Probl` eme n

Devoir surveill´ e de Sciences Physiques n

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5 du 13-01-2022

— Dur´ee : 4 heures —

Probl` eme n

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1 – Un œuf dur en rotation

30 minutes maximum !

Comp´etences Capacit´es associ´ees

S’approprier le probl`eme Identifier les grandeurs physiques pertinentes.

Identifier les grandeurs physiques inconnues et/ou non pr´ecis´ees.

Etablir une strat´egie de r´esolution´ Pr´esenter le probl`eme en une mod´elisation simplifi´ee.

(analyser) Expliciter la mod´elisation choisie.

D´eterminer et ´enoncer les lois physiques qui seront utilis´ees.

Mettre en œuvre une strat´egie de r´esolution Mener la d´emarche jusqu’au bout afin de

(r´ealiser) r´epondre explicitement aux questions pos´ees.

Traduire les lois physiques utilis´ees sur la situation mod´elis´ee.

Savoir mener efficacement les calculs analytiques et les applications num´eriques.

Avoir un regard critique sur les S’assurer qu’on a r´epondu aux questions pos´ees.

r´esultats obtenus (valider) V´erifier la pertinence du r´esultat trouv´e.

Comparer le r´esultat trouv´e avec une valeur de l’´enonc´e.

Utiliser l’analyse dimensionnelle pour v´erifier l’homog´en´eit´e d’un r´esultat.

Communiquer Pr´esenter la solution et la r´ediger.

Expliquer le raisonnement suivi.

Utiliser les termes scientifiques appropri´es.

Un œuf dur est mis en rotation sur une table horizontale autour de son petit axe.

Donn´ees :

— Les moments d’inertie d’un cerceau homog`ene d’axeOz, de massem et de rayonR sontJOz =mR²et JOx=JOy = 1

2mR².

— Les moments d’inertie d’un cylindre plein homog`ene d’axeOz, de massem, de rayonRet de hauteur ℓ sontJOz =1

2mR² etJOx=JOy= 1

4mR²+ 1 12mℓ².

— Le moment d’inertie d’une sph`ere pleine, homog`ene, de massemet de rayonRpar rapport `a l’un de ses axes de sym´etrie estJ = 2

5mR².

— Le moment d’inertie d’un ellipso¨ıde plein homog`ene d’axeOz, de massem, de rayonR et de hauteurℓ sontJOz =2

5mR² etJOx=JOy= 1

5mR²+ 1 20mℓ².

1.D´eterminer l’ordre de grandeur de la vitesse angulaire minimale au del`a de laquelle l’œuf peut se redresser spontan´ement et se mettre `a tourner autour de son grand axe, voir les photographies de la figure 1.

Petit axe Grand axe

~g

Figure1 – L’œuf lanc´e en rotation autour de son petit axe se rel`eve pour tourner autour de son grand axe.

Probl` eme n

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2 – Ralentissements et freinages

X MP 2015

A. Mar´ ees et synchronisations d’oscillateurs

Les forces gravitationnelles s’exer¸cant entre deux corps c´elestes en mouvement sont `a l’origine d’effets de mar´ee, analogues aux mar´ees oc´eaniques : les effets inertiels et les forces de gravitation s’exer¸cant sur un corps sont variables d’un point `a un autre et la force de mar´ee est le bilan des ´ecarts entre ces diff´erentes forces. Dans cette ´etude, on n´egligera, en raison de leur faible importance, les effets inertiels associ´es aux rotations propres des divers corps. Un objet - par exemple la Lune - r´eput´e homog`ene, sph´erique, de masse 2m, de centreO et de rayonRL est en orbite circulaire de rayond≫RL autour d’un objet ponctuel (T) - par exemple la Terre - r´eput´e fixe et de masseM. Pour simplifier l’´etude, le satellite (figure 2a) est d´ecompos´e par la pens´ee en deux h´emisph`eres identiques (figure 2b), mod´elis´es chacun par son centre de masse, situ´e sur l’axe de l’h´emisph`ere

`a la distance b = 3

8RL de O et portant la masse m. Le syst`eme Terre - Lune sera consid´er´e comme isol´e ; par sym´etrie, il pourra ˆetre trait´e comme un syst`eme plan. Le r´ef´erentiel d’´etude de la figure 2c, Oxy, est en translation circulaire autour de (T) : les axes gardent des directions fixes par rapport aux ´etoiles lointaines et la vitesse angulaire de r´evolution Ωr est constante, Ωr=

rGM d³ .

