Nombres complexes

Chapitre 5

Nombres complexes

Notations.

L'ensemble des nombres réels est muni des opérations addition+et multiplication·.

M2(R) =

a b c d

,(a, b, c, d)∈R⁴

. I - Corps des nombres complexes I.1 - Construction

Définition 1 (Nombre complexe).

∗ Un nombre complexe est un élément de l'ensemble C=

a −b b a

,(a, b)∈R²

.

∗ Les nombres complexes

a −b b a

et

c −d

d c

sont égaux si et seulement si a =c et b=d.

Propriétés 1 (Nombres réels,i).

(i). L'application Φ : R → C, a 7→

a 0 0 a

est un morphisme de corps, i.e. pour tout (a, b)∈R³,

Φ(1) = 1 0

0 1

,Φ(a+b) = Φ(a) + Φ(b) etΦ(a·b) = Φ(a)·Φ(b).

Ainsi, on pose, pour touta∈R, a 0

0 a

=a.

(ii). Si i=

0 −1 1 0

, alors,i²=−1.

Théorème 1 (Forme algébrique, Partie réelle / imaginaire).

Pour tout nombre complexez, il existe un unique couple(a, b)∈R² tel que z=a+bi. Cette écriture est la forme algébrique de z.

1

(i). Le réel aest la partie réelle dez. (ii). Le réelbest la partie imaginaire dez.

Théorème 2 (Structure de Corps). Soientz₁, z₂, z₃ ∈C.

∗ Propriétés de l’addition.

? Loi interne : z1+z2∈C.

? Loi associative :

(z₁+z₂) +z₃ =z₁+ (z₂+z₃).

? Élément neutre : z1+ 0 = 0 +z1 =z1.

? Symétrique :

∃ y∈C; y+z1=z1+y= 0.

? Loi commutative : z₁+z₂=z₂+z₁.

∗ Propriétés de la multiplication.

? Loi interne : z1·z2 ∈C.

? Loi associative :

(z₁·z₂)·z₃ =z₁·(z₂·z₃).

? Élément neutre : z1·1 = 1·z1 =z1.

? Loi commutative : z1·z2 =z2·z1.

? Symétrique :

∀z∈C^?,∃y∈C; y·z₁ =z₁·y= 1.

∗ Distributivité :z₁·(z₂+z₃) = (z₁·z₂) + (z₁·z₃).

(C,+)est un groupe commutatif et (C,+,·) est un corps commutatif.

Exercice 1. Parmi les ensembles que vous avez précédemment rencontrés, lesquels sont des groupes ? lequels sont des corps ?

I.2 - Conjugué Définition 2 (conjugué).

Soienta, bdeux réels,z=a+ib∈C. Le nombre complexez=a−ibest le conjugué dez. Propriétés 2.

Soit zun nombre complexe.

(i). (z) =z.

(ii). Re(z) = ^z+z₂ ,Im(z) = ^z−z_2i . (iii). z est réel si et seulement siz=z.

(iv). z est imaginaire pur si et seulement si z=−z.

(v). zz ∈ R+. De plus, zz = 0 si et seule- ment si z= 0.

Propriété 3 (Conjugué et Opérations).

Soientz₁, z₂ deux nombres complexes.

(i). z₁+z₂ =z₁+z₂. (ii). z₁·z₂ =z₁·z₂.

Exercice 2.Soient n ∈N, (a0, . . . , an) ∈ Rⁿ⁺¹ et P : C → C, z 7→

n

P

k=0

a_kz^k. Montrer que pour tout nombre complexez,P(z) =P(z).

I.3 - Module

Définition 3 (Module).

Pour tout nombre complexez, le module dez, noté|z|, est la quantité √ zz. Propriétés 4.

Soit zun nombre complexe.

(i). |z|= 0 si et seulement siz= 0. (ii). |z|=|z|.

(iii). |Re(z)|6|z|et|Im(z)|6|z|. (iv). Siz est non nul, on a ¹_z = _|z|^z2.

Propriété 5 (Module et Opérations). Soientz1, z2 deux nombres complexes.

