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Chap.8 :
Nombres complexes
Partie 1 : rappels de 1
èreSTI 2D sur les nombres complexes
Tout nombre complexe z s’écrit sous la forme (où a et b sont des nombres réels).
Cette écriture est appelée forme algébrique du nombre complexe z.
On considère un nombre complexe non nul z de module r et d’argument q ( , ).
Alors z s’écrit sous la forme (ou z = [r ; q] en physique appliquée).
Cette écriture est appelée forme trigonométrique du nombre complexe z.
Lien entre les deux écritures :
- Le module de z est : .
- Un argument q de z est un nombre réel vérifiant : et .
Formats Cours de 1
èrei2D (rappels sur les complexes) :
Les ensembles de nombres Forme algébrique et calculs dans ℂ Quotient, conjugué et forme algébrique Complexes et géométrie
Exemples : 1) Calculer le module et un argument du nombre complexe : .
|𝑧$| = &'√3*++ (−1)+ = √3 + 1 = √4 = 2 et 4cos 𝜗 =√9+ sin 𝜗 = −$
+
d’où 𝜗 = −<=[2𝜋]
2) Ecrire le nombre complexe sous forme trigonométrique.
|𝑧+| = A(−1)++ 1+ = √1 + 1 = √2 et 4cos𝜗 = − $
√+= − $×√+
√+×√+= −√++
sin 𝜗 = √+$ = √+×√+$×√+ = √++ d’où 𝜗 =9<C [2𝜋]
Donc 𝑧+ = √2 × Dcos D9<CE + 𝑖 sin D9<CEE
3) Ecrire le nombre complexe sous forme algébrique.
𝑧9 = 4 × Dcos D−<9E + 𝑖 sin D−<9EE = 4 × D$+−G√9+ E = 4 ×$+−GC√9+ = 2 − 2𝑖√3
• z=a+ib
• |z |=r argz=q [2p]
) sin (cosq+ q
=r i
z
•
2
| 2
|z = a +b
| cos |
z
= a
q sin | |
z
= b q
i z1= 3-
i z2 =-1+
÷÷ø çç ö
è
æ ÷
ø ç ö è æ p-
÷+ ø ç ö è æ p-
= sin 3
cos 3
3 4 i
z
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4) Placer avec précision les points M1, M2 et M3 d’affixes respectives , et dans le plan complexe suivant : [Mode d’emploi : pour 𝑀$ et 𝑀9, on va se servir de cercles de centre 𝑂 et de rayon le module |𝑧|, ainsi que des arguments (angle entre (𝑂𝑈) et (𝑂𝑀). Pour 𝑀+, la forme algébrique simple suffit.]
à Ex.1, 2, 3
Partie 2 : forme exponentielle d’un nombre complexe
Notation : pour tout nombre réel q on pose : . Remarque : se lit « e puissance iq » ou « exponentielle iq ».
Si , alors .
Propriété : soient q et q’ deux nombres réels alors :
Remarque : On reconnaît une propriété des puissances.
Définition : Soit z un nombre complexe non nul de module r et d’argument q alors : . Cette écriture est appelée forme exponentielle du nombre complexe z.
Exemples : 1) Écrire le nombre complexe sous forme exponentielle ( où r est un nombre réel strictement positif et q est un nombre réel de l’intervalle [0 ; 2p]).
|𝑧| = A(−2)++ 2+ = √4 + 4 = √8 = 2√2 et 4cos𝜗 = − +
+√+= − $
√+= − $×√+
√+×√+= −√+
+
sin 𝜗 = +√++ =√+$ =√+×√+$×√+ =√++ d’où 𝜗 =9<C [2𝜋]
Donc 𝑧 = 2√2 × Dcos D9<CE + 𝑖 sin D9<CEE = 2√2𝑒NOPQ
2) Donner le module et un argument du nombre complexe puis déterminer sa forme algébrique.
|𝑧| = 4 et arg(𝑧) =+<9 donc 𝑧 = 4 × Dcos D+<9E + 𝑖 sin D+<9EE = 4 D−$++ 𝑖√9+E = −C++CG√9+ = −2 + 2𝑖√3.
z1 z2 z3
q + q
=
q cos isin
ei
• eiq
• q=0 ei0 =e0 =1
) ' (
' q+q
q
q´ i = i
i e e
e
= q
q + q
=r i rei
z (cos sin )
i
z=-2+2 reiq
3 2
4
p
= ei z
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3) Résoudre dans ! l’équation et écrire les solutions sous forme trigonométrique et exponentielle.