Quelques symboles et donn´ees num´eriques relatifs `a la premi`ere partie Symbole et valeur Sens et occurrence

d= 360×10⁶m Distance Terre-Lune

G= 6,67×10⁻¹¹m³·kg⁻¹·s⁻² Constante de gravitation

M = 6×10²⁴kg Masse de la Terre

2m=M

81 Masse de la Lune

RL= 1750×10³m Rayon de la Lune

R= 6400×10³m Rayon de la Terre

Etude qualitative´ Cas statique

1. La force totale subie par le satellite est d´eveloppable en s´erie de RL; le terme d’ordre z´ero correspond au mod`ele ponctuel : masse 2m localis´ee en O. Les termes suivants correspondent aux effets de mar´ee. La configuration initiale ´etant repr´esent´ee `a la figure 2(c), d´eterminer, au premier ordre enb/d, l’expression de la force subie parG1de la part de la Terre.

2.En consid´erant les forces gravitationnelles subies parG¹, montrer qu’il existe une limitedm`ad, en de¸c`a de laquelle le satellite se brise (limite de Roche).

3.Calculerdm pour le syst`eme Terre-Lune. Le r´esultat pourrait-il inciter `a penser que la Lune s’est d´etach´ee de la Terre, ou au contraire montrer que cette hypoth`ese est peu plausible ?

Figure 2 – Le satellite en (a) est mod´elis´e en (b) par deux points massiques situ´es aux centres de masse respectifs,G¹ et G², de deux h´emisph`eres. La situation initiale est repr´esent´ee en (c).

D´eformation de la plan`ete pendant sa r´evolution

Le satellite est constitu´e d’un noyau rigide entour´e d’un manteau d´eformable qui peut glisser avec frottement sur ce noyau. Un point P de la surface du satellite, de masse m⁰, est rep´er´e dans le plan Oxy parOP = r (figure 3).

Figure3 – Notations pour l’effet de mar´ee ; seuls les centres des plan`etes ont ´et´e repr´esent´es.

4.Montrer que, au premier ordre en r/d, la force de mar´ee enP, appel´ee force de mar´ee interne, s’exprime parF~ = GM m^′

d³ (2rcosθ~ex−rsinθ~ey) sont les vecteurs unitaires port´es respectivement parOxet Oy.

5.Indiquer sur un sch´ema le sens des forces de mar´ee enP et enP⁰, diam´etralement oppos´e `aP. On notera

~erle vecteur unitaire port´e parOP. Expliquer l’apparition d’un bourrelet `a la surface du satellite et d´eterminer qualitativement la forme d’´equilibre du satellite `a deux instants diff´erents de la r´evolution orbitale. Quelle est la cons´equence de cette d´eformation sur son mouvement ?

Synchronisation des p´eriodes Consid´erations ´energ´etiques

6.Si l’orbite lunaire ´etait circulaire avec son axe de rotation perpendiculaire au plan de r´evolution, on obser- verait de la Terre, `a la mˆeme heure, toujours la mˆeme surface lunaire ; en r´ealit´e, 59% de la surface de la Lune peut ˆetre observ´ee depuis la Terre. Comment cela se peut-il ?

