TD 5
Nombres complexes ... (partie 1)
T.S
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My Maths Space - 2016
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EXERCICE 1 :
Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants :
z1= (3 + i)(4−2i), z2= (3−i)2, z3= (2 + i√3)(2−i√3) EXERCICE 2 :
Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants : z1= 2
1 + i, z2= 1
3−i√2, z3= 1 i√2−3 EXERCICE 3 :
Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants : z1= 2−5i
3 + 2i, z2= 6 + 3i
1−2i, z3= 3i 3 + 4i EXERCICE 4 :
Donnez la forme algébrique des nombres complexes suivants : z1= 2
1−2i+ 3
2 + i, z2= 2i− 3 2−i EXERCICE 5 :
Pour tout nombre complexez, on posef(z) =z2−z avecz=x+ iy,x, y réels.
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire def(z).
EXERCICE 6 :
Résoudre dans Cles équations suivantes d’inconnuez. Donner les solutions sous forme algébrique.
1. iz= 3 + i
2. (2−i)z−2i = iz+ 2−3i 3. (2iz+ i)(4z−8−4i) = 0 4. z−2i
z+ 2 = 4i EXERCICE 7 :
Résoudre dans Cles systèmes suivants :
3z+z′= 2−5i z−z′=−2 + i puis
3z+z′= 5 + 2i
−z+z′= 1−2i EXERCICE 8 :
Donner la forme algébrique du conjuguéz du complexezdans chacun des cas suivants : z= 2 + 5i, z= 1
i + 2, z= 2−i
2i + 1, z= (3−2i)(i + 1), z= i(3−2i) 2i + 1 EXERCICE 9 :
Écrire en fonction dez le conjugué du nombre complexeZ dans chacun des cas suivants :
Z=−2i + 3z, Z= 3 + i−2iz, Z = (2−iz)(2z−4 + 3i), Z= 2i + 1−iz 5i + 2z EXERCICE 10 :
Résoudre dans Cles équations suivantes d’inconnuez.
1. 4z+ 2i−4 = 0
2. (iz−2 + i)(2iz+ i−2) = 0 3. 2z+ iz= 4
4. 2iz−z= 4i
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EXERCICE 11 :
On considère le polynôme du troisième degré :
P(z) = 3z3+ (1 + 6i)z2+ (16 + 2i)z+ 32i 1. Vérifier quez0=−2i est solution de l’équationP(z) = 0.
2. Déterminer trois nombres réelsa,b etc tels que, pour toutzdeC,P(z) = (z−z0)(az2+bz+c) 3. Résoudre l’équationP(z) = 0
EXERCICE 12 :
0 ~u
~ v
b
B
b
D
b
C
bA 1. Par lecture graphique, déterminer les affixes des
pointsA, B,C etD puis celles des vecteurs−−→AB et−−→CD.
2. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ?
EXERCICE 13 :
1. Placer les pointsA,B etC d’affixes respectives
zA= 1 + 2i, zB=−3−i, etzC= 3−2i 2. Déterminer l’affixe du pointD tel que le quadrilatèreABCD soit un parallélogramme.
EXERCICE 14 :
Placer les pointsA,B et C d’affixes respectives zA=−1
3 −2i, zB = 1 + 2i, etzC= 7 3+ 6i Les pointsA, B etC sont-ils alignés ?
EXERCICE 15 :
On notez=x+ iy,xet yréels. On pose :
Z =z−1
z+ 1 avecz6=−1 1. Démontrer queZ a pour forme algébrique :
x2+y2−1
(x+ 1)2+y2+ 2y (x+ 1)2+y2i 2. Représenter dans le plan complexe l’ensemble des pointsM d’affixeztels que :
(a) Z soit réel.
(b) Z soit imaginaire pur.
EXERCICE 16 :
Déterminer, dans chaque cas, l’ensemble des points M(z) pour lesquelsM′(Z) appartient à l’axe des réels.
1. Z=z2−2z+ 1 ; 2. Z= (z−3)(iz+ 2)
EXERCICE 17 :
Déterminer, dans chaque cas, l’ensemble des points M(z) pour lesquelsM′(Z) appartient à l’axe imaginaire.
1. Z=z2−2z+ 1 ; 2. Z= iz
2−z
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