Notion de trous (+e !)

CHAPITRE 1A

Rappels:

Semi-conducteur à l’équilibre

Semi-conducteurs à l’équilibre

• Dopage des semi-conducteurs

• Semi-conducteur intrinsèque

• Le dopage n et p

• Calcul de la densité de porteurs extrinsèques

Semi-conducteurs

• Structure en bandes d’énergie:

• Bande de valence: c’est la dernière bande remplie à T=0K

• Bande de conduction: c’est la bande immédiatement au dessus et vide à T=0K

Notion de trous (+e !)

•

La notion de bandes permet d’introduire le

porteur de charge positif : un trou

 Aux températures différentes de 0 K,

électrons « montent » dans

BC, laissent des « trous »

dans la BV

Conduction bipolaire

• La présence d’électrons et 

trous entraîne une conduction  bipolaire dans les SC

 On peut privilégier une        conduction par le dopage   du semi‐conducteur, ie

l’introduction d’impuretés

E _externe

Électrons dans une structure Diamant (ex: Si)

Électrons dans une structure Diamant (ex: Si)

Densité de porteurs dans les bandes

• Fonction de Fermi:

• Densité d’états:

• Densité de porteurs:

E_g

F kT E

e E

E

f _{( )/}

1 ) 1

( _

 

2 / 1 2

/ 3 2

*

2 2 ( )

2 ) 1

( ^c _C

C m E E

E

N  



 



 

 

2 / 1 2

/ 3 2

*

2 2 ( )

2 ) 1

( m E E

E

N_v ^v  _V 



 



 

 





EC

n

C E f E dE

N

n ( ). ( ).





 ^V

E

p

v E f E dE

N

p ( ). ( ).

Densité de porteurs dans les bandes

• Approximation de Boltzmann:

• Si le niveau de Fermi est à plus de « 3kT » du minimum de la

bande de conduction ou du maximum de la bande de valence, on peut simplifier la fonction de distribution:

kT E

e E n E

f (

) /

)

(   E  E kT

e n E

f (

) /

)

(   

kT E

e E p E

f (

) /

)

(   E  E kT

e p E

f (

) /

)

(   

Densité de porteurs dans les bandes

• Dans ces conditions (Boltzmann), la densité de porteurs libres s’écrit:

• Dans la bande de conduction (électrons):

• Dans la bande de valence (trous):exp( ) kT

E N E

n _C ^C  ^F



 exp( )

kT E N E

n _C ^C  ^F





)

exp( kT

E N E

p 

exp( 



) kT

E N E

p 





avec

2 / 3 2

2

2 



 



 

h

kT N

m

2 / 3 2

2

2 



 



 

h

kT N

m

2 / 3 2

2

2 



 



 

h kT N

m

2 / 3 2

2

2 



 



 

h kT N

m

avec

Loi d’action de masse np=n

• Dans un semi-conducteur intrinsèque, la densité de trous est égale à la densité d’électrons:

• En faisant n=p, on obtient le niveau de Fermi intrinsèque:

2 2

/ 3

*

* 3

2 ( ) exp( )

4 2 _{e h} ^g n_i

kT m E

kT m

np   



 



 



) 2 ln(

2

C V

C Fi

i

N

N kT

E E E

E    

Semi-conducteur intrinsèque

•

Variation exponentielle de la densité de

porteurs

•

Si n

matériau inadapté pour des dispositifs

électroniques.

SC à grands « gap »

Type SiC, GaN, Diamant



Remarque:



Le produit np est indépendant du niveau de Fermi

Expression valable même si semi-conducteur dopé

Introduction du dopage

Dopage: introduction de niveau énergétique dans le gap

Dopage type n Dopage type p

Dopage d’un SC: type n

Dopage d’un SC: type p

Variation de la conduction d’un semi-conducteur dopé en fonction de la température

3 régimes:

•Extrinsèque

•Épuisement des donneurs

•Intrinsèque

Tous les « donneurs sont ionisés

Calcul de la position du niveau énergétique E_d ou E_a

• Le problème « ressemble » au modèle de l’atome

d’hydrogène

• Introduction du Rydberg

« modifié » :

2 0 0

*

6 .

13 



 







 



 







E m E_{d C}

Exemple de dopants et leurs énergies

n eV e

E

m

0 4

0

13 . 6

) 4

(

2 

  

Densité de porteurs extrinsèques:

• nb d’électrons différents du nb de trous

• Mais loi d’action de masse toujours valable, avec n.p=cte (sauf si dopage trop élevé).

• Pour déterminer ces concentrations (n et p), on écrit la neutralité électrique du système.

