NOTION DE NOMBRES COMPLEXES.
Dans tout le chapitre, le plan est rapporté à un repère orthonormal direct
(
O u v)
et, sauf mention contraire, a et b sont des réels.I. Forme algébrique d’un nombre complexe.
Théorème (admis) : Il existe un ensemble , d’éléments appelés nombres complexes, tel que :
contient .
est muni de deux opérations, l’addition (+) et la multiplication () qui prolongent les opérations connues dans et suivent les mêmes règles de calcul.
contient un élément noté i tel que
i² = 1.
Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique sous la forme a ib où a et b sont des nombres réels.
Exemples :
Définition : L’écriture z = a + ib, avec a et b réels, est appelée ………..
Dans cette écriture : a s’appelle la ………..
et b s’appelle la ………..
Les nombres complexes s’écrivant sous la forme ib, où b , sont appelés des imaginaires purs.
L’ensemble des imaginaires purs se note i .
L’écriture sous la forme a + ib d’un nombre complexe étant unique, deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. C’est à dire : a + ib = a’ + ib’ ssi a = a et b = b’.En particulier : a + ib = 0 ssi a = 0 et b = 0.
Conséquence : un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles.
I. Opérations dans .
1. Opération sur les nombres complexes.
On calcule dans comme dans en utilisant le fait que i² = 1 : z = a + ib et z’ = a’ + ib’ sont deux nombres complexes.
On a alors z + z’ =
zz’ =
Les trois identités remarquables restent en particulier valables dans .
L opposé de z a i b est .
Exemples:
Soit z 1 4i et z 2 1
3i. Ecrire sous forme algébrique z z ; z z ; z z et 2z 3z .
(a + ib)
a
a² b² i
−b
a² b² =
On définit alors le quotient du nombre complexe z par le nombre complexe non nul z’ par z
z’= z z’
2. Conjugué d un nombre complexe.
a. Définition.
Définition : On appelle ……….. du complexe z = a + ib, le nombre complexe, noté z, défini par : z= ………..
Exemples :
Si z 4 2i : . Si z 5i ...
Si z 4 ……….. Si z 3i 4 : ……….
Remarque : Soit z a + ib. z a ib et z a + ib z.
Ainsi z est le conjugué de z et z est le conjugué de z. On dit que z et z sont deux nombres conjugués.
b. Propriétés du conjugué.
Soit z a ib un nombre complexe.
z z ………
Propriété : Pour tout nombre complexe z a + ib, z z ……….. Ainsi z z est un nombre …...
On a aussi (Démonstration à retenir) : Soit z a ib un nombre complexe.
z + z
z z z z
On a donc :
Propriétés : Pour tout nombre complexe z, on a :
z z 2 Re(z) et z z 2i Im(z).
z est réel ssi z z.
z est imaginaire pur ssi z z.
Propriétés : Pour tous nombres complexes z et z’ :
zz' z z’
zz'zz'
Si z 0, alors
' z' z z z
Si z 0, alors pour tout entier naturel n, zn zn
Démonstration : En exercice (sujet du bac 2014).
Applications :
1) Déterminer le conjugué des nombres complexes suivants : z1
5i
2i 5 et z2 (2 i)4 1 5i
2) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe z 3 2i 1 3i
3) Résoudre dans l équation i z 1 2z 2i.
II. Equation du second degré à coefficients réels.
Théorème (admis) : Soit l’équation az² bz c 0 ( a, b , c réels et a 0 ).
On note b² – 4 a c le discriminant de l équation.
Dans , le trinôme az² b z c, avec a, b et c réels se factorise toujours sous la forme a
(
z z1) (
z z2)
,où z1 et z2 sont les racines (éventuellement égales) du trinôme.
Exemples (à faire au dos) :
Résoudre dans les équations suivantes : 1. z² z 12 0
2. 4z²+9=12z 3. 2z² 5z 8
Factoriser les trinômes suivants : 1. P(z) 16z² 8z 1 2. Q(z) 6z² 10z 4 3. R(z) 8z² 20z 37
III. Représentation géométrique d’un nombre complexe.
3. Affixe d un point.
Définition : Soit z = a + ib un nombre complexe.
L’unique point M du plan de coordonnées (a ; b) est appelé ………..……… et noté ………
Le nombre complexe z est appelé ………
Exemples :
A a pour affixe …………..
B a pour affixe …………..
C a pour affixe …………..
D a pour affixe …………..
I a pour affixe …………..
J a pour affixe …………..
Soit z = a ib un nombre complexe. Les points images des complexes z et z sont ………
………Les points images des complexes z et z sont ………
4. Affixe d un vecteur.
Soit w un vecteur du plan de coordonnées (a b). L affixe du vecteur w est le complexe z a ib. Théorème (admis) : Si A et B sont deux point du plan d affixes respectives zA et zB, le vecteur AB a pour affixe ………..
AB a pour affixe ………
Remarques :
z est l’affixe du point M ssi z est l’affixe du vecteur OM. (En effet M et OM ont les mêmes coordonnées.)
L’identification de au plan complexe permet d’affirmer que l’on ne peut pas comparer deux nombres complexes. Les symboles <, >, et n’ont aucun sens dans .
Propriétés (admises) : Soient A et B deux points du plan d affixes respectives zA et zB ; soient w et k deux vecteurs d affixes respectives zw et zk.
Le milieu I de [AB] a pour affixe zI ……….
Le vecteur w k a pour affixe zw + zk.
Le vecteur w a pour affixe zw pour tout réel .
Application :
Dans le plan complexe, 3 + i, 2 2i, 2i et 1 + 5i sont les affixes respectives de A, B, C et D.
1. En calculant des affixes de vecteurs, montrer que ABCD est un parallélogramme.
2. En calculant des affixes de milieux, montrer que ABCD est un parallélogramme.