𝑧++ 9 = 0 ⟺ 𝑧+ = −9 = (3𝑖)+ donc 𝑧 = 3𝑖 ou 𝑧 = −3𝑖.
Ici, pas la peine de refaire des calculs pour trouver la forme trigonométrique : ce sont des imaginaires purs donc ils sont situés sur l’axe des imaginaires (vertical). Leur argument est donc <+ et −<+. Pour leur module, c’est 3 (ils sont à 3 unités de l’origine. Donc 𝑧 = 3 Dcos<
++ 𝑖 sin<
+E = 3𝑒GPX ou 𝑧 = 3 Dcos D−<
+E + 𝑖 sin D−<
+EE = 3𝑒YGPX Donc 𝑆 = [3𝑒GPX; 3𝑒YGPX]
Propriété : Soient q et q’ deux nombres réels, r et r’ deux nombres réels positifs.
On note z et z’ les nombres complexes : et . 1)
Autrement dit, pour multiplier deux nombres complexes, on multiplie leurs modules et on ajoute leurs arguments.
2)
Autrement dit, pour diviser deux nombres complexes, on divise leurs modules et on soustrait leurs arguments.
3) Le conjugué de z est :
Remarques : De la propriété précédente, on peut déduire que : et . Ces propriétés sont celles des puissances.
Exemple : On considère les nombres complexes suivants : et . 1) Ecrire les nombres complexes z1 et z2 sous forme exponentielle.
|𝑧$| = &1++ (−√3)+ = √1 + 3 = √4 = 2 et 4cos 𝜗 =$
$
sin 𝜗 = −√9
+
d’où 𝜗 = −<9[2𝜋] Donc 𝑧$ = 2𝑒YOPN
|𝑧+| = &'−√2*++ (√2)+ = √2 + 2 = √4 = 2 et 4cos 𝜗 = −√++
sin 𝜗 =√++ d’où 𝜗 = 3<
C[2𝜋] Donc 𝑧$ = 2𝑒NOPQ
2) Déterminer le module et un argument des nombres complexes : , , , et . 𝑧$× 𝑧+ = 2𝑒YG<9 × 2𝑒9G<C = 4𝑒YG<9 ^9G<C = 4𝑒YCG<$+ ^_G<$+ = 4𝑒`G<$+
1
𝑧$ = 1 2𝑒YG<9
=1 2× 1
𝑒YG<9
= 1 2𝑒G<9 𝑧$
𝑧+ =2𝑒YG<9 2𝑒9G<C
= 𝑒YG<9 Y9G<C = 4𝑒YCG<$+ Y_G<$+ = 4𝑒Y$9G<$+
𝑧$
4 = 2𝑒YG<9 4 =2
4𝑒YG<9 = 1 2𝑒YG<9
(𝑧$)+a$9 = b2𝑒YG<9c+a$9 = 2+a$9b𝑒YG<9c+a$9 = 2+a$9𝑒Y+a$9G<9
à Ex.4 à 11 + ex. type BAC 0
2+9= z
=reiq
z z'=r'eiq'
) ' (
' '
'
'= q´ q = q+q
´z rei r ei rr ei z
)' (
' '
' '
q - q q
q =
= ii ei r
r e r
re z
z
q - q =
=rei re i z
• iq = e-iq
r re
1
1 (eiq)n =einq
•
3
1 1 i
z = - z2 =- 2+i 2
2
1 z
z ´
1
1
z 2
1
z z
4
z1 2013
2) (z
