DM de MPSI2
Devoir non surveill´ e
Probl` eme – Une ´ equation de Pell-Fermat
Dans ce probl`eme, le plan euclidien est identifi´e `a R2 par choix d’un rep`ere orthonormalR, H d´esigne la conique d’´equationx2−5y2= 1 dansR.
On noteSl’ensembleH ∩Z2, c’est-`a-dire l’ensemble des couples (x, y) d’entiers relatifs tels quex2−5y2= 1.
Partie A – G´ en´ eralit´ es sur H
A.1Donner (sans preuve) des ´equations des asymptotes de HdansR.
A.2Donner le demi-axe transverse, le demi-axe non transverse, et l’excentricit´e deH. Quel type de conique estH?
A.3
a Montrer que l’arc param´etr´ef :t7→
ch(t),sh(t)
√5
admet pour support l’une des branches deH. On notera cette brancheH0. Pour tout r´eelt, on notera M(t) le point de l’arcf de param`etret.
bSoittun r´eel. Comment peut-on d´eduireM(−t) deM(t) ? cDonner les coordonn´ees du sommet Ω deHsitu´e surH0. A.4TracerHet ses asymptotes, en mettant en ´evidenceH0.
Partie B – Loi de groupe sur H
0Etant donn´´ e deux pointsAet B deH0, on note ∆ – la droite (AB) siA6=B,
– la tangente `aH0enAsiA=B.
Si ∆ est perpendiculaire `a l’axe focal deH, on poseA∗B= Ω. Sinon, la parall`ele `a ∆ passant par Ω croise H0 en Ω et en un autre pointC, et on poseA∗B=C.
B.1Montrer que pour tous r´eels distincts et non oppos´estet t0, sh(t0)−sh(t)
ch(t0)−ch(t) = sh (t+t0) ch (t+t0)−1.
B.2Etablir que pour tous r´´ eelst ett0,M(t)∗M(t0) =M(t+t0).
B.3Montrer que (H0,∗) est un groupe commutatif, c’est-`a-dire :
– ∗ est une loi de composition interne surH0 (i.e.une application deH20 dansH0).
– ∗ est commutative et associative,i.e.pour tous pointsA, B, C deH0,A∗B =B∗A et A∗(B∗C) = (A∗B)∗C.
– H0admet un ´el´ement neutreH,i.e.tel queH∗A=A∗H =A, pour toutA∈ H0.
– Tout ´el´ementA deH0 admet un sym´etrique,i.e.il existeB∈ H0 tel queA∗B=B∗A=H.
Partie C – R´ esolution d’une ´ equation de Pell-Fermat
SoitAle point de coordonn´ees (9,4).
C.1Montrer queAest un point deH0. Soitt0 son param`etre (vu comme point de l’arcf). Calculeret0 et e−t0.
C.2Montrer que l’applicationF :M 7→A∗M deH0 dans elle-mˆeme envoie le point de coordonn´ees (x, y) sur le point de coordonn´ees (9x+ 20y,4x+ 9y).
On d´efinit la suite (An)n∈NparA0= Ω et la relation de r´ecurrence An+1=F(An), pour toutn∈N. C.3Montrer que cette suite est bien d´efinie, et que c’est une suite de points deS.
C.4Pour toutn∈N, montrer queAn est de coordonn´ees
1
2
(9 + 4√
5)n+ (9−4√ 5)n
, 1 2√ 5
(9 + 4√
5)n−(9−4√ 5)n .
C.5♥ Montrer que siB est un point de S `a coordonn´ees positives ou nulles, alors il existe n∈N tel que B=An.
Indication : si B = M(t) ∈ S, v´erifier que n´ecessairement M(t−E(t/t0)t0) est un point de S, d’ordonn´ee dans [0,3[. En d´eduire queM(t) =AE(t/t0) (E d´esigne la fonction partie enti`ere).
C.6D´ecrireS.