(i). |z₁z2|=|z₁||z₂|.

(ii). Inégalité triangulaire :|z₁+z2|6|z₁|+|z₂|avec égalité si et seulement s'il existeλréel positif tel que z1 =λz2 ouz2 =λz1.

(iii). Inégalité triangulaire inverse : ||z₁| − |z₂||6|z₁−z2|.

Exercice 3.Soientn∈N^? et(zi)_i∈

J1,nK ∈Cⁿ. Montrer que

n

P

k=1

z_k 6

n

P

k=1

|z_k|. I.4 - Première excursion dans le plan complexe

Le plan est muni d'un repère orthonormé(O,−→ i ,−→

j). Définition 4 (Affixe, Image).

Soit M un point du plan de coordonnées (a, b). L'axe du point M est le nombre complexe z=a+ib.

Soit−→u un vecteur du plan de coordonnées(x, y). L'axe du vecteur−→u est le nombre complexe u=x+iy.

Propriétés 6 (Interprétations géométriques). Soit M un point du plan d'axez.

(i). Le point d'axe z est le symétrique deM par rapport à l'axe des abscisses.

(ii). La distance OM du pointM à l'origine est égale au module|z|. Propriétés 7 (Additions de vecteurs).

(i). Soient −→u , −→v deux vecteurs du plan d'axes respectifs u, v. Pour tous réels λ, µ, le vecteurλ−→u +µ−→v a pour axeλu+µv.

(ii). Soient A, B deux points du plan d'axes respectifs a, b. Le vecteur −−→

AB a pour axe (b−a). Ainsi, la longueur AB est égale au module du nombre complexe b−a.

Définition 5 (Cercles & Disques).

SoientA un point du plan d'axeaetr un nombre réel strictement positif.

(i). Le cercle de centre Aet de rayon r est l'ensemble des points d'axes {z∈C; |z−a|=r}.

(ii). Le disque fermé de centre A et de rayonr est l'ensemble des points d'axes {z∈C; |z−a|6r}.

(iii). Le disque ouvert de centreA et de rayon r est l'ensemble des points d'axes {z∈C; |z−a|< r}.

II - Nombres complexes de module un II.1 - Dénition et Propriétés

Définition 6 (Nombres complexes de module1).

Udésigne l'ensemble des nombres complexes de module 1. Théorème 3 (Structure de Groupe).

Soientξ₁, ξ₂∈U.

∗ Loi interne : ξ₁·ξ₂ ∈U.

∗ Loi associative :(ξ1·ξ2)·ξ3 =ξ1·(ξ2·ξ3).

∗ Élément neutre :ξ₁·1 = 1·ξ₁=ξ₁.

∗ Symétrique : ∃y∈U; y·ξ₁ =ξ₁·y = 1. On notera y=ξ₁⁻¹.

∗ Loi commutative :ξ1·ξ2=ξ2·ξ1. On dit que (U,·) est un groupe commutatif.

Théorème 4 (Paramétrisation du cercle unité).

Soit zun nombre complexe. z∈Usi et seulement si il existe θ∈Rtel que z=e^iθ.

Propriétés 8.

Soientn∈N, θ, θ⁰ ∈R.

(i). Formules d'Euler :cosθ= ^eiθ+e₂^−iθ,sinθ= ^eiθ−e_2i^−iθ. (ii). e^iθ6= 0 ete^iθ =e^−iθ = _e¹iθ = (e^iθ)⁻¹.

(iii). Morphisme de groupe : e^i(θ+θ0) =e^iθe^iθ0.

(iv). Formule de Moivre:(e^iθ)ⁿ=e^inθ = cos(nθ) +isin(nθ).

Exercice 4.À l'aide des propriétés énoncées ci-dessus, retrouvez le formulaire de trigonométrie circulaire.

II.2 - Linéarisation et factorisation

Les formules d'Euler et de Moivre, combinées à la formule du binôme de Newton, permettent de linéariser les fonctions cosinus et sinus, c'est-à-dire à exprimer cosⁿxsin^mx en fonction des cos(kx),sin(kx).

