j

!, . . . , un−2v=crun−2. On conclut que pour i= 1,au moins les ´el´ements

u₂, . . . , u

l⁽¹⁾₁ , ul⁽¹⁾₁ +2, . . . , u

l⁽¹⁾₁ +l₂⁽¹⁾, ul⁽¹⁾₁ +l⁽¹⁾₂ +2, . . . , u

l⁽¹⁾₁ +l₂⁽¹⁾+l⁽¹⁾₃ , . . . . . . , u n1−1

P

s=1

l_j⁽¹⁾+2

!, . . . , u n1

P

j=1

l⁽¹⁾_j

!

appartiennent `aI et que pour tout i≥2,au moins les ´el´ements u _i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +2

!, . . . , u _i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +l⁽ⁱ⁾₁

!,

u _i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +l₁⁽ⁱ⁾+2

!, . . . , u _i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +l⁽ⁱ⁾₁ +l⁽ⁱ⁾₂

!, . . .

. . . , u _i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +l⁽ⁱ⁾₁ +...+l⁽ⁱ⁾_ni−1+2

!, . . . , u _i

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j

!

appartiennent `a I ce qui entraˆıne que y ∈ I, absurde. En ´echangeant les rˆoles de x et y on obtient un r´esultat analogue donc quels que soient les

´

el´ements non nulsxdansI etydansJ on a, respectivement,Pn−2

k=1a_1kα_kj = 0, j = 1, . . . , n−2, et Pn−2

k=1a2kαkj = 0, j = 1, . . . , n−2.Dans ces conditions, d’apr`es (13) et (15) Proposition 2.1 on ab1b2= 0.S’il existe un ´el´ement non nul x dansI tel queb<sub>1</sub> 6= 0 alors, pour tout ´el´ement non nul ydansJ on ab<sub>2</sub> = 0 et, d’autre part, d’apr`es (13) Proposition 2.1 on a ujx = b1

Pn−2 k=1β_jku_k

, j = 1, . . . , n−2.Cela nous permet de dire que au moins les ´el´ements

u2, . . . , u_l(1) 1

, u_l(1)

1 +2, . . . , u_l(1)

1 +l₂⁽¹⁾, . . . u_l(1)

1 +...+l⁽¹⁾_n

1−1+2, . . . , u_l(1)

1 +l⁽¹⁾₂ +...+l⁽¹⁾n1

, . . . u _i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +2

!, . . . , u _i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +l⁽ⁱ⁾₁

!,

u _i−1

P

s=1 nsP

j=1

l^(s)_j +l₁⁽ⁱ⁾+2

!, . . . , u _i−1

P

s=1 nsP

j=1

l^(s)_j +l⁽ⁱ⁾₁ +l⁽ⁱ⁾₂

!, . . .

u i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +l⁽ⁱ⁾₁ +...+l⁽ⁱ⁾_ni−1+2

!, . . . , u _i

P

s=1 ns

P

j=1

l_j^(s)

!, . . . , un−2

sont dans I et d’apr`es (22) Proposition 2.1 on voit que pour tout ´el´ement non nul y=Pn−2

k=1a_2ku_k dans J on aa_2k= 0 au moins pour k∈

1, . . . , l₁⁽¹⁾−1, l⁽¹⁾₁ + 1, . . . , l⁽¹⁾₁ +l⁽¹⁾₂ −1, l⁽¹⁾₁ +l⁽¹⁾₂ + 1, . . . ,

n1

X

j=1

l⁽¹⁾_j −1,

n1

X

j=1

l⁽¹⁾_j + 1, . . . ,

i−1

X

s=1 ns

X

j=1

l^(s)_j −1,

i−1

X

s=1 ns

X

j=1

l^(s)_j + 1, . . . , n−3

.

Ainsi, pour tout ´el´ement non nul y dansJ on a y=

n1

X

k=1

a

2

k

P

j=1

l⁽¹⁾_j

!u _k

P

j=1

l⁽¹⁾_j

!+

r

X

i=2 ni

X

k=1

a

2

i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +

k

P

j=1

l⁽ⁱ⁾_j

!u _i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l_j^(s)+

k

P

j=1

l⁽ⁱ⁾_j

!

ce qui n’est pas permis. En ´echangeant les rˆoles de x et y et de b₁ et b₂ on obtient un r´esultat analogue. Donc, quels que soient les ´el´ements non nuls x dansI ety dansJ on obtient respectivementb₁ = 0 etb₂= 0 ce qui n’est pas possible non plus car v∈N = Ker(ω).

