Chapitre 08 – Les nombres complexes Troisième partie : Ecriture complexe de transformations.

Chapitre 08 – Les nombres complexes – Troisième partie

1/2 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 08 – Les nombres complexes

Troisième partie : Ecriture complexe de transformations.

I. Translation de vecteur w Å

Soit w un vecteur du plan Å P d’affixe b. Soit t la translation de vecteur w. Alors t : MÅ ☻P→t(M)=M′ tel que MM′= ÅÄ w.

En notant z l’affixe de M et z′ l’affixe du point image M′ , MM′= ÅÄ w ñ z_MM′Ä=zwÅ ñ z′−z=b ñ z′=z+b. Définition :

Soit M d’affixe z et son point image M′ d’affixe z′. M′ est l’image de M par la translation de vecteur w d’affixe b ssi z′=z+bÅ On retiendra alors que la relation z′=z+b est l’écriture complexe de la translation de vecteur w d’affixe b. Å

II. Homothétie de centre Ω et de rapport k

Soit Ω un point du plan. Soit k un réel non nul. Soit h l’homothétie de centre Ω et de rapport k.

Alors h : M☻P →h(M)=M′ tel que ΩMÄ′=kÄΩM.

En notant z l’affixe de M et z′ l’affixe du point image M′, ΩMÄ′=kΩMÄñ z’−zΩ=k

(

^z−zΩ

)

Définition :

Soit M d’affixe z et son point image M′ d’affixe z′.

M′ est l’image de M par l’homothétie de centre Ω et de rapport k ssi z’−zΩ=k

(

^z−zΩ

)

On retiendra alors que la relation z’−zΩ=k

(

^z−zΩ

)

est l’écriture complexe de l’homothétie de centre Ω d’affixe zΩ et de rapport k.

III. Rotation de centre Ω et d’angle θ

Soit Ω un point du plan P . Soit θ un réel. Soit r la rotation de centre Ω et d’angle θ.

Alors r: P↔P



 

^Ω→Ω

MýΩ→M′=r(M) tel que



ΩM=ΩM′

(

^{ÄΩM; ÄΩM′ =}

)

^θ(2π)

En notant z l’affixe de M et z′ l’affixe du point image M′,

Si MýΩ :



ΩM=ΩM′

(

^{ÄΩM; ÄΩM′ =}

)

^{θ (2π) ñ}



 



^ΩM′

ΩM =1 a rg

 

 

z′−zΩ

z−zΩ

=θ(2π) ñ

 

 ^|

^z′−zΩ

^|

|

^z−zΩ

|

=1

a rg

 

 

z′−zΩ

z−zΩ

=θ(2π)

ñ

   _ ^

^z_z−z^′−zΩ

_ ^

Ω

=1 a rg

 

 

z′−zΩ

z−zΩ

=θ(2π)

ñ z′−zΩ

z−zΩ

=e^iθ ñ z′−zΩ=e^iθ

(

^z−zΩ

)

^(*)

Si M=Ω : z=zΩ donc z−zΩ=0 et M′=r(M) donc M′=Ω donc z′=zΩ donc z′−zΩ=0. Ainsi (*) est vraie Définition :

Soit M d’affixe z et son point image M′ d’affixe z′.

M′ est l’image de M par la rotation de centre Ω et d’angle θ ssi z′−zΩ=e^iθ

(

^z−zΩ

)

^.

On retiendra alors que la relation z′−zΩ=e^iθ

(

^z−zΩ

)

est l’écriture complexe de la rotation de centre Ω d’affixe zΩ et d’angle θ.

IV. Exercices

Chapitre 08 – Les nombres complexes – Troisième partie

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Exercice 1

Soit t la translation de vecteur w d’affixe 2−Å i et soit A le point d’affixe z_A=-3+4i. Déterminer l’affixe du point A′ image de A par t.

Exercice 2

Soit h l’homothétie de centre Ω d’affixe 3+i et de rapport 2 et soit A le point d’affixe z_A=-1+2i. Déterminer l’affixe du point A′ image de A par h.

Exercice 3

Soit r la rotation de centre Ω d’affixe 1+i et d’angle π

3 et soit A le point d’affixe z_A=3+2i.

Déterminons l’affixe du point A’ image de A par r.