Gazette des Math´ ematiciens Mise ` a jour: 22/12/2014 Raconte moi . . . une p´ eriode

Gazette des Math´ ematiciens Mise ` a jour: 22/12/2014 Raconte moi . . . une p´ eriode

par

Michel Waldschmidt

Il y a beaucoup de nombres r´ eels, beaucoup trop; plutˆ ot que d’avoir quelques informations sur tous ces nombres, on aimerait en savoir davantage sur les plus int´ eressants d’entre eux. D´ efinir une classe de nombres qui soient sp´ ecialement dignes d’int´ erˆ et n’est pas ais´ e. On veut que tous les nombres alg´ ebriques en fassent partie. En contrepartie, il semble naturel de ne con- sid´ erer qu’un ensemble d´ enombrable. Les nombres transcendants qui vont ˆ

etre ´ elus pour faire partie de cet ensemble proviennent de l’analyse classique et de la g´ eom´ etrie.

En th´ eorie des fonctions d’une variable complexe, une p´ eriode d’une fonc- tion f(z) est un nombre ω tel que les fonctions f (z) et f (z + ω) co¨ıncident.

La p´ eriode est le temps qui s’´ ecoule entre deux ´ ev` enements qui se r´ ep` etent ` a intervalles r´ eguliers - ce sont les mouvements p´ eriodiques ! On peut, au moins dans un premier temps, prendre pour fonctions f des fonctions m´ eromorphes complexes d’une variable complexe. Pour restreindre la classe de fonctions

´

etudi´ ees, on suppose que f satisfait ` a une ´ equation diff´ erentielle. Cela per- met d’´ ecrire une p´ eriode ω comme une int´ egrale. L’exemple de base est le nombre 2iπ, p´ eriode fondamentale de la fonction exponentielle e ^z :

e ^z+2iπ = e ^z ,

avec l’´ equation diff´ erentielle f ⁰ (z) = f (z) qui fournit une expression de 2iπ comme une int´ egrale

2iπ = Z

|t|=1

dt t ·

Les p´ eriodes de la fonction exponentielle sont les ´ el´ ements du r´ eseau 2iπZ. Un autre exemple provient des fonctions elliptiques ℘ de Weierstrass, solutions d’´ equations diff´ erentielles

℘ ^{0 2} = 4℘ ³ − g ₂ ℘ − g ₃ ,

avec g 2 et g 3 nombres complexes tels que le discriminant g ³ ₂ −27g ₃ ² du polynˆ ome

en ℘ au second membre ne s’annule pas, de sorte que 4t ³ − g ₂ t − g ₃ =

4(t − e ₁ )(t − e ₂ )(t − e ₃ ) avec e ₁ , e ₂ et e ₃ deux-` a-deux distincts. Les p´ eriodes

de ℘ forment encore un r´ eseau Zω ₁ + Zω ₂ , cette fois-ci en dimension 2, un couple fondamental de p´ eriodes ´ etant donn´ e par les int´ egrales elliptiques

ω _i = 2 Z ∞

e

dt

p 4t ³ − g ₂ t − g ₃ (i = 1, 2).

Plus g´ en´ eralement, il est possible d’associer des p´ eriodes, admettant des ex- pressions similaires (”int´ egrales ab´ eliennes”), ` a toute vari´ et´ e ab´ elienne, en consid´ erant leurs points complexes et en les identifiant ` a des tores complexes.

C’est ainsi que va apparaˆıtre la premi` ere d´ efinition d’une p´ eriode par Kontsevich et Zagier [7]: ils consid` erent toutes les int´ egrales convergentes de fonctions alg´ ebriques, en imposant que tout soit d´ efini sur le corps des nom- bres rationnels. Le domaine d’int´ egration doit ˆ etre d´ efini par des ´ egalit´ es et des in´ egalit´ es ne faisant intervenir que des fractions rationnelles ` a coefficients rationnels. Les fonctions alg´ ebriques que l’on int` egre doivent ´ egalement ˆ etre d´ efinies par des ´ equations polynomiales ` a coefficients rationnels. Une p´ eriode est alors d´ efinie comme un nombre complexe dont la partie r´ eelle et la par- tie imaginaire v´ erifient ces conditions. Les nombres alg´ ebriques sont des p´ eriodes: l’´ ecriture de √

2 sous forme de l’int´ egrale r´ eelle 1

2 Z

t

<2

dt

s’´ etend facilement pour ´ ecrire tout nombre alg´ ebrique comme une p´ eriode.

Comme la somme de p´ eriodes et le produit de p´ eriodes sont encore des p´ eriodes, on obtient une sous-alg` ebre P de C sur le corps des nombres alg´ ebriques.