Exercice 5.Soitx∈R.

1. Montrer quecos⁷x= ₂¹6 (cos 7x+ 7 cos 5x+ 21 cos 3x+ 35 cosx). 2. Exprimercos 5x en fonction decosx et de sinx.

La factorisation consiste à simplier une somme contenant descos(kx)ou dessin(kx)en utilisant l'angle moitié, i.e. ^kx₂ .

Exercice 6.Soientn∈N^∗ etx∈R\πZ. Montrer que Pⁿ

k=0

cos(2kx) = cosnxsin(n+ 1)x sinx . II.3 - Forme trigonométrique

Définition 7 (Argument, Forme trigonométrique).

Soit zun nombre complexe non nul.

(i). Tout réel θ tel quez=|z|e^iθ est unargument de z.

(ii). L'unique réelθ∈]−π;π]tel que z=|z|e^iθ est l'argument principal de z, notéarg(z). (iii). Le nombre complexe z s'écrit sous la forme z=|z|e^iarg(z). Cette écriture est la forme

trigonométrique du nombre complexez.

Exercice 7.Soit(a, θ)∈R².

1. Soit z ∈ C^?. Exprimer, en utilisant la fonction arctan, arg(z) en fonction de Re(z) et de Im(z).

2. Déterminer le module et un argument des nombres complexesz₁=ae^iθ etz₂ = 1 +e^iθ. Proposition 9.

Soitz un nombre complexe non nul, θ₀ un argument dez. L'ensemble des arguments dezest θ₀+ 2πZ={θ₀+ 2kπ, k∈Z}.

Propriétés 10 (Argument et Opérations).

Soientz₁, z₂ deux nombres complexes non nuls etn∈Z.

(i). arg(z1)≡ −arg(z1) [2π]. (iii). arg z1

≡arg(z )−arg(z ) [2π].

Propriétés 11 (Exponentielle et Opérations).

(i). L'exponentielle est 2πi-périodique, c'est-à-dire, pour toutz∈C,e^z =e^z+2πi. (ii). Morphisme de groupe : ∀ z, z⁰ ∈C,e^z+z0 =e^z·e^z0.

(iii). Pour tout z∈C,e^z 6= 0.

(iv). Pour tout ζ ∈C^?, il existez∈Ctel que e^z =ζ. De plus,

{z∈C; e^z=ζ}={ln|ζ|+iarg(ζ) + 2kπi, k∈Z}.

III - Racines d'un nombre complexe III.1 - Racines carrées

Définition 8 (Racine carrée).

Soit z∈C. Un nombre complexe ζ est une racine carrée de z siζ² =z.

Proposition 12.

Tout nombre complexe non nul admet exactement deux racines carrées opposées.

Exercice 8.Rechercher les racines carrées complexes du nombre complexe1 +ien utilisant deux méthodes distinctes. En déduire une écriture cos^π₈ sous forme de radicaux.

Théorème 5 (Équations du second degré).

Soit(a, b, c)∈C³ tel quea6= 0. On considère l'équationaz²+bz+c= 0. On note∆ =b²−4ac le discriminant de cette équation et δ uneracine carrée de∆. Les solutions de l'équation sont

−b+δ

2a et ^−b−δ_2a . La somme de ces solutions vaut −_a^b, leur produit vaut _a^c. Exercice 9.Résoudre dans Cl'équation z²+ (2i+ 3)z+ 1−i= 0.

III.2 - Racines n-èmes Notation.

ndésigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. Définition 9 (Racinen-èmes).

Soit z∈C. Le nombre complexeζ est une racine n-ème dez siζⁿ=z.

L'ensemble des racines n-èmes de l'unité, i.e. des racinesn-èmes de1, est noté Un.

Exercice 10.On notej etj⁰ les racines3-èmes de l'unité non réelles. Montrer quej⁰ =j²=j et 1 +j+j⁰ = 0. Les représenter sur le cercle unité.

Proposition 13.

Soit zun nombre complexe non nul écrit sous forme trigonométrique z=re^iθ. L'ensemble de ses racines n-èmes est{√ⁿ

r·e^{i(nθ+2kπn )}, k∈J0, n−1K}.