 0





 p n n

cste n

p

n . 



0 )

(

2

 N

 N

n  n



D

n

A

p N

N

n   

Densité de porteurs extrinsèques:

• Semi-conducteurs type n (N_D>N_A):

• Dans la pratique (N_D, N_A, et N_D – N_A >> )n_i si bien que:

 

  _ ^

     





 

     



12 2 2

12 2 2

4 )

2 ( 1

4 )

2 ( 1

i A

D A

D

i A

D A

D

n N

N N

N p

n N

N N

N n

)

2

/(

A D

i

A D

N N

n p

N N

n









Niveau de Fermi dans un SC dopé

•

Si le SC n’est pas dégénéré, l’approximation de Boltzmann reste valable:

• Type n et p respectivement

• Soit un niveau de Fermi type n et type p donné par:

) exp(

) exp(

kT E N E

N N

p

kT E N E

N N

n

V F

V D

A

F C

C A

D

p

n

 







 







)) /(

ln(

)) /(

ln(

D A

V V

F

A D

C C

F

N N

N kT

E E

N N

N kT

E E

p n













Différence E _f - E _fi

• Au lieu d’exprimer E_f en fonction de N_c et N_v, on peut écrire:

type n

type p

 

 



 



i d i

f

n

kT N E

E ln

 

 



 



i a f

i

n

kT N E

E ln

eFi

• On peut alors exprimer les densité d’électrons et de trous à l’équilibre par:

kT e

i kT

E E

i

kT e

i kT

E E

i

Fi Fi

F

Fi Fi

F

e n e

n p

e n e

n n

/ /

) (

/ /

) (





















avec:

0 0













Fi F

Fi

Fi F

Fi

E E

e

E E

e





type p

Équations de Boltzmann

Différence E _f - E _fi

Semi-conducteurs dégénérés:

approximation de Joyce –Dixon

•

Dans ce cas , l’approximation de Boltzmann n’est plus valable pour le calcul:

• soit de n et p

• soit de la position du niveau de Fermi:

on utilise alors l’approximation de Joyce-Dixon:

 

 



 



 



 



 





V V

V C

C C

F

N

p N

kT p N E

n N

kT n E

E 8

ln 1 8

ln 1

Peuplement des niveaux d’impuretés : gel des porteurs

•

En fonction de la température, le niveau d’impureté est plus ou moins peuplé. Supposons un SC « avec » N

donneurs et N

accepteurs (N

>N

)

• À T=0K

•BV =>pleine

•E_A => N_A électrons

•E_D => N_D-N_A électrons

•BC => vide

Peuplement des niveaux d’impuretés : gel des porteurs

• À température non nulle: les électrons sont redistribués mais leur nombre reste constant !!!. L’équation de

neutralité électrique permet de connaître leur répartition:

A a

i

D d

i

N p

n p

N n

n n













) (

) (

a A

D

d

N N p p

n

n     

n, p

n

(p

)

Fonction de distribution des atomes d’impuretés – Principe d’exclusion de Pauli

Comparaison de l’image « chimique » et de la description en

« bande d’énergie » de l’atome donneur ou accepteur:

« liaison chimique »

Atome donneur  atome Si + noyau chargé positivement.

« Bande d’énergie »

Cristal parfait + puits de potentiel attractif sur un site du réseau

Mécanique quantique (électrons indépendants)

Niveau énergétique E_ddans le gap sous E_c doublement dégénéré (spin up et down) Interaction Coulombienne

+ écrantage du noyau: E_d diminue

Le deuxième électron

« s’échappe » : occupation du niveau par un seul électron

Probabilité d’occupation du niveau d’impureté

•

Proba d’occupation et nb d’électrons sur E

•

Proba de non occupation et nb de trous sur E

)

2 exp 1 1

( kT

E f

E







kT E E

n N

f d

d

d







2 exp 1 1

) 4 exp

1 1

( kT

E f

E







kT E E

p N

a f

a

a







4 exp

1 1

Niveau « donneur »:le facteur 1/2

•

Atome de Phosphore (col V):

• États électroniques 3s² 3p³ : 2e s et 2e p participent aux liaisons  1e sur le niveau E_D (le 5° !)

•

il (le 5° !) possède un spin particulier up ou down

•

Une fois l’e parti (f(E)) la « case » vide peut

capturer un spin up ou down => le mécanisme (la proba.) de capture est augmenté / à l’émission.

