Mesure de la p´ eriode

1. Incertitudes de mesure et calculs d’erreurs Manip 1

Mesure de la p´ eriode du pendule

Les temps mesur´es pour 5 p´eriodes sont :

11.32 s 11.06 s 10.75 s 11.09 s 10.59 s 10.82 s 11.12 s 11.06 s 11.32 s 11.15 s 8.57 s 9.20 s

Les deux derni`eres mesures sont rejet´ees car leurs valeurs s’´ecartent significativement de la distribution statistique. Elles sont certainement erron´ees.

La moyenne T est de 11.03 s, et l’´ecart type σT vaut 0.23 s. L’incertitude erT sur la moyenne est donn´ee parerT = σT

√n= 0.07 o`u nest le nombre de mesures r´ealis´ees.

Pour obtenir la valeur de la p´eriode, on divise simplement par 5 la moyenne et l’incertitude. On obtientT = 2.21±0.02 s (Pour les incertitudes, on ne garde habituellement qu’un seul chiffre significatif en arrondissant vers le haut. Ainsi, 0.07/5 = 0.014 est arrondi `a 0.02).

histo1 Entries 10 Mean 11.03 RMS 0.2263

9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

3 histo1

Entries 10 Mean 11.03 RMS 0.2263

histo1

Entries 10

Mean 11.03

RMS 0.2263

/ ndf

χ2 0.7536 / 12

Prob 1

Constant 3.194 ± 1.237 Mean 11.04 ± 0.08 Sigma 0.2498 ± 0.0558

9.5 10 10.5 11 11.5 12 12.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

histo1

Entries 10

Mean 11.03

RMS 0.2263

/ ndf

χ2 0.7536 / 12

Prob 1

Constant 3.194 ± 1.237 Mean 11.04 ± 0.08 Sigma 0.2498 ± 0.0558

Fig.1 – Histogramme des mesures

Largeur ` a mi-hauteur et ´ ecart-type

Sur l’histogrammeFig1, la largeur `a mi-hauteur vaut 0.8 s. Le rapport F W HM

σ = 0.8

0.23= 3.48 est du mˆeme ordre de grandeur que le rapport auquel on s’attend pour une distribution gaussienne (2.35).

L

m

g

Fig.2 – Sch´ema de l’exp´erience

Manip 2

Mesure de la p´ eriode

Le tableau ci-dessous donne les dur´ees mesur´ees pour 5 oscillations.

Masse [kg] Longueur [m] P´eriode [s]

0.5 1.20±0.01 11.1±0.5 0.1 1.16±0.01 11.06±0.5 0.2 1.18±0.01 10.94±0.5 * 0.2 1.18±0.01 11.03±0.5 0.2 0.97±0.01 10.03±0.5 0.2 0.72±0.01 8.6±0.5 0.2 0.43±0.01 6.7±0.5 0.2 0.18±0.01 4.6±0.5

* amplitude d’oscillation plus ´elev´ee (environ 20˚au lieu de 5˚pour les autres mesures)

D´ ependances

Longueur [m]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

riode [s]eP

0 0.5 1 1.5 2 2.5

] m Racine de la longueur [

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

riode [s]eP

0 0.5 1 1.5 2 2.5

/ ndf

χ2 0.2637 / 5

Prob 0.9983

p0 2.039 ± 0.0551 / ndf

χ2 0.2637 / 5

Prob 0.9983

p0 2.039 ± 0.0551

Fig.3 – P´eriode d’une oscillation en fonction de la longueur

On observe que la p´eriode d’oscillation T ne d´epend ni de la masse suspendue ni de l’amplitude de l’oscillation. En revanche, elle d´epend de la longueur du fil L. La Fig 3 permet de voir que T est proportionnelle `a √

L.

Par analyse dimensionnelle, il est facile de montrer que T = C ·√

L

g o`u C est une constante `a d´eterminer etg est l’acc´el´eration gravitationnelle terrestre (9.81 m s⁻²). On voit que ^L_g a pour unit´es² et donc

√L

g a la mˆeme unit´e que la p´eriodeT.

La constance de proportionnalit´e peut ˆetre tir´ee de l’exp´erience. Sur le graphique repr´esentantT en fonction de√

L, la pentepnous donne √^Cg. Ainsi,C=p· √g= 2.04·√

9.81 = 6.39 eterC=erp· √g= 0.055·√

9.81 = 0.17. On trouve donc

T = (6.39±0.2)

√ L

g (1)

Cette valeur est en bon accord avec la th´eorie qui nous donne : T = 2π

√ L

g (2)

Manip 3

0 0.1 0.5 1 1.5 z (m)

Fig. 4 – Sch´ema de la manip 3. Le d´epart de la bille enclenche le chronom`etre. Quatre capteurs de mouvement dispos´es sur sa trajectoire commandent la m´emorisation des temps de passage.