En particulier, l'ensemble racinesn-èmes de l'unité estUn={e^i2kπn , k∈J0, n−1K}.

Exercice 11.Soit R un réel strictement positif. Écrire le polynôme Xⁿ−Rⁿ sous forme d'un produit denpolynômes de degré 1.

Propriété 14.

Soientn∈N, n>2etUn={ζ_k, k∈J0, n−1K}.

∀ k∈J1, n−1K,1 +ζ_k+· · ·+ζ_kⁿ⁻¹ = 0.

Exercice 12.Soit nun entier supérieur ou égal à 2.

1. En notantζ₀, . . . , ζn−1 les racinesn-èmes de l'unité, calculer ⁿ⁻¹P

k=0

ζ_k.

2. Écrire le polynômeⁿ⁻¹P

k=0

X^k sous forme d'un produit de(n−1)polynômes de degré 1.

Théorème 6 (Structure de groupe).

Soientξ₁, ξ₂∈Un.

∗ Loi interne : ξ₁·ξ₂ ∈U.

∗ Loi associative :

(ξ1·ξ2)·ξ3 =ξ1·(ξ2·ξ3).

∗ Élément neutre : ξ₁·1 = 1·ξ₁=ξ₁.

∗ Symétrique :

∃ y∈Un ; y·ξ1=ξ1·y= 1.

∗ Loi commutative : ξ₁·ξ₂=ξ₂·ξ₁. (Un,·)est un groupe commutatif.

IV - Nombres complexes et Géométrie plane IV.1 - Interprétations géométriques

Proposition 15 (Produit scalaire & Déterminant).

Soient−→u et−→v deux vecteurs du plan d'axes respectivesu etv. (i). −→u · −→v =Re(uv).

(ii). Les vecteurs −→u et−→v sont colinéaires si et seulement sidet(−→u ,−→v) =Im(uv) = 0. Théorème 7 (Angles & Distances).

SoientA, B, M trois points distincts du plan d'axes respectivesa, b, z. Alors, (i).

z−a z−b

= ^{M A}_{M B}. (ii). arg

z−a z−b

≡(−−→\ M B,−−→

M A) [2π].

Exercice 13.SoientA, B, C trois points distincts du plan d'axes respectivesa, betc. Montrer que le triangleABC est équilatéral direct si et seulement si a+bj+cj²= 0.

Corollaire 8 (Alignement & Orthogonalité).

SoientA, B, M trois points du plan d'axes respectives a, b, z. (i). A, B, M sont alignés si et seulement siM =B ou ^z−a_z−b ∈R.

(ii). Les droites (AM) et(BM) sont orthogonales si et seulement si ^z−a_z−b ∈iR.

Exercice 14.Déterminer géométriquement l'ensemble n

z∈C; ^z−1_z+1 =io . IV.2 - Transformations

Propriétés 16 (Translations, Homothéties, Rotations, Symétries).

−

→

(ii). L'image deM par l'homothétie de centreO et de rapport λa pour axeλz.

(iii). L'image deM par la rotation de centre O et d'angleθ a pour axee^iθz.

(iv). L'image deM par la symétrie d'axe (O,−→

i) a pour axez.

(v). L'image deM par la symétrie d'axe (O,−→

j) a pour axe−z.

Définition 10 (Similitudes).

Soit f une application deP dansP etλun réel strictement positif.

(i). f est une similitude de rapport λsi

∀ (M, N)∈P², f(M)f(N) =λ·M N.

Sif préserve les angles orientés, elle est directe, sinon elle est indirecte.

(ii). f est ue isométrie si c'est une similitude de rapport1. Théorème 9 (Exemples de similitudes et d’isométries).

Soit (a, b)∈C^?×C.

(i). L'application z7→az+b est une similitude directe de rapport|a|. (ii). L'application z7→az+b est une similitude indirecte de rapport|a|.

Exercice 15.Déterminer une condition nécessaire et susante pour quez 7→az+badmette un point xe.