Il est fr´ equent, en th´ eorie des nombres, que des probl` emes soient faciles

`

a formuler mais que les r´ eponses d´ efient les m´ ethodes connues. C’est ce qui se passe ici: cet ensemble P , d´ efini de fa¸con naturelle et ´ el´ ementaire, rec` ele de nombreux myst` eres qui r´ ev` elent ` a quel point nos connaissances sont limit´ ees. Une premi` ere question ouverte est de savoir si cette alg` ebre est un corps. On soup¸conne que non – par exemple on s’attend ` a ce que 1/π ne soit pas une p´ eriode. Mais on dispose de peu de moyens pour d´ emontrer qu’un nombre n’est pas une p´ eriode (voir [11]), et on ne connaˆıt pas d’exemple d’un nombre d´ efini par une s´ erie ou une int´ egrale convergente simple, dont on puisse d´ emontrer qu’il n’est pas dans P . La constante de Chaitin [4]

est un exemple de nombre qui n’est pas calculable, donc qui n’est pas une

p´ eriode, mais on ne peut pas dire que ce soit une constante qui apparaˆıt

naturellement en analyse.

En revanche, on connaˆıt explicitement un bon nombre d’´ el´ ements de P . Nous avons dit que les nombres alg´ ebriques sont des p´ eriodes. De mˆ eme, tout logarithme d’un nombre alg´ ebrique est une p´ eriode, l’exemple le plus simple ´ etant

log 2 = Z

1<t<2

dt t ·

Les valeurs de la fonction zˆ eta de Riemann aux entiers positifs, et plus g´ en´ eralement les valeurs des polyzˆ etas (valeurs zˆ eta multiples ´ etudi´ ees par Euler, Zagier et beaucoup d’autres) sont des p´ eriodes. Comme P est une alg` ebre sur le corps des nombres alg´ ebriques, toute combinaison lin´ eaire ` a coefficients alg´ ebriques de logarithmes de nombres alg´ ebriques est encore une p´ eriode. Ces nombres sont appel´ es p´ eriodes de Baker par certains auteurs [9].

Un r´ esultat fondamental obtenu par A. Baker en 1968 est que tout nombre de la forme

β ₁ log α ₁ + · · · + β _m log α _m

avec des α _i et des β _j alg´ ebriques est nul ou transcendant. De plus, un tel nombre ne peut s’annuler que dans des cas triviaux (s’il s’annule, alors les nombres log α _i sont lin´ eairement d´ ependants sur le corps des nombres ra- tionnels). D´ emontrer qu’un nombre transcendant n’est pas dans cette classe des nombres de Baker est de nouveau un probl` eme difficile: ici encore, on dispose de peu de moyens pour y parvenir. Comme le produit de p´ eriodes est encore une p´ eriode, la valeur de tout polynˆ ome ` a coefficients rationnels en un point dont les coordonn´ ees sont des logarithmes de nombres alg´ ebriques est encore une p´ eriode. D´ eterminer les conditions sous lesquelles un tel nombre peut s’annuler est un des principaux probl` emes ouverts de la th´ eorie des nom- bres transcendants (c’est un cas particulier de la conjecture de Schanuel); on s’attend ` a un r´ esultat facile ` a ´ enoncer: la conjecture est que des logarithmes Q–lin´ eairement ind´ ependants de nombres alg´ ebriques sont alg´ ebriquement ind´ ependants.

La conjecture principale de [7] ´ enonce que toute ´ egalit´ e entre p´ eriodes

d´ ecoule des transformations ´ el´ ementaires sur les int´ egrales: additivit´ e, change-

ment de variables, formule de Stokes. Ce n’est pas le seul probl` eme ou-

vert. Que l’alg` ebre P contienne un sous–ensemble infini form´ e d’´ el´ ements

alg´ ebriquement ind´ ependants ne semble pas encore d´ emontr´ e. On peut aussi

s’attendre ` a ce qu’aucune p´ eriode ne soit un nombre de Liouville – de mani` ere

plus ambitieuse, les p´ eriodes devraient, pour l’essentiel, avoir de propri´ et´ es

diophantiennes g´ en´ eriques (i.e., partag´ ees par presque tous les nombres r´ eels

au sens de la mesure de Lebesgue – cf. [3]). Une notion de degr´ e de p´ eriodes a ´ et´ e introduite par Wan Jianming [6]: le degr´ e d’une p´ eriode r´ eelle p est la dimension minimale d’un domaine Σ de l’espace euclidien d´ efini par des in´ egalit´ es polynomiales ` a coefficients alg´ ebriques tel que

p = Z

Σ

1.

Les p´ eriodes de degr´ e ≤ 2 sont les nombres de la forme a arctan ξ + b log η + c

avec a, b, c, ξ, η alg´ ebriques. On ne connaˆıt pas encore explicitement de p´ eriode dont on puisse d´ emontrer qu’elle est de degr´ e > 2.