Preuve de 3). Soient I et J deux id´eaux non nuls de A contenus dans N = Ker(ω) et tels que N = I ⊕J. Quels que soient les ´el´ements non nuls x =Pn−2

k=1a_1ku_k+b₁v dansI et y=Pn−2

k=1a_2ku_k+b₂v dansJ on doit avoir, comme dans la d´emonstration de la Proposition 2.1, Pn−2

k=1a_1kα_kj = 0, j =

= 1, . . . , n−2 ouPn−2

k=1a2kαkj = 0,j= 1, . . . , n−2.Supposons qu’il existe un

´

el´ement non nulxdansItel quePn−2

k=1a_1kα_kj 6= 0 pour un indicejconvenable, 1 ≤ j ≤ n−2. D’apr`es la condition (17) Proposition 2.1 on a v ∈ I et pour tout ´el´ement non nul y dans J on a Pn−2

k=1a2kαkj = 0, j = 1, . . . , n −2.

D’apr`es la condition (20) Proposition 2.1 on a aussi Pn−2

k=1a_2kβ_kj = 0, j =

= 1, . . . , n−2.Notons que, dans la matrice β = (β_jk), β11 (=c1) si i= 1 ou βPi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1 Pi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1(=c_i) si i≥2 (la notationc_i, pour i≥1, nous aide simplement `a simplifier l’´ecriture de ces ´el´ements mais ne sera pas utilis´ee par la suite) est le seul ´el´ement ´eventuellement non nul. Ainsi, on peut consid´erer le syst`eme Pn−2

i=1 a_2iβ_ij = 0,j = 1, . . . , n−2, `a n−2 ´equations et n−2 inconnuesa2i,j = 1, . . . , n−2, comme ´etant un syst`eme den−3 ´equations

`

a n−3 inconnues en ´ecartant la variable a₂₁ si i = 1 ou a

2 Pi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1

si i≥2. Dans ces conditions on conclut quea_2k = 0 pour k ∈ {2, . . . , n−2}

si i= 1 ouk∈ {2, . . . , n−2} \n Pi−1

s=1

Pns

j=1l^(s)_j + 1o

sii≥2,ce qui entraˆıne y =a21u1+b2v sii= 1 ouy=a

2

Pi−1 s=1

Pns j=1l^(s)_j +1

uPi−1 s=1

Pns j=1l^(s)_j +1

+b2v si

i≥2.Puisquea216= 0 sii= 1 oua

2

Pi−1 s=1

Pns j=1l^(s)_j +1

6= 0 sii≥2,cela entraˆıne que 2(ey) = a₂₁u₁ si i = 1 ou 2(ey) = a

2 Pi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1uPi−1 s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1

si i ≥ 2 et, par suite, u1 ∈ J si i = 1 ou uPi−1 s=1

Pns

j=1l^(s)_j +1 ∈ J si i ≥ 2. D’autre part, de la condition (ii) de la table de multiplication de A on conclut que u_k ∈ I pour k ∈ {2, . . . , n−2} si i = 1 ou u_k ∈ I pour k ∈ {2, . . . , n−2} \n

Pi−1 s=1

Pns

j=1l^(s)_j + 1o

sii≥2.Or, d’apr`es la condition (2) de la Proposition 2.1 on avx=Pn−2

k=2

Pn−2

j=1a_1jβ_jk+γ_kb₁

u_k+(a₁₁β₁₁+γ₁b₁)u₁ si i= 1 ou

vx=

n−2

X

k=1

n−2

X

j=1

a1jβ_jk+γ_kb1

u_k+ +

a

1

i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +1

!β _i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +1

! i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +1

!+

+γ i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +1

!b1

u i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l_j^(s)+1

!,

si i ≥ 2; dans cette derni`ere expression de vx on doit avoir k 6=

6= Pi−1 s=1

Pns

j=1l^(s)_j + 1. D’apr`es notre supposition, par absurde, on doit avoir β₁₁ = 0 si i = 1 ou βPi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1 Pi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1

= 0 si i ≥ 2 ce qui entraˆıne b₁ = 0. Ainsi, x = Pn−2

i=1 a_1ku_k et pour tout ´el´ement non nul y dans J, y = a₂₁u₁ si i = 1 ou y = a

2 Pi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1

uPi−1 s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1 si i ≥ 2. En particulier on a J = hu₁i si i = 1 ou J = huPi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1i si i ≥2. Consid´erons maintenant les ´el´ements non nuls xl = Pn−2

i=1 clkuk+dlv, l = 1, . . . , n − 3, dans I de telle sorte que l’ensemble {x, x₁, . . . , xn−3} soit une base pour l’id´eal I. D’apr`es la condition (2) de la Proposi- tion 2.1, vx_l = Pn−2

k=1

Pn−2

j=1 c_ljβ_jk+γ_kd_l

u_k, l = 1, . . . , n−3, donc vx_l = Pn−2

k=2

Pn−2

j=1 c_ljβ_jk +γ_kd_l

u_k+γ1d_lu1 sii= 1 ou

vx_l=

n−2

X

k=1

ⁿ⁻² X

j=1

c_ljβ_jk+γ_kd_l

u_k+γ i−1

P

s=1 nsP

j=1

l^(s)_j +1

!d_lu i−1

P

s=1 nsP

j=1

l^(s)_j +1

!

si i ≥ 2 o`u, dans cette derni`ere somme, k 6= Pi−1 s=1

Pns

j=1l^(s)_j + 1. D’apr`es ce que l’on a expos´e pr´ec´edemment,dl= 0, l= 1, . . . , n−3,absurde car v∈N.

