. Cette clˆ oture alg´ ebrique est donc un corps de caract´ eristique 2 ; on rappelle que l’on note Fr

(1)

Probl` eme

(Clˆ oture quadratique de F

²

d’apr` es J. H. Conway)

Soit Ω une clˆ oture alg´ ebrique de F

2

. Cette clˆ oture alg´ ebrique est donc un corps de caract´ eristique 2 ; on rappelle que l’on note Fr

_Ω

l’endomorphisme de Frobenius du corps Ω, α 7→ α

²

.

0) Montrer que Fr

_Ω

est un automorphisme du corps Ω (c’est-` a-dire que Fr

_Ω

est bijectif).

1) Montrer qu’il existe une suite (α

n

)

n∈N−{0}

d’´ el´ ements de Ω v´ erifiant la relation de r´ ecurrence :

(R) α

²_n

+ α

_n

=

n−1

Y

i=1

α

_i

(cette relation se lit α

²₁

+ α

₁

= 1 pour n = 1).

On consid` ere maintenant une telle suite.

2) On note K

_n

le sous-corps F

2

[α

₁

, α

₂

, . . . , α

_n

] de Ω. Montrer que l’extension F

²

⊂ K

n

est finie et que son degr´ e divise 2

ⁿ

.

3) On pose ϕ = Fr

_Ω

et ψ = Fr

_Ω

− Id

_Ω

, Id

_Ω

d´ esignant l’identit´ e de Ω ; ϕ est donc un automorphisme du corps Ω et ψ un endomorphisme du F

2

-espace vectoriel sous-jacent. On pose ´ egalement β

_n

= ^Q

ⁿ_i=1

α

_i

. Montrer que l’on a pour tout n ≥ 1 :

- ψ

²ⁿ⁻¹

(α

_n

) = 1 ; - ψ

²ⁿ

(α

_n

) = 0 ; - ψ

²ⁿ⁻¹

(β

_n

) = 1.

(Proc´ eder par r´ ecurrence ; observer que l’on a ψ

²^m

= ϕ

²^m

+ Id

_Ω

, pour tout entier m.)

4) Montrer que α

n

est de degr´ e 2

ⁿ

sur F

²

et que l’on a [K

n

: F

²

] = 2

ⁿ

et K

_n

= F

2

[α

_n

]. Montrer que la suite (K

_n

)

_n∈_N_−{0}

de sous-corps de Ω ne d´ epend pas du choix de la suite (α

_n

)

n∈N−{0}

.

5) On pose K = ^S

_n∈N−{0}

K

_n

. Montrer que K est un sous-corps de Ω et que tout polynˆ ome irr´ eductible ` a coefficients dans K est de degr´ e impair.

6) Soit I une partie finie de N −{0} ; on pose α

_I

= ^Q

_i∈I

α

_i

(on a donc α

_∅

= 1).

Montrer que les α

_I

, I d´ ecrivant l’ensemble des parties de {1, 2, . . . , n} (resp.

l’ensemble des parties finies de N − {0}), forment une base de K

_n

(resp. K) comme F

₂

-espace vectoriel.

1

(2)

7) Soit ( ¯ α

_n

)

n∈N−{0}

une autre suite d’´ el´ ements de Ω v´ erifiant (R).

7.1) Montrer qu’il existe suite (c

_n

)

_n∈_N

d’´ el´ ements de {0, 1}, uniquement d´ eter- min´ ee, telle que l’on a ¯ α

_n

= ϕ

^eⁿ

(α

_n

) avec e

_n

= ^P

ⁿ⁻¹_i=0

c

_i

2

ⁱ

.

7.2) Montrer que les ¯ α

_n

appartiennent ` a K et qu’il existe un automorphisme σ de K, uniquement d´ etermin´ e, tel que l’on a ¯ α

_n

= σ(α

_n

).

8) Soit F

²

[X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

, . . .] l’anneau des polynˆ omes ` a coefficients dans F

²

en des ind´ etermin´ ees X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

, . . . index´ ees par N − {0}. On pose, pour n ∈ N − {0},

R

_n

= X

_n²

+ X

_n

+

n−1

Y

i=1

X

_i

(ceci se lit R

₁

= X

₁²

+X

₁

+ 1 pour n = 1) et on note hR

_n

; n ∈ N − {0}i l’id´ eal de F

2

[X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

, . . .] engendr´ e par les R

_n

, n ∈ N − {0}. On introduit l’anneau quotient

C = F

2

[X

₁

, X

₂

, . . . , X

_n

, . . .]/hR

_n

; n ∈ N − {0}i et on note γ

_n

l’image de X

_n

dans C.

