Terminale S/Fonctions trigonométriques
1. Rappels :
Exercice 5269
A l’aide des formules du coset dusindes angles associés, ex- primer en fonction decosxou desinxles nombres suivants :
a. sin( 3ı+x)
b. cos (5ı
2 −x ) c. cos
( x−ı
2 )
d. cos (ı
2+x ) e. sin(
ı−x) + cos
(ı 2−x
) f. 3·sin(
ı+x)
−2·sin( ı−x)
+ 4·sin( x−ı) Exercice 5267
Simplifier l’argument de chacune des expressions suivantes : a. tan(
x+ı)
b. tan (ı
2−x )
c. cos( x−ı) d. sin
( x−ı
2 )
e. sin (
x+ı 2 )
f. cos (
x+ı 2 )
Exercice 5273
1. En remarquant que : ı 12= ı
3 −ı 4 Déterminer les valeurs decos ı
12 et sin ı 12. 2. Déterminer les valeurs de : cos7ı
12 ; sin7ı 12 Exercice 5274
Montrer la relation suivante :
sin(a+b)·cos(a−b) = sina·cosa+ cosb·sinb Exercice 5275
Déterminer une simplification des expressions suivantes : 1. cos 2x·cosx−sin 2x·sinx
2. sin 3x·cos 2x−sin 2x·cos 3x Exercice 5272
1. Dans chacune des cas, tracer un cercle trigonométrique et représenter chacun des ensembles suivants :
a.
{
cosxx∈[ı 6 ; 2ı
3 ] } b.
{
sinxx∈[2ı 3 ; 7ı
3 ]}
2. A l’aide d’un cercle trigonométrique, donner sans justifi- cation l’ensemble des solutions des inéquations suivantes dans l’intervalle]
−ı;ı] : a. sinx⩽
√3
2 b. cosx⩾−1
2 c. cosx <0 Exercice 3345
Résoudre, dans]
−ı;ı]
, les deux équations suivantes : a. cosx= cosı
4 b. sinx= sin (−ı
6 ) c. cos(
2x)
= cosı
4 d. cosx= cos (
x+ı 4 )
Exercice 5271
Résoudre, dans l’intervalle]
−ı;ı]
les équations suivantes : a. 2 cos 2x= 1 b. sin 3x=
√3 2 c. cos 2x= cosx d. sin 3x= cosx Exercice 5276
1. Simplifier l’expression suivante : cos
( x+ı
4 )−cos
( x−ı
4 )
2. Etablir l’égalité suivante : sin 5x
sin 2x+sin 2x sinx =
(sin 3x)2
sin(2x)·sin(x) 3. Résoudre, dans l’intervalle]
−ı; ı]
l’équation suivante :
√3
2 cos(2x) +1
2sin(2x) = cosı 7
2. Propriété des fonctions sinus et cosinus :
Exercice 2556
1. En choisissant un encadrement adéquat, montrer que la suite(
un
)
n∈N converge vers 0 :
un= (−1)n 3n+ 1
2. En choisissant un encadrement adéquat, montrer que la suite(
vn
)
n∈N converge ; préciser sa limite : Terminale S - Fonctions trigonométriques - http://chingatome.net
un =2n2+ cosn 3n2+ 5 Exercice 2568 Soit(
un
)
n∈N∗ une suite définie par : un=cosn−2n
√n Déterminer la limite de la suite(
un) . Exercice 3302
On considère les deux fonctions suivantesf et g définies sur
Rpar :
f(x) = 2·cos( x)
; g(x) = cos( 2·x)
Associer à chacune de ces fonctions sa courbe représentative représentée ci-dessous :
−2·π −π 0 π 2·π
-2 -1 1 2
C
−2·π −π 0 π 2·π
-2 -1 1 2
C′
3. Périodicité et parité :
Exercice 2920
Dans le repère(O;I;