Nombres complexes
Exercice 1 : On considère les deux nombres complexes suivants : = et = 1) Ecrire et sous forme algébrique.
2) Déterminer l’écriture exponentielle, trigonométrique et algébrique de . 3) En déduire la valeur exacte des deux réels :
cos
12 et sin 12
Exercice 2 :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ; , . On prendra 1 cm pour unité graphique.
1. Résoudre dans ℂ l’équation : − 2 + 2 = 0 2. Soit A, B, C et D les points d’affixes respectives :
# = 1 + $ ; % = # ; & = 2% et '= 3 Construire une figure et la compléter tout au long de l’exercice.
3. Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un même cercle de centre D dont on précisera le rayon.
4. Calculer le nombre complexe :
&− 3 #− 3 En déduire la nature du triangle DAC.
Exercice 3 : On considère l’équation (E) : = −4 où est un nombre complexe.
1. Montrer que si le nombre complexe est solution de l’équation (E) alors les nombres complexes − et sont aussi solutions de l’équation (E).
2. On considère le nombre complexe * = 1 + $.
a. Écrire le nombre complexe * sous forme exponentielle.
b. Vérifier que * est solution de l’équation (E).
c. Déduire des deux questions précédentes trois autres solutions de l’équation (E).
Exercice 4 :
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée.
1. Soit (F) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant | − 1 + $| = | + 1 + 2$|. Soient les points A, B et C d’affixes respectives 1 − $, 1 + 2$ et −1 − 2$.
Proposition 1 : (F) est la médiatrice du segment [AC].
2. On considère dans l’ensemble des nombres complexes l’équation + ||= 7 + $. Proposition 2 : Cette équation admet une seule solution de partie imaginaire 1.
3. On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ; , , les points A, B et C d’affixes respectives :
- = 1 + $ ; . = 3$ ; / = √3 +1
2 + $ 1√3 2 + 22 Proposition 3 : Le triangle ABC est un triangle équilatéral.
4. On considère le nombre complexe = 3−√3 + $4* Proposition 4 : z est un imaginaire pur.
Exercice 5 :
On considère la suite 5 à termes complexes définie par * = 1 + $ et, pour tout entier naturel 6, par : 57=5+ |5|
Pour tout entier naturel 6, on pose : 5= -5+ $.5, où -5 est la partie réelle de 3 5 et .5 est la partie imaginaire de 5.
Le but de cet exercice est d’étudier la convergence des suites -5 et .5. Partie A
1. Donner -* et .*.
2. Calculer , puis en déduire que -=7√ et . =. 3. On considère l’algorithme suivant :
Variables :
A et B des nombres réels K et N des nombres entiers Initialisation :
Affecter à A la valeur 1 Affecter à B la valeur 1 Traitement :
Entrer la valeur de N Pour K variant de 1 à N
Affecter à A la valeur 97:9;7<; Affecter à B la valeur <
Fin Pour Afficher A
(a) On exécute cet algorithme en saisissant N=2.
Recopier et compléter le tableau ci-dessous contenant l’état des variables au cours de l’exécution de l’algorithme (on arrondira les valeurs calculées à 10 près).
K A B
1 2
(b) Pour un nombre N donné, à quoi correspond la valeur affichée par l’algorithme par rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
Partie B
1. Pour tout entier naturel 6, exprimer 57 en fonction de -5 et .5.
En déduire l’expression de -57en fonction de -5 et .5, et l’expression de .57 en fonction de .5.
2. Quelle est la nature de la suite (.5) ? En déduire l’expression de .5 en fonction de 6, et déterminer la limite de (.5).
3. (a) On rappelle que pour tous nombres complexes et ′ :
| + ′| ≤ || + |′| (inégalité triangulaire).
Montrer que pour tout entier naturel 6,
|57| ≤2|5| 3
(b) Pour tout entier naturel 6, on pose 5=|5|.
Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel 6, 5≤ ?2
3@
5√2.
En déduire que la suite (5) converge vers une limite que l’on déterminera.
(c) Montrer que, pour tout entier naturel 6, |-5| ≤ 5. En déduire que la suite (-5) converge vers une limite que l’on déterminera.
Exercice 6 :
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct ; , . La figure sera réalisée sur le graphique ci-contre.
1. On considère, dans ℂ, l’équation suivante :
− 8+ 24 − 32 = 0 (E)
(a) Vérifier que *= 4 est solution de (E). Déterminer trois réels -, . et / tels que (E) s’écrive sous la forme : − 4-+ . + / = 0 (E)
(b) Résoudre l’équation (E). On notera sa solution ayant une partie imaginaire positive et sa solution ayant une partie imaginaire négative.
Donner la forme exponentielle de et .
(c) Démontrer que les images respectives B*, B et B de *, et sont sur le cercle C de centre Ω d’affixe E = 2 et de rayon F = 2. Illustrer.
(d) Quelle est la nature du quadrilatère BB*B ? Justifier.
2. On considère l’application G du plan complexe qui à tout point B d’affixe distinct de associe le point B′
d’affixe ′ défini par :
H = 1
(a) Déterminer l’ensemble des points B invariants par G et le représenter graphiquement.
(b) Démontrer que, pour tout point B distinct de , les points , B et B’ sont alignés et que B × BH = 1
(c) Calculer les affixes des points B*′, B′ et B′, images par G des points B*, B et B d’affixes respectives 4, 2 + 2$ et 2 − 2$.
Placer les points B*′, B′ et B′ sur la figure.
(d) Quelle conjecture peut-on émettre au sujet de l’image du cercle C par la transformation G ?
3. Le but de la question est de démontrer la conjecture émise au 2. (d) (a) Démontrer que pour tout nombre complexe non nul, on a :
| − 2| = 2 ⇔ L1
2 − ′L = |′|
(b) En déduire l’image M du cercle C par la transformation G. On donnera une équation de M et on la tracera.
