Nombres complexes

ECS 1Dupuy de Lˆome Semaine du 20 novembre 2003

Programme de colles S9

NB : Les d´emonstrations des th´eor`emes ou propositions ´etoil´es doivent ˆetre sues

Nombres complexes

Notation alg´ ebrique des nombres complexes

Th´eor`eme.— Notation alg´ebrique d’un nombre complexe

Pour tout nombre complexe z∈C il existe un couple de nombresr´eels(x, y)∈R²,unique, tel que

z=x+iy

Le nombre r´eelxest appel´e lapartie r´eelledez et not´eRez,y est appel´e lapartie imaginaire dez et not´eImz. L’unicit´e de la notation alg´ebrique se traduit par :

∀(z, z⁰)∈C²,

z=z⁰ ⇐⇒ Rez=Rez⁰ Imz=Imz⁰

Proposition^?.— Soitz∈Cun nombre complexe. Alors 1. Rez= z+ ¯z

2 2. Imz= z−z¯

2i

Illustration.—le plan complexe, interpr´etation g´eom´etrique de l’addition des nombres complexes.

Notation exponentielle des nombres complexes non nuls

Proposition-d´efinition.—Module d’un nombre complexe

Soitz∈Cun nombre complexe, Le nombre z¯z est un nombre r´eel positif. On appelle module de z, et on note|z|le nombre r´eel posistif :

|z|=√ zz¯=p

Rez²+Imz² Proposition^?.— Propri´et´es du module

Nombres complexes de module 1

Th´eor`eme.— Repr´esentation de nombres complexes de module 1

Soitϕ:R→ U l’application d´efinie par ∀θ∈R, ϕ(θ) = cosθ+isinθ

L’applicationϕainsi d´efinie est surjective deRsurU. En accord avec les propri´et´es deϕ, on note pour tout nombre r´eelθ,e^iθ= cosθ+isinθ=ϕ(θ)

Th´eor`eme<sup>?</sup>.— R`egles de calculs pour l’application ϕ

1. eⁱ⁰= 1.

2. ∀(θ, θ⁰)∈R²,e^i(θ+θ0)=e^iθ×e^iθ0

3. ∀θ∈R,e^−iθ= 1 e^iθ

4. ∀(θ, θ⁰)∈R²,e^i(θ−θ0)= e^iθ e^iθ0 1

Th´eor`eme^?.— Formules d’EulerPour tout nombre r´eelθ∈R, cosθ=e^iθ+e^−iθ

2 et sinθ=e^iθ−e^−iθ 2i

Th´eor`eme^?.— Formule de Moivre Pour tout nombre r´eelθ∈Ret tout entier relatifn∈Z, e^iθn

=e^inθ et cosθ+isinθ)ⁿ = cosnθ+isinnθ

Exercice^? : Soitθ∈R1. Lin´earisez sin³θ 2. Ecrivez cos 4θen fonction de puissances de cosθ.

Proposition.— Forme exponentielle d’un nombre complexe non nul

Soitz∈C^?un nombre complexe non nul. Il existeun couple de r´eels (ρ, θ)∈R^+?×Rtel que z=ρe^iθ=ρ cosθ+isinθ

Il n’y apas unicit´ede l’´ecriture exponentielle : pour tous (ρ, θ) , (ρ⁰, θ⁰)∈R^+?×R, ρe^iθ=ρ⁰e^iθ0 ⇐⇒

ρ = ρ⁰ θ⁰ ≡ θ⁰[2π] .

Remarque : Si z∈C^?, s’´ecritz =ρe^iθ, n´ec´essairementρ=|z|. On appelleun argument dez, et on notearg(z) tout nombre r´eel tel quez=|z|e^iarg(z).

Corollaire.— La partiesemi-unicit´e de l’´ecriture exponentielle se traduit par

∀(z, z⁰)∈C^?×C^? ,

(z=z⁰) ⇐⇒

|z| = |z⁰|

arg(z) ≡ arg(z⁰) [2π]

Illustration.—Interpr´etation g´eom´etrique de la multiplication des nombres complexes.

Racines n

d’un nombre complexe

Th´eor`eme^?.— Soitn∈N, n≥2. Notons ω = exp ²n^iπ

. L’ensemble Un desracines n^i`emes de l’unit´e est :

Un={ω^k; k∈Z}={1, ω, . . . , ωⁿ⁻¹} Illustration.—Repr´esentation des racinesn^i`emes de 1.

Proposition^?.— Soitn∈N,n≥2. Posonsω=e^2niπ, alors

n−1

X

k=0

ω^k= 0

Th´eor`eme<sup>?</sup>.— Soitn∈N,n≥2 eta∈C<sup>?</sup>. L’ensembleS des racinesn<sup>i`emes</sup>deaest donn´e par : S ={pⁿ

|a|e^iargna,pⁿ

|a|e^iarga+2πn , pⁿ

|a|e^iarga+4πn , . . . ,pⁿ

|a|e^iarg

a+2(n−1)π

n }

Savoir-faire.—calcul des racines carr´ees en notation alg´ebrique Exercice^? : Calculez les racines carr´ees dea= 3−4i.

Equations polynˆ omiales de degr´ e 2

Savoir-faire.—r´esolution des ´equations polynˆomiales de degr´e 2 Exercice^? : R´esoudre dansCl’´equation 2Z²−(1 + 5i)z−2(1−i) = 0

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