Chapitre 07 – Les nombres complexes Deuxième partie

Chapitre 07 – Les nombres complexes – Deuxième partie

1/3 Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 07 – Les nombres complexes

Deuxième partie

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

(

^O;ÄOI;ÄOJ

)

^.

I. Module, argument et forme trigonométrique d’un nombre complexe

1. Définitions Définitions :

Soit z un nombre complexe non nul et soit M son point image.

• On appelle module de z et on note

| |

z la distance OM.

• On appelle argument de z et on note a rg(z) une mesure de l’angle orienté

(

^ÄOI;ÄOM

)

.

• Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous la forme trigonométrique z=r(cosθ+isinθ) avec r=

| |

^z ( d o n c r > 0 ) et θ=a rg(z) (2π) Remarques :

• si M a pour coordonnées polaires [r,θ] alors

| |

z=r et arg(z)=θ (2π).

• Si z est un nombre complexe non nul et Åu son vecteur image.

Alors

| |

z=

| |

^{zÅu =}

║ ║

^Åu et a rg(z)=a rg

( )

^{zuÅ =}

(

^{ÄOI; Åu}

)

(2π) Cas particuliers :

• Si z=0 alors M est en O, la distance OM est nulle. On définit alors le module de 0 par

| |

0=0.

Mais attention, 0 n’a pas d’argument. Par conséquent, 0 n’a pas de forme trigonométrique.

• Si x ☻IR alors la valeur absolue de x est égale au module de x

Lien entre forme algébrique et forme trigonométrique :

Si z est un nombre complexe non nul, de forme algébrique z=x+iy (x e t y réels) et de forme trigonométrique z=r(cosθ+isinθ) alors:



x=rcosθ

y=rsinθ et



  | |

z =r= x²+y² cosθ=^x

r= ^x

x²+y²

et sinθ=^y

r= ^y

x²+y²

2. Propriétés Propriétés :

Soit z et z′ deux nombres complexes.

• z=0 ñ

| |

^z=0

• z=z′ ñ





| |

^{z =}

| |

z′

a rg(z)=a rg(z′)(2π).

• z☻IR ñ z=0 ou a rg(z)=0 (2π) ou arg(z)=π (2π) ñ z=0 ou a rg(z)=0 (π) .

• z est imaginaire p ur ñ z=0 ou a rg(z)=π

2 (2π) ou a rg(z)=-π

2 (2π) ñ z=0 ou a rg(z)=π 2 (π)

Chapitre 07 – Les nombres complexes – Deuxième partie

2/3

Opérations sur les modules et arguments : Soit z et z′ deux nombres complexes non nuls

•

| |

^{z= zÒz} donc

| |

^z2=zÒz.

• Produit :

|

^{zz′ =}

| | |

^z

| |

^z′ et a rg(zz′)=a rg(z)+a rg(z′) (2π)

┐n☻IN ,

| |

^zn=

| |

^{z n} et a rg

( )

^{zn =n×a rg}(z) (2π)

• Inverse :

 

 

1

z = 1

| |

^{z et a rg}

 

 

1

z =-a rg(z) (2π).

• Quotient :

 

 

z′

z =

| |

^z′

| |

z et a rg

 

 

z′

z =a rg(z′)−a rg(z) (2π).

• Conjugué :

| |

^Òz=

| |

^z et a rg

( )

^{Òz =-}a rg(z) (2π)

• Opposé :

| |

^-z=

| |

^z et a rg(-z)=a rg(z)+π (2π)

Interprétation géométrique

3. Distances et angles orientés.

Soient A, B, C trois points distincts deux à deux d’affixes respectives z_A, zB et zC.

•

|

^zB−z_A

|

=AB et a rg

(

^zB−z_A

)

=

(

^ÄOI,ÄAB

)

^(2π) ●

 

 

z_C−z_A

z_B−z_A = AC AB et a rg

 

 

z_C−z_A

z_B−z_A =

(

^ÄAB;ÄAC

)

^(2π)

Application géométrique du calcul du quotient z_C−z_A z_B−z_A :

• Si z_C−z_A

z_B−z_A=k

(

k☻IR alors

)

ÄAC et ÄAB sont colinéaires et alors les points A, B et C sont alignés.

• Si

 

 

z_C−z_A

z_B−z_A =r ⁽r☻IR⁺⁾ alors A C

A B=r. Si de plus r=1 , alors AC=AB.

• Si a rg

 

 

z_C−z_A

z_B−z_A =θ (2π) alors

(

^ÄAB,ÄAC

)

^=θ(2π).

Ainsi si θ=0 (π) alors A, B, C sont alignés.

si θ=π

2 (π) alors (AB) et (AC) sont perpendiculaires.

II. Forme exponentielle d’un nombre complexe

1. Définition

Soit la fonction f définie sur IR et à valeurs dans IC par f(θ)=cosθ+isinθ.

Justifions que f(θ) peut s’écrire sous la forme exponentielle e^iθ en montrant que f vérifie la propriété fonctionnelle caractéristique des fonctions exponentielles càd montrons que f(θ+θ’)=cos(θ+θ’)+isin(θ+θ’) (*)

• Calculons f(θ)×f(θ’)=(cosθ+isinθ)×(cosθ’+isinθ’) =cosθcosθ’−sinθsinθ’+i(cosθsinθ’+cosθ’sinθ).

