Montrer que la suite ( ) u

PanaMaths

[1 - 2]

Novembre 2006

Montrer que la suite ( ) u

n

définie par :

( )

3 2 1

15 1 0,65

2

n n

u

n

+ +

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

= − + −

est convergente et calculer sa limite.

Analyse

Les exposants intervenant dans l’expression de u_n sont « faussement » complexes. Quelques manipulations élémentaires permettent de mettre en évidence la somme de deux suites géométriques …

Résolution

Pour tout entier naturel n, on a :

( )

( ) ( )

( ) ( ( ) )

( )

3

2 1

3

2

2

15 1 0, 65

2

1 1

15 0, 65 0, 65

2 2

1 1

15 0, 65 0, 65

8 2

15 1

0, 65 0, 4225

8 2

n

n n

n

n

n n

n

n

u

+ +

= − ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ + − × −

= − × ×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + − × −

= − ×⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ + − ×

La suite

( )

un apparaît ainsi comme somme de deux suites géométriques :

• La suite

( )

vn définie par : 15 1

, 8 2

n

n vn ⎛ ⎞

∀ ∈` = − ×⎜ ⎟⎝ ⎠ dont la raison est égale à 1 2 ;

• La suite

( )

wn définie par : ∀ ∈n `, 0, 65 0, 4225w_n = − × ⁿ dont la raison est égale à 0,4225.

Ce des raisons sont positives strictement inférieures à 1. On en déduit que les suites

( )

vn et

( )

wn sont convergentes de limite nulle :

lim _n lim _n 0

n v n w

→+∞ = →+∞ =

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Novembre 2006

Comme, par ailleurs, on a : ∀ ∈n `, u_n = +v_n w_n, il vient finalement : lim _n 0

n u

→+∞ =

Résultat final

La suite

( )

un est convergente et lim _n 0

n u

→+∞ = .