) (

)

( E f E

f _D 

Semi-conducteur fortement dopé

• Si dopage trop important, les impuretés se « voient » (rayon de Bohr 100 angströms)

le niveau d’énergie associé s’élargit

• Un effet important est la diminution du « Gap » du SC et donc n_i augmente!!:

K meV T

E

N

2 / 1

18

( )

300 5 10

.

22 



 



 





pour le Silicium

CHAPITRE 1B

Semi-conducteurs hors équilibre

Plan:

• Recombinaison et génération

• Courants dans les SC

• Équation de densité de courants

• Équations de continuité

• Longueur de Debye

• Équation de Poisson

• Temps de relaxation diélectrique

Phénomènes de Génération - Recombinaison

• Loi d’action de masse:

• À l’équilibre thermodynamique:

• Hors équilibre: apparition de phénomènes de Génération - Recombinaison

• création ou recombinaison de porteurs :

Unité [g]=[r]=s^-1cm^-3

• Taux net de recombinaison:

r g

r g

g r

g '  '  

 '  

g

r r  ' 

externe interne

2

n

np 

Différents chemins de recombinaison

Génération bande à bande Génération depuis

état lié

Recombinaison: 2 « chemins » possibles

• Recombinaison directe électron-trou

• Processus fonction du nombre d’électron et de trous

• Exemple: type n +excitation lumineuse en faible injection ( ie )

• En régime de faible injection le nombre de porteurs majoritaires n’est pas affecté.

p p

r p



 

n n

r n



 

p p

p 

  n  n

  n  n

n0

p n   



Recombinaison: 2 « chemins » possibles

• Recombinaison par centres de recombinaison:

• En général ces centres se trouvent en milieu de bande interdite

• Le taux de recombinaison s’écrit:

• Où est caractéristique du centre recombinant

• Si les 2 processus s’appliquent:



) (

1 1

1

p n

m





 ^{ }

n p

n

n r np

i

i

m  

 

2

1 ²

 Équation de

Shockley-Read

Recombinaison: 2 « chemins » possibles

• Si semi-conducteur peu dopé: on applique SR

• Si semi-conducteur dopé n:

• Si région « vide » de porteurs (ex: ZCE)

p p

r p



 

2  0





m

n

r 

Création de porteurs

Excitation lumineuse

Ty p e   P

Recombinaison radiative ou non

Recombinaisons de surface

Courants dans les SC

• Courant de conduction: présence de champ électrique

• Si E=0, vitesse des électron=vitesse thermique (10⁷ cm/s) mais =>

vitesse moyenne nulle car chocs (« scattering ») avec le réseau + impuretés.

• Libre parcours moyen (« mean free path »):

o

A 100 . 

 vth 

l   0 . 1 ps

Courants dans les SC

• Courant de conduction: présence de champ électrique

• Entre deux chocs, les électrons sont accélérés uniformément suivant

• Accélération:

• Vitesse:

• Mobilité:

/ m

 qE

 

 E

µE m

qE

v    /

  / m

q

µ  

GaAs: 8500 cm²/Vs

In_0.53Ga_0.47As:11000 cm²/Vs

Courants dans les SC

• La densité de courant de conduction s’écrit:

• Pour les électrons:

• Pour les trous:

• Pour l’ensemble:

E neµ v

ne

J

  ne v

 neµ

E J

 



E peµ v

pe

J

  pe v

 peµ

E J

 



E peµ

neµ J

J

J

 J

 J

 ( neµ

 peµ

) E

J





 (



)

Courants dans les SC

• Importance de la mobilité sur les composants

• Mobilité la plus élevée possible

• => vitesse plus grande pour un même E

• Facteurs limitants:

• Dopage

• Défauts (cristallins, structuraux, …)

• Température

• Champ électrique de saturation + géométrie

Courants dans les SC

•

Vitesse de saturation des électrons

• La relation linéaire vitesse – champ valide uniquement pour:

• Champ électrique pas trop élevé

• Porteurs en équilibre thermique avec le réseau

• Sinon:

• Au-delà d’un champ critique, saturation de la vitesse

• Apparition d’un autre phénomène: « velocity overshoot » pour des semiconducteurs multivallée.

• Régime balistique:pour des dispositifs de dimensions inférieures au libre parcours moyen (0.1µm)

Vitesse de saturation

•

Différents

comportement en fonction du SC

Survitesse (« overshoot »)

Survitesse dans le cas de SC

multi vallées

Courants dans les SC

• Courant de diffusion:

• Origine: gradient de concentration

• Diffusion depuis la région de forte concentration vers la région de moindre [].

