Nombres complexes et trigonométrie − partie 1

Lycée Benjamin Franklin PTSI−2014-2015

D. Blottière Mathématiques

Feuille d’exercices n°2

Nombres complexes et trigonométrie − partie 1

Exercice 5

Soitz∈C. Démontrer l’équivalence suivante.

z²∈R ⇔ (z∈Rouz∈iR)

Exercice 6

1. Déterminer la forme algébrique dez1=¡ 1−ⁱ₂¢3

. 2. Déterminer la forme algébrique dez2=_3+2i²⁻ⁱ . 3. Déterminer la forme algébrique de^z_z¹₂.

Exercice 7

1. Résoudre le système

½ 2i z1 + (1−i)z2 = 1 (1+i)z1 − i z2 = 0 d’inconnue (z1,z2) un couple de nombres complexes.

2. Résoudre le système

½ i z1 + (1+2i)z2 = 1−i (1−2i)z1 − 3i z2 = 1−2i d’inconnue (z1,z2) un couple de nombres complexes.

Exercice 8 (Puissances successives deiet dej)

Dans cet exercice, on se propose de calculer les puissances successives des nombres complexesiet j:= −1

2+i p3

2 .

Au cours de cette étude, on pourra s’appuyer sur la division euclidienne d’un entier naturel par un entier na- turel non nul. Nous expliquerons rigoureusement cette notion dans le cours d’arithmétique, plus tard dans l’année. Ici, on énonce uniquement un résultat utile pour résoudre le problème posé.

Théorème : Soient n∈Net m∈N^∗. Il existe un unique couple d’entiers naturels(q,r)tel que :

¯

¯

¯

¯

(1) n=mq+r (2) 0≤r<m.

Le nombre q est appelé quotient dans la division euclidienne de n par m. Le nombre r est appelé reste dans la division euclidienne de n par m ; il ne peut prendre que les valeurs0,1,... ,m−1d’après(2).

1. (a) Calculeri⁰,i¹,i²,i³,i⁴,i⁵,i⁶,i⁷,i⁸,i⁹.

(b) Énoncer une conjecture sur la valeur deiⁿ, pour toutn∈N. (c) Démontrer la conjecture énoncée précédemment.

(d) Calculeri²⁰¹⁴.

2. (a) Calculerj⁰,j¹,j²,j³,j⁴,j⁵,j⁶,j⁷.

(b) Énoncer une conjecture sur la valeur dejⁿ, pour toutn∈N. (c) Démontrer la conjecture énoncée précédemment.

(d) Calculerj²⁰¹⁵.

Exercice 9

1. (a) Déterminerα∈Retβ∈Rtels que pour toutx∈R:

x²+6x−55=(x+α)²+β (cf. forme canonique d’un trinôme du second degré).

(b) Résoudre l’équationx²+6x−55=0, d’inconnuex∈R.

Indication : On pourra commencer par écrire x²+6x−55 comme la différence de deux carrés de nombres réels, en s’aidant de la question précédente.

2. En s’inspirant de la démarche exposée au 1, résoudre : (a) l’équationx²+⁷₂x−2=0, d’inconnuex∈R; (b) l’équationx²−4x+9=0, d’inconnuex∈R; (c) l’équationz²−4z+9=0, d’inconnuez∈C; (d) l’équationz²+3i z−2=0, d’inconnuez∈C; (e) l’équationi z²−(1−i)z−1=0, d’inconnuez∈C.

Exercice 10

On considère une famille de nombres réels (a0,... ,an) oùn désigne un entier naturel non nul. On note (E) l’équation :

n

X

k=0

akz^k=0 d’inconnuez∈C.

1. Proposer une écriture formelle de l’assertion suivante : « un nombre complexe est solution de (E) si et seulement si son conjugué est solution de (E). ».

2. Démontrer l’assertion énoncée en 1.