Le centre de masse du syst`eme isol´e Terre - Lune est not´eG; on noteµ= 2M m

M+ 2m sa masse r´eduite et l’on rappelle la relationM GT²+ 2m GO²=µ d². On conviendra que, dans le r´ef´erentiel galil´een barycentrique, la plan`ete et le satellite d´ecrivent des cercles centr´es sur G, avec la mˆeme vitesse angulaire Ω(t). La p´eriode de rotation propre de la Terre est d’environ 86 400 s ; la vitesse angulaire correspondante est not´eeω(t) ; la p´eriode de rotation de la Lune est de vingt-sept jours, on note Ω(t) la vitesse angulaire correspondante : les vitesses angulaires de rotation et de r´evolution de la Lune sont, `a chaque instant, quasiment identiques ; on admet que les vecteurs rotation~ω et ~Ω sont colin´eaires et de mˆeme sens (voir figure 4) sont colin´eaires et de mˆeme sens (voir figure 4) ; la grandeurdpeut elle aussi d´ependre du temps.

Figure4 – Sch´ematisations de la rotation et de la r´evolution de la Terre

7.Etablir l’expression de l’´energie cin´etique de r´evolution du syst`eme Terre - Lune.´

8.Admettant que l’´energie cin´etique de rotation d’une boule de rayonr^′et de massem^′, en rotation (ω^′) autour d’un axe de direction fixe passant par son centre, est Ec = 1

5m^′r^′2ω^′2, montrer que, avec une approximation que l’on pr´ecisera, l’´energie cin´etique du syst`eme Terre-Lune estEc≃ 1

5M R²ω²+1 2µd²Ω².

9. Montrer que, avec la mˆeme approximation, la norme du moment cin´etique barycentrique du syst`eme est σG ≃µd<sup>2</sup>Ω +<sup>2</sup><sub>5</sub>M R<sup>2</sup>ω. Donner, `a l’ordre 0 enb/d, l’´energie m´ecanique du syst`eme.

10.Consid´erant l’´equilibre des forces s’exer¸cant sur la Terre et sur la Lune, ´etablir la relation liantd, Ω, M et m(on obtient une relation ressemblant `a une loi deK´epler). En d´eduire le lien entre les petites variations relatives δΩ

Ω et δd d .

11.Consid´erant `a pr´esent le moment cin´etique barycentrique du syst`eme isol´e Terre - Lune, ´etablir le lien entre les petites variationsδω et δdet en d´eduire l’expression de δω

δΩ en fonction dem, M, det R. La valeur num´erique de ce rapport est 35,6.

12.D´eduire des consid´erations pr´ec´edentes que l’expression de la petite variation d’´energie m´ecanique associ´ee

`

a une petite variation deδω est dE=2

5M(ω−Ω)R²δω.

Stabilit´e du syst`eme Terre-Lune

Le frottement associ´e aux mar´ees dissipe de l’´energie. La Lune s’´eloigne de la Terre `a raison de 3 `a 4 cm par an. L’´etude des anneaux de croissance de coraux fossiles montre qu’il y a 500 millions d’ann´ees la dur´ee du jour

´etait de 21 heures.

13.Quels sont les signes, aujourd’hui, de δω,δΩ etδd? Quelle sera la dur´ee du jour dans un si`ecle ?

14.Le r´esultat calcul´e `a la question pr´ec´edente est-il en accord avec les donn´ees du pr´eambule ? L’intervalle de temps s´eparant deux nouvelles lunes (lunaison) augmente-t-il ou diminue-t-il ? Sa variation est-elle plus rapide ou plus lente que celle de la dur´ee du jour ?

15.Montrer que la dissipation d’´energie finit par ne plus avoir lieu. Calculer la dur´ee du jour et la distance Terre - Lune au terme du processus de dissipation.

16.Estimer la dur´ee du processus de synchronisation et la comparer `a l’ˆage de l’Univers, soit environ 10¹⁰ ann´ees.

17.CalculerEDM, ´energie dissip´ee par effet de mar´ee entre la p´eriode actuelle et la fin du processus. Le Soleil dissipe 4×10²⁶W ; combien de secondes lui faudrait-il pour dissiperEDM?