A un r´esultat analogue on arrive en ´echangeant x et y, c’est `a dire, en supposant l’existence d’un ´el´ement non nuly dansJ tel quePn−2

k=1a2kαkj 6= 0 pour un indice j convenable, 1≤j≤n−2.

On conclut alors que quels que soient les ´el´ements non nuls x dans I et y dans J on a Pn−2

k=1a_1kα_kj = 0, j = 1, . . . , n−2, et Pn−2

k=1a_2kα_kj = 0, j = 1, . . . , n−2, et d’apr`es les conditions (1) et (3) de la Proposition 2.1, on doit avoir b₁b₂ = 0.Dans ces conditions, s’il existe un ´el´ement non nul xdans I tel que b1 6= 0 la condition (1) de la Proposition 2.1 nous dit que uk ∈ I pour k∈ {2, . . . , n−2}si i= 1 ou k∈ {1, . . . , n−2} \n

Pi−1 s=1

P_ns

j=1l_j^(s)+ 1o si i ≥ 2. D’autre part, d’apr`es la condition (2) de la Proposition 2.1, vx = Pn−2

k=2

Pn−2

j=1 a1jβ_jk +γ_kb1

u_k+γ1b1u1 si i= 1 ou

vx=

n−2

X

k=1

ⁿ⁻² X

j=1

a1jβjk+γkb1

uk+γ i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l^(s)_j +1

!b1u i−1

P

s=1 ns

P

j=1

l_j^(s)+1

!,

si i≥2 o`u, dans cette derni`ere somme,k6=Pi−1 s=1

Pns

j=1l^(s)_j + 1.Cela entraˆıne queu1 ∈I sii= 1 ouuPi−1

s=1

P_ns

j=1l^(s)_j +1∈Isii≥2.Comme, pour tout ´el´ement non nul y dansJ on doit avoir b2 = 0,alors y∈I, ce qui est absurde.

A un r´esultat analogue on arrive en ´echangeant x et y, c’est `a dire, en supposant l’existence d’un ´el´ement non nuly dansJ tel queb2 6= 0.

Ainsi, quels que soient les ´el´ements non nuls x dans I ety dans J, on a b₁ = 0 etb₂ = 0,ce qui est encore impossible car v∈N.

Preuve de 4). Tout d’abord on remarque que, `a isomorphisme pr`es, on peut prendre i = 1 et i⁰ = 2. Ainsi, soient I et J deux id´eaux de A contenus dans N et tels que N = I ⊕ J. Quels que soient les ´el´ements non nuls x = Pn−2

k=1a1kuk +b1v dans I et y = Pn−2

k=1a2kuk+b2v dans J, d’apr`es la Proposition 2.1 on doit avoir Pn−2

k=1a_1kα_kj = 0, j = 1, . . . , n−2, ou Pn−2

k=1a_2kα_kj = 0, j = 1, . . . , n −2. Supposons qu’il existe un ´el´ement non nul x dans I tel que Pn−2

k=1a1kαkj 6= 0 pour un j convenable v´erifiant 1 ≤ j ≤ n−2. Dans ces conditions on doit avoir v ∈ I, d’apr`es la con- ditions (5) de la Proposition 2.1. De plus, pour tout ´el´ement non nul y dans J on a Pn−2

k=1a_2kα_kj = 0, j = 1, . . . , n −2, et d’apr`es la conditions (8) de la Proposition 2.1, on a aussi Pn−2

k=1a_2kβ_kj = 0, j = 1, . . . , n−2.

On remarque que la premi`ere ligne et la premi`ere colonne de la matrice β = (β_kj) sont nulles donc, dans le syst`eme ci-dessus, on peut abandonner la premi`ere ´equation ainsi que la premi`ere inconnue a₂₁.Dans ces conditions on conclut que a2k = 0 au moins pour k ∈

2, . . . , l₁⁽²⁾, l⁽²⁾₁ + 2, . . . , l₁⁽²⁾+ +l⁽²⁾₂ , l₁⁽²⁾+l⁽²⁾₂ + 2, . . . ,Pn2

j=1l_j⁽²⁾ S Pn2

j=1l_j⁽²⁾+ 2,Pn2

j=1l⁽²⁾_j + 3, . . . , n−2 ,