• 1° loi de Fick:

dx D dp p

dx D dn n

p x

D

n x

D







 ^{nb d’e-} qui diffusent par unité de temps et de volume (flux)

nb de h⁺ qui diffusent par unité de temps et de volume (flux)

Courants dans les SC

• Courant de diffusion: somme des deux contributions (électrons et trous):

• Constante ou coefficient de diffusion [ ]=cm²/s.

dx eD dp

dx eD dn

p n

e

J_diff  ( _D^x  _D^x )  _n  _p

p

D

Courants dans les SC

• Courant total: somme des deux contributions (si elles existent) de conduction et diffusion:

• D et µ expriment la faculté des porteurs à se déplacer. Il existe une relation entre eux: relation d’Einstein:

) (

)

( dx

D dp dx

D dn e

E peµ

neµ J

J J

J J

J

p n

p n

T

p n

diff cond

T

















e kT µ

D  e kT µ

D 

Équations de continuité – longueur de diffusion

• G et R altèrent la distribution des porteurs donc du courant

G e R

x dx

x A dJ

dt t x x dn

A

G e R

x J e

x x

A J dt

t x x dn

A

n

n n



 







 

 

   





) ( )

, (

) ( )

( )

, (

 On obtient alors les équations de

continuité pour les électrons et les trous:

n n

n

r g

dx dJ e dt

t x

dn ( , )  1  

n n

n

r g

dx dJ e dt

t x

dn ( , )  1  

p p

p

r g

dx dJ e

dt t x

dp ( , )   1  

p p

p

r g

dx dJ e

dt t x

dp ( , )   1  

Équations de continuité – longueur de diffusion

• Exemple:

cas où le courant est exclusivement du à

dx eD dp

diff J

dx eD dn

diff J

p p

n n





 ) (

) (

dx eD dp

diff J

dx eD dn

diff J

p p

n n





 ) (

)

( ⁿ

n

n n

dx n D d

dt dn



2

2

 



n n

n n

dx n D d

dt dn



2

2

 



p p

p p

dx p D d

dt dp



2

2

 



p p

p p

dx p D d

dt dp



2

2

 



Équations de continuité – longueur de diffusion

• En régime stationnaire, les dérivées par rapport au temps s’annulent:

• Solutions:

2 0 0

2 0

2( )

n n

n L

n n D

n n dx

n n

d 

 

 

 ^{0 2 0}

2 0

2( )

n n

n L

n n D

n n dx

n n

d 

 

 



2 0 0

2 0

2( )

p p

p L

p p D

p p dx

p p

d 

 

 

 ²

0 0

2 0

2( )

p p

p L

p p D

p p dx

p p

d 

 

 



Ln

e x

n n

x n x

n( )  ( ( )  ₀)   (0) ^{ /}

n(x)  (n(x)  n₀)  n(0)e^x/Ln



 Longueur de diffusion: représente la distance moyenne parcourue avant que l’électron ne se recombine avec un trou (qq microns voire qq mm)

 L_n ou L_p >> aux dispos VLSI

 R et G jouent un petit rôle sauf dans qq cas précis (Taur et al)

n n

n

D

L

 D



L   L L

  D D

 

Équation de Poisson

• Elle est dérivée de la première équation de Maxwell. Elle relie le potentiel électrique et la densité de charge:

• Dans les SC, deux types de charges (fixes et mobiles):

sc

x dx

dE dx

V d



( )

2

2    





2 2

x N x

N x

n x

e p dx

V d

A D

sc



 







 

Charge mobiles

(électrons et trous)

Charges fixes

(dopants ionisés)

Longueur de Debye

• Si on écrit l’équation de Poisson dans un type n en exprimant n en fonction de :

• Si N_d(x) => N_d+N_d(x) ,

alors

est modifié de 







sc

Fi e N x n e Fi

dx

d _/

2 2

)

(  ^



 



en remarquant que: V(x)=_Fi ^cte

) (

2 2

2

x e N

kT N e dx

d

d sc

Fi sc

d

Fi     



 





Longueur de Debye

• Signification physique?

• Solution de l’équation différentielle du 2° degré:

• La « réponse » des bandes n’est pas abrupte mais « prend » quelques L_D ( si N_d=10¹⁶ cm^-3, L_D=0.04µm). Dans cette

région, présence d’un champ électrique (neutralité électrique non réalisée)

D

Fi L

A  x







D sc

D

e N

L _ 

kT

avec

Temps de relaxation diélectrique

•

Comment évolue dans le temps la densité de

• Équation de continuité (R et G négligés):

x J e t

n _n



 



 1

n

n

E E

J    / 

E   /



or et 

d’où

sc n

n t

n



 

 

 Solution:

n ( t )  exp(  t / 



)

sc n





 