Probl` eme n

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3 – Des perchlorates sur Mars

Centrale TSI 2019 Aller sur Mars est sans nul doute l’un des plus vieux rˆeves de l’humanit´e, symbole de la conquˆete spatiale commenc´ee enavec le premier vol spatial orbital Spountnik 1. L’Homme n’a pas encore foul´e le r´egolithe (sol martien) de la plan`ete rouge, mais atteindre Mars est loin d’ˆetre une sin´ecure. En outre, la plan`ete rouge se r´ev`ele peu hospitali`ere (pr´esence de puissants oxydants rendant la vie sur la surface impossible, pression atmosph´erique ´evanescente, temp´erature de surface plus basse que sur le continent Antarctique. . . ).

En , la mission Mars phoenix de la NASA d´ecouvre dans les sols martiens la pr´esence de perchlorates commeMg(ClO4)2, Ca(ClO4)2,KClO4 . . . susceptibles de se d´ecomposer sous l’effet de temp´eratures ´elev´ees ou d’une exposition aux rayons ultra-violets solaires pour former des esp`eces chlor´ees capables de d´egrader les acides amin´es (constituants ´el´ementaires des prot´eines) rendant l’habitabilit´e de Mars plus difficile que pr´evu.

En, la NASA d´ecouvre ´egalement que ces sels de perchlorate m´elang´es `a l’eau forment des saumures qui demeurent liquides lors des ´et´es martiens et ravinent les terrains.

Un ensemble de valeurs num´eriques est propos´e `a la fin de l’´enonc´e.

A. G´ en´ eralit´ es

1. Donner, en la justifiant, la configuration ´electronique des atomes O et Cl dans leur ´etat fondamental et pr´eciser le nombre d’´electrons de valence pour chaque atome.

2.Etablir le sch´ema de´ Lewisdes ions perchlorateClO⁻₄ en sachant que l’atome de chlore est l’atome central.

On rappelle que ce sch´ema implique de mettre en ´evidence les paires liantes et non liantes.

3.Rappeler la d´efinition d’un oxydant et celle d’un r´educteur.

4. Sur Mars, l’´el´ement chlore est pr´esent, notamment dans les saumures, dans les esp`eces suivantes :ClO<sup>−</sup><sub>4</sub>, ClO<sup>−</sup><sub>3</sub> (ion chlorate), ClO<sup>−</sup><sub>2</sub> (ion chlorite), ClO<sup>−</sup> (ion hypochlorite) et Cl<sup>−</sup> (ion chlorure). Quel est le nombre d’oxydation de l’´el´ement chlore dans chacune de ces esp`eces ? Justifier la r´eponse.

B. ´ Etude thermodynamique d’une r´ eaction de destruction des ions perchlorate

On ´etudie la r´eaction mod´elis´ee par l’´equation suivante : KCLO4s⇋KClO3s+1

2O2gaz (1)

5.D´eterminer l’expression litt´erale puis la valeur num´erique de ∆rH^◦ enthalpie standard de la r´eaction (1) `a la temp´eratureT¹= 298 K. La r´eaction est-elle endothermique ou exothermique ?

6. La constante d’´equilibre de la r´eaction (1) `a la temp´erature T<sup>1</sup> = 298 K vaut K<sup>◦</sup>(T<sup>1</sup>) = 6,43×10<sup>−2</sup>. Exprimer K<sup>◦</sup>(T) en fonction des temp´eraturesT, T<sup>1</sup>, deR,K<sup>◦</sup>(T<sup>1</sup>) et de ∆rH<sup>◦</sup>. On fait l’hypoth`ese que l’on se place dans l’approximation d’Ellingham.

7.Calculer la valeur num´erique deK^◦(T0).

Dans la suite du probl`eme, on prendraK^◦(T⁰) = 1,7×10⁻⁴.