La d´ efinition ci–dessus d’une p´ eriode n’est pas la plus commode pour travailler avec cette alg` ebre P. Kontsevich et Zagier [7] donnent une autre d´ efinition des p´ eriodes comme une int´ egrale R

C ω faisant intervenir une vari´ et´ e quasiprojective lisse X, une sous–vari´ et´ e Y de X, une n–forme alg´ ebrique ferm´ ee ω sur X s’annulant sur Y , le tout ´ etant d´ efini sur le corps des nombres alg´ ebriques, et une n–chaine singuli` ere C sur X(C) dont le bord est contenu dans Y (C). Ils affirment que cette d´ efinition, apparemment plus g´ en´ erale, est ´ equivalente ` a la premi` ere, mais l’´ equivalence n’est pas imm´ ediate: les d´ etails de la d´ emonstration ont fait l’objet d’un m´ emoire de Diplomarbeit par Benjamin Friedrich [5] qui analyse finement les liens entre diff´ erentes notions de p´ eriode.

On voulait d´ efinir une classe de nombres dignes d’int´ erˆ et; P repr´ esente une premi` ere ´ etape dans cette direction, mais le but n’est pas encore pleine- ment atteint. On s’attend ` a ce qu’un nombre comme e, valeur au point 1 de la fonction exponentielle, ne soit pas une p´ eriode. Il est naturel d’´ etendre la classe P en d´ efinissant des p´ eriodes exponentielles, ce que fait Kontsevich dans la derni` ere partie de [7] dont il est l’unique auteur. La constante d’Euler est un exemple de p´ eriode exponentielle (voir [10]), mais d’autres constantes math´ ematiques classiques ne sont probablement pas des p´ eriodes exponen- tielles, et il faudra ´ elaborer une hi´ erarchie de sous–ensembles de C, de fa¸con

`

a r´ ealiser la pr´ ediction de Kontsevich [7]: “toute constante classique est, en un sens convenable, une p´ eriode”.

Un des aspects les plus fascinants li´ e ` a cette notion de p´ eriode, ` a peine

´

evoqu´ e ici, r´ eside dans les d´ eveloppements sophistiqu´ es auxquels elle conduit,

en liaison avec des conjectures de A. Grothendieck et Y. Andr´ e, et des travaux

r´ ecents de F. Brown [8] et J. Ayoub [2]. La notion de p´ eriode joue un rˆ ole cl´ e dans la recherche d’une g´ en´ eralisation aux nombres transcendants de la th´ eorie de Galois, culminant avec le groupe de Galois cosmique pr´ edit par P. Cartier, comme cela est d´ ecrit par Y. Andr´ e dans [1].

References

[1] Y. Andr´ e –

Id´ ees galoisiennes

, journ´ ees math´ ematiques X-UPS, 2011. http://www.math.polytechnique.fr/xups/vol11.html arXiv:1207.3381

[2] J. Ayoub –

Periods and the conjectures of Grothendieck and Kontsevich–Zagier

. Newsletter of the European Mathematical Soci- ety, March 2014, Issue 91.

http://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2014-03-91.pdf [3] Y. Bugeaud –

Approximation by algebraic numbers, Cambridge

Tracts in Mathematics, vol. 160, Cambridge University Press, Cam- bridge, 2004.

[4] G. Chaitin –

How real are real numbers,

in Mathematics complexity and philosophy, Cambridge University Press book Algorithmic Infor- mation Theory (1987).

[5] B. Friedrich –

Periods and Algebraic de Rham Cohomology

, 2005.

arXiv:0506113

[6] Wan Jianming –

Degree of periods

, 2011. arXiv:1102.2273 [7] M. Kontsevich & D. Zagier –

Periods

, in Mathematics

unlimited—2001 and beyond, Springer, Berlin, 2001, p. 771–808.

[8] S. M¨ uller-Stach –

What is a Period?

. Notices of the AMS, 61 8 (2014), 898–899.

www.ams.org/notices/201408/rnoti-p898.pdf

[9] R. Murty & P.Rath –

Transcendental Numbers

, Springer 2014.

http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-1-4939-0831-8

[10] T. Rivoal –

On the Arithmetic Nature of the Values of the Gamma Function, Euler’s Constant, and Gompertz’s Constant

, Michigan Math. J. 61 (2012), 239–254.

[11] M. Yoshinaga –

Periods and elementary real numbers

, 2008.

arXiv:0805.0349

Michel Waldschmidt est Professeur ´ em´ erite de l’Universit´ e Pierre et Marie Curie (Paris 6) o` u il a enseign´ e durant 40 ann´ ees. Ses travaux portent surtout sur des questions diophantiennes, en particulier sur la th´ eorie des nombres transcendants. Il milite activement pour permettre aux pays en d´ eveloppement d’avoir de bons math´ ematiciens ` a tous les niveaux, y compris au niveau de la recherche.

Michel WALDSCHMIDT

UPMC Univ Paris 06, UMR 7586-IMJ F–75005 Paris France

e-mail: [email protected]

URL: http : //www.imj-prg.fr/ ∼ michel.waldschmidt/