• Or on sait que cos(θ+θ’)=cosθcosθ’−sinθsinθ’ et sin(θ+θ’)=cosθsinθ’+cosθ’sinθ

• Conclusion : cette fonction f vérifie bien la relation (*) donc il devient légitime d’écrire f(θ)= cosθ+isinθ=e^iθ Définition : Le nombre complexe de module 1 et dont un argument est θ est noté e^iθ. Ainsi e^iθ=cosθ+isinθ .

Conséquence : Tout nombre complexe non nul peut s’écrire sous la forme dite exponentielle z=re^iθ avec r=

| |

z et θ=a rg(z) (2π) Remarques :

• 0 n’a pas de forme exponentielle. • On peut écrire que z=r e^iθ est une forme exponentielle uniquement si r>0.

• Lorsque θ décrit Ë, l’ensemble des points d’affixe z tel que z=re^iθ (r >0 ) est le cercle de centre O et de rayon r. De manière plus générale, lorsque θ décrit Ë, l’ensemble des points d’affixe z tel que z=z_I+re^iθ (r >0 ) est le cercle de centre I et de rayon r.

Chapitre 07 – Les nombres complexes – Deuxième partie

3/3

En notant x+iy la forme algébrique de z, les coordonnées (x;y) des points du cercle de centre I et de rayon r vérifient le système



x=x_I+rcosθ

y=y_I+rsinθ(θ☻Ë). On dit que ce système est une représentation paramétrique de paramètre θ de ce cercle.

Cas particuliers (à retenir…):

•

| |

1 =1 et a rg(1)=0(2π) donc 1= eⁱ⁰

•

| |

i =1 et a rg(i)=π

2(2π) donc i=eⁱ

π 2 .

•

|

^-1

|

=1 et a rg(-1)=π(2π) donc -1=e^iπ .

•

| |

^-i =1 et a rg(-i)=-π

2(2π) donc –i=e^-i

π 2

2. Règles de calculs

Avec la forme exponentielle, les opérations sur les modules et arguments (vues à la page 2) se retiennent plus facilement…

Soit z=r e^iθ et z′=r′e^iθ′ deux nombres complexes non nuls écrits sous forme exponentielle.

• zz′=rr′e^i(θ+θ′) • ┐n☻IN, zⁿ=rⁿe^inθ • 1 z=1

r e^-iθ • z

z′= r r′e^{i(θ−θ′)}

III.

Exercices

Pour tous ces exercices, lorsque c’est nécessaire, le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O;I;J) Exercice 1

1. Ecrire chacun des nombres suivants sous forme trigonométrique :

z₁= 3+i; z₂=1−i; z₃=- 2+i 2; z₄=4−4i; z₅=-2i; z₆=-1 4+i 3

4 2. Ecrire chacun des nombres suivants sous forme trigonométrique : z1z₅; -z₁; z₂ ; z₃

z₄. 3. Soit z le nombre complexe de module 3 et d’argument -π

4. Déterminer la forme algébrique de z.

Exercice 2

Soient A, B, C, D et E les points d’affixes respectives z_A=2+4i, z_B=-1−2i, zC=-3+4i, zD=3 2+11

2 i, zE=5i.

Les questions sont indépendantes.

1. Montrer que A appartient au cercle C de diamètre [OE].

2. Montrer que le triangle BAE est rectangle en A.

3. Montrer que O, A et B sont alignés.

4. Montrer que D est le projeté orthogonal de A sur (CE).

Exercice 3

Soient A et B deux points d’affixes respectives z_A=2+i et z_B=4−i. Déterminer algébriquement puis géométriquement : 1. l’ensemble des points M d’affixe z tel que

|

^z−2−i

|

⁼⁴

2. l’ensemble des points M d’affixe z tel que

|

^z−2−i

|

⁼

|

^z−4+i

|

. Tracer les ensembles trouvés dans le plan complexe.

Exercice 4

1. Placer dans le plan complexe, les points M1, M2 et M3 images respectives des complexes z₁=2^eiπ4; z₂=3

2eⁱ

π

3; z3= 3e^-2i

π

3. Déterminer la forme algébrique de chacun de ces complexes.

2. Ecrire sous forme exponentielle: z1×z₂; z₁

z₂; z₁ ; -z₂ ; z₃⁵ 3. Donner la forme exponentielle de chacun des nombres suivants :

z=(2+2i)(1−i) z= 1+i 3 -1+i 3

z=i

(

6−i 2

)

z=(-1+i)¹² z= 2−2i 3+i Exercice 5

Soit z=3eⁱ

π

3. Démontrer que z⁵⁷ est un réel. Préciser son signe.

Exercice 6

Soit z=

(

^{- 3+i}

)

⁽¹⁻ⁱ⁾

1. Donner la forme algébrique puis la forme exponentielle de z.

2. En déduire les valeurs exactes de cos

 

 

7π

12 et sin

 

 

7π 12 .

Exercice 7

1. Donner la forme algébrique du nombre

z=

(

^{1−i 3}

)

⁵ (Astuce : déterminer d’abord la forme exponentielle de 1−i 3)

2. Donner la forme algébrique de z= (1+i)⁴

(

³⁺ⁱ

)

^3.

3. Donner la forme algébrique de (1+i)²⁰⁰² et (-1+i)²⁰⁰²