8.Sur Terre, la pression atmosph´erique au sol est de l’ordre de la pression standardP^◦ tandis que sur Mars, elle vaut environ 8×10²Pa. La valeur de la constante d’´equilibre `aT0= 210 K (temp´erature moyenne de surface sur Mars) est-elle influenc´ee par les conditions de pression qui r`egnent sur Mars ? Justifier la r´eponse.

9.Exprimer le quotient de r´eactionQde la r´eaction (1).

10.Calculer la pression d’´equilibre en dioxyg`enePO2eq associ´ee `a la r´eaction (1) `a la temp´eratureT⁰.

11.En r´ealit´e, il existe sur Mars un ensemble de m´ecanismes fixant la pression partielle en dioxyg`ene gazeux :

`a T0 = 210 K, cette derni`ere vaut P_O^′₂ = 0,80 Pa. `A T0 = 210 K et pour une pression en dioxyg`ene ´egale `a 0,80 Pa, dans quel sens la r´eaction (1) est-elle thermodynamique possible ?

C. ´ Etude cin´ etique de la d´ ecomposition des mol´ ecules de chloro-glycine

En , en reproduisant les conditions d’exposition aux rayons ultra-violets solaires qui r`egnent sur Mars, l’Universit´e de Weber (Utah, ´Etats-unis) a ´etudi´e, en solution aqueuse, les r´eactions de formation d’acides α- amin´es chlor´es (chloro-glycine et chloro-alanine) `a partir des ions hypochlorite (constituant issu de r´eactions de r´eduction des ions chlorate sur Mars) et d’acidesα-amin´es (glycine et alanine). Expos´ee aux rayons ultraviolets, la chloro-glycine (que nous d´esignons parAaq par la suite), par exemple, est un constituant instable. Nous nous int´eressons ici, `a la temp´erature de 298 K, `a la cin´etique de la r´eaction de d´ecomposition de ce constituant en solution aqueuse selon la r´eaction d’´equation ´ecrite formellement :

Aaq⇋Produitsaq

Trois exp´eriences ont ´et´e r´ealis´ees avec des concentrations molaires initiales [A⁰] valant 1,00×10⁻³mol·L⁻¹, 2,00×10⁻³mol·L⁻¹ et 5,00×10⁻³mol·L⁻¹. L’´evolution temporelle de la concentration molaire en A est repr´esent´ee sur la figure 5.

0,5 1,0 2,0 5,0

[A](mmol·L−1)

00 2 4 10 20

t(10⁵s)

Figure5 – ´Evolution temporelle de la concentration molaire en chloro-glycine pour les 3 exp´eriences 12.D´efinir le temps de demi-r´eaction et l’´evaluer pour chaque exp´erience. Que peut-on en d´eduire pour l’ordre de la r´eaction ?

13.On notekla constante de vitesse de la r´eaction de d´ecomposition de la chloro-glycine. ´Etablir l’expression de [A] =f(t).

14.Exprimer la constante de vitesse en fonction du temps de demi-r´eaction.

15.Evaluer num´eriquement la constante de vitesse´ k dans le cadre des exp´eriences r´ealis´ees ci-dessus. L’uni- versit´e de Weber a obtenu une valeur de k´egale `a 1,65×10<sup>−6</sup>SI. La valeur trouv´ee `a la question pr´ec´edente est-elle en bon accord avec cette valeur ?

16.Quelle pr´evision pouvez-vous faire pour la constante de vitesse sur Mars et donc pour le temps de demi- r´eaction ? Justifier.

Donn´ees num´eriques : O:Z = 8 etCl:Z = 17.

Constante des gaz parfaits :R= 8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹ Enthalpies standard de formation `a 298 K :

Perchlorate de potassium solide : ∆fH_KClO^◦ _4s =−432,8 kJ·mol⁻¹ Chlorate de potassium solide : ∆fH_KClO^◦ _3s=−397,7 kJ·mol⁻¹