Nombres complexes

I.U.T. de Brest D´epartement GMP

Connaissances de base

Nombres complexes

1. Ensemble des nombres complexes

L’ensemble des nombres complexes Ccontient un ´el´ement not´e i et tel que i×i=i² =−1.

Tout nombre complexe z appartenant `aC s’´ecrit sous la formez =a+ib o`ua etbsont des nombres r´eels.

Le nombre a est la partie r´eelle de z. On note a=<(z).

Le nombre b est la partie imaginaire de z. On note b ==(z).

Module

Si z=a+ib avec a, b des r´eels, alors le module de z, not´e |z|, est :

|z|=√

a²+b²

A tout nombre` z = a+ib de C, on peut lui associer un point M de coordonn´ees (a, b) dans un rep`ere orthonorm´e (O,~ı,~) du plan.

O

ρ

M

P Q

θ

OM−→ =a~ı +b ~

OP =a=<(z) =ρcosθ OQ=b==(z) =ρsinθ OM =ρ=|z|=√

a²+b²

θ = \

(~ı,OM^−→ )

Forme alg´ebrique : z =a+ib

Forme trigonom´etrique: z =ρ(cosθ+isinθ) =ρe^iθ

o`u θ est un argument de z (d´efini `a 2π pr`es)

2. Op´ erations ´ el´ ementaires

Op´erations alg´ebriques

Si z=a+ib et z⁰ =a⁰+ib⁰ avec a, b, a⁰, b⁰ des r´eels, alors

z+z⁰ = (a+a⁰) +i(b+b⁰) (somme) zz⁰ = (aa⁰ −bb⁰) +i(ab+a⁰b⁰) (produit)

Module et argument d’un produit, d’un quotient Produit

zz⁰ = (ρe^iθ)(ρ⁰e^iθ0) = ρρ⁰e^i(θ+θ0)

|zz⁰|=|z| × |z⁰|

Quotient (pour z⁰ 6= 0)

z

z⁰ = ρe^iθ ρ⁰e^iθ0 = ρ

ρ⁰ e^i(θ−θ0)

z z⁰ = |z|

|z⁰|

Exemples.

(1 + 2i) + (3−4i) = 4−2i

(1 + 2i)×(3−4i) = 3−4i+ 6i−8i² = 11 + 2i

3. Conjugu´ e

Si z=a+ib=ρe^iθ, alors le conjugu´e de z, not´e ¯z, est :

¯

z=a−ib =ρe^−iθ En particulier

a =<(z) = 1

2(z+ ¯z) et b ==(z) = 1

2i(z−z)¯ Propri´et´es

z+z⁰ =z+z⁰ zz⁰ =z×z⁰

zz =a²+b² =|z|²

|z|=|z| 1

z = z

zz = a

a² +b² −i× b

a²+b² = 1 ρe^−iθ

Exemples.

3 + 5i= 3−5i 6−2i= 6 + 2i

Remarque. Multiplier num´erateur et d´enominateur par le conjugu´e du d´enominateur est une technique classique pour ´ecrire un quotient complexe sous la forme a+ib avec a et b r´eels. Par exemple,

2 +i

3 + 4i = (2 +i)(3−4i)

(3 + 4i)(3−4i) = 10−5i

25 = 2−i 5 = 2

5− 1 5i

4. Applications

a. Exponentielle complexe

On a vu pr´ec´edemment que e^iθ = cosθ+isinθ, pour tout r´eel θ.

Alors e^−iθ = cos(−θ) +isin(−θ) = cosθ−isinθ. D’o`u Formule d’Euler

cosθ= e^iθ+ e^−iθ 2 sinθ= e^iθ−e^−iθ

2i

Exemple d’utilisation. Lin´earisation : cos³θ =

e^iθ+ e^−iθ 2

3

= 1

2³ × (e^iθ)³+ 3(e^iθ)²e^−iθ+3 e^iθ(e^−iθ)²+ (e^−iθ)³

= 1

8 × e^3iθ+3 e^2iθe^−iθ+3 e^iθe^−2iθ+ e^−3iθ

= 1

8 × e^3iθ+3 e^iθ+3 e^−iθ+ e^−3iθ

= 1

8 × e^3iθ+ e^−3iθ +3

8 × e^iθ+ e^−iθ

= 1

8 ×2 cos(3θ) + 3

8×cosθ D’o`u 4 cos³θ= cos(3θ) + 3 cosθ.

Formule de Moivre Pour tout entier n,

e^iθn

= e^inθ c’est-`a-dire

(cosθ+isinθ)ⁿ = cos(nθ) +isin(nθ)

b. ´ Equation trigonom´ etrique

Consid´erons a et b deux r´eels non nuls.

Pour tout r´eel x,

acosx+bsinx=|z|cos(x−θ) o`uz =a+ib=ρe^iθ

En effet si z=a+ib=ρe^iθ, on a a=ρcosθ etb =ρsinθ.

Doncacosx+bsinx=ρcosθcosx+ρsinθsinx=ρ(cosθcosx+ sinθsinx).

Maisρ=|z| et d’apr`es le formulaire de trigonom´etrie, on sait que cosθcosx+ sinθsinx= cos(x−θ).

D’o`u le r´esultat encadr´e ci-dessus.

Exemple d’utilisation. R´esolution dans R de l’´equation cosx+√

3 sinx=√ 2.

En utilisant ce qui pr´ec`ede, on pose z= 1 +i√

3. Alors |z|=√ 4 = 2.

Doncz = 1 +i√

3 = 2 1 2 + i√

3 2

!

= 2 e^iπ3 . Par cons´equent pour tout r´eel x, cosx+√

3 sinx= 2 cos x− π

3

Dans ce cas cosx+√

3 sinx=√

2 ⇐⇒ 2 cos x−^π₃

=√ 2

⇐⇒ cos x− ^π3

= ^√₂²

⇐⇒ cos x− ^π3

= cos ^π₄

⇐⇒ x− ^π3 = ^π₄ + 2kπ avec k∈Z

ou x− ^π3 =−^π4 + 2kπ avec k ∈Z

⇐⇒ x = ⁷₁₂^π + 2kπ avec k∈Z

ou x= ₁₂^π + 2kπ avec k ∈Z