Les temps de passage mesur´es sont :

z t t²

0.1±0.002 0.144±0.0005 0.021±0.0002 0.5±0.002 0.32±0.0005 0.102±0.0002 1.0±0.002 0.452±0.0005 0.204±0.0002 1.5±0.002 0.554±0.0005 0.307±0.0002

Fig. 5 – L’incertitude sur la position est due `a la taille du photosenseur qui est de l’ordre de 2 mm.

Apr`es avoir r´ealis´e plusieurs mesures `a une mˆeme hauteur, on constate que la fluctuation sur les dur´ees mesur´ees est typiquement de 0.0005 s. Pour d´eterminer l’incertitude sur t², il faut utiliser la formule g´en´erale suivante : Soit une fonction f(x). L’incertitude erf(x) sur la valeur de f(x) est donn´ee par erf(x) =f⁰(x)·erx. Dans notre cas, la fonction estf(x) =x², doncerf(x) = 2x·erx

Commex₀= 0 etv₀= 0, z(t) =1 2gt²

Une droite passant par l’origine est ajust´ee sur le graphique z(t²) (Fig 6). La pente vaut 4.89± 0.03 m/s². On trouve doncg= 9.78±0.06 m/s² (en accord avec la valeur r´eelle de 9.81 m/s²).

2)

2 (s t

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

z (m)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

/ ndf

χ2 0.1666 / 3

Prob 0.9828

p0 4.891 ± 0.02555 / ndf

χ2 0.1666 / 3

Prob 0.9828

p0 4.891 ± 0.02555

Fig.6 – position en fonction det²

Exercice 1

θ [^◦] θ sinθ Erreur 10 0.17 0.17 0.5 % 20 0.35 0.34 2.1 % 30 0.52 0.50 4.7 % 40 0.70 0.64 8.6 %

Exercice 2

Variable x : moyenne et ´ ecart-type

On calcule la moyenne hxi = ₁₀¹ ∑10

i=1xi et la moyenne des carr´es hx²i = ₁₀¹ ∑10

i=1x²_i, ce qui nous donne :

hxi= 25 hx²i= 649.8 L’´ecart-type, calcul´e par les deux m´ethodes, nous donne :

σ= vu ut1

10

∑10

i=1

(xi− hxi)²= 4.98 σ=

√

hx²i − hxi²= 4.98

On peut v´erifier que la moyenne (MEAN) et l’´ecart-type (RMS) correspondent aux valeurs donn´ees sur l’histogramme de laFig7.

histo Entries 10 Mean 25 RMS 4.98

10 15 20 25 30 35 40

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

histo Entries 10 Mean 25 RMS 4.98 Histogramme

Fig.7 – Repr´esentation de la mesure dex

Combinaison de deux variables (non corr´ el´ ees)

On consid`ere deux variables,xety, donn´ees parhxi= 25,σx= 4.98 et hyi= 10,σy= 2.

La valeur moyennehx−yiest simplement donn´ee parhxi − hyiet donchx−yi= 15. L’erreur doit ˆ

etre calcul´ee suivant sa nature. S’il s’agit d’une erreur syst´ematique (par exemple votre r`egle est fauss´ee), alors on additionne les erreursabsolues

σ_x+y =σ_x−y=σ_x+σ_y. (3)

Si par contre les erreurs sont de nature statistique, on additionne les carr´es des erreurs (absolues), comme indiqu´e dans la donn´ee

σx+y=σx−y =

√

σ_x²+σ_y². (4)

Dans notre cas, les valeurs obtenues sont respectivement 6.98 et 5.37.

La valeur moyenne hx·yiest hxi · hyiet donc hx·yi= 250. Suivant la nature de l’erreur, il y a de nouveau deux calculs diff´erents, mais cette fois les erreursrelatives entrent en jeu. A nouveau, pour une erreur syst´ematique, on additionne simplement les erreurs (relatives)

σx·y

x·y = σx

x +σy

y , (5)

alors que pour des erreurs statistiques on a (σx·y

x·y )2

= (σx

x )2

+ (σy

y )2

. (6)

Ici, on trouve que l’erreur relative vaut respectivement 39.9 % et 28.2 %, ce qui correspond `a une erreur absolue de 99.8 et 70.6.