8.1) Montrer qu’il existe un unique homomorphisme d’anneaux λ : C → K avec λ(γ

n

) = α

n

et que cet homomorphisme est un isomorphisme.

8.2) Soit I une partie finie de N −{0} ; on pose γ

_I

= ^Q

_i∈I

γ

_i

(γ

∅

= 1). Montrer que les γ

_I

, I d´ ecrivant l’ensemble des parties finies de N − {0}, forment une base de C comme F

2

-espace vectoriel.

8.3) Soient E un F

2

-espace vectoriel et B une base de E. V´ erifier que l’ap- plication P

_f

(B) → E , S 7→ ^P

_s∈S

s, la notation P

_f

( ) d´ esignant l’ensemble des parties finies d’un ensemble, est une bijection.

8.4) V´ erifier que l’application P

_f

( N ) → N , I 7→ ^P

_i∈I

2

ⁱ

, est une bijection.

8.5) Les questions 8.2 et 8.3 montrent que l’on dispose d’une bijection P

_f

(P

_f

( N − {0})) → C , ou encore P

_f

(P

_f

( N )) → C, en utilisant la bijection N − {0} → N , n 7→ n − 1 ; finalement, compte tenu de la question 8.4, on voit que l’on dispose d’une bijection explicite N → C. On la note ν. Soient +

_c

et

×

_c

les lois de composition sur N d´ efinies par m +

c

n = ν

⁻¹

(ν(m) + ν(n)) et m ×

_c

n = ν

⁻¹

. Cette clˆ oture alg´ ebrique est donc un corps de caract´ eristique 2 ; on rappelle que l’on note Fr

Probl` eme

(Clˆ oture quadratique de F

d’apr` es J. H. Conway)

Soit Ω une clˆ oture alg´ ebrique de F

. Cette clˆ oture alg´ ebrique est donc un corps de caract´ eristique 2 ; on rappelle que l’on note Fr

l’endomorphisme de Frobenius du corps Ω, α 7→ α

.

0) Montrer que Fr

est un automorphisme du corps Ω (c’est-` a-dire que Fr

est bijectif).

1) Montrer qu’il existe une suite (α

)

d’´ el´ ements de Ω v´ erifiant la relation de r´ ecurrence :

(R) α

+ α

=

Y

α

(cette relation se lit α

+ α

= 1 pour n = 1).

On consid` ere maintenant une telle suite.

2) On note K

le sous-corps F

[α

, α

, . . . , α

] de Ω. Montrer que l’extension F

⊂ K

est finie et que son degr´ e divise 2

.

3) On pose ϕ = Fr

et ψ = Fr

− Id

, Id

d´ esignant l’identit´ e de Ω ; ϕ est donc un automorphisme du corps Ω et ψ un endomorphisme du F

-espace vectoriel sous-jacent. On pose ´ egalement β

= Q

α

. Montrer que l’on a pour tout n ≥ 1 :

- ψ

(α

) = 1 ; - ψ

(α

) = 0 ; - ψ

(β

) = 1.

(Proc´ eder par r´ ecurrence ; observer que l’on a ψ

= ϕ

+ Id

, pour tout entier m.)

4) Montrer que α

est de degr´ e 2

sur F

et que l’on a [K

: F

] = 2

et K

= F

[α

]. Montrer que la suite (K

)

de sous-corps de Ω ne d´ epend pas du choix de la suite (α

)

.

5) On pose K = S

K

. Montrer que K est un sous-corps de Ω et que tout polynˆ ome irr´ eductible ` a coefficients dans K est de degr´ e impair.

6) Soit I une partie finie de N −{0} ; on pose α

= Q

α

(on a donc α

= 1).

Montrer que les α

, I d´ ecrivant l’ensemble des parties de {1, 2, . . . , n} (resp.

l’ensemble des parties finies de N − {0}), forment une base de K

(resp. K) comme F

-espace vectoriel.

1

= ^Q

5) On pose K = ^S

= ^Q

= ^P

= ^Q

(B) → E , S 7→ ^P

( N ) → N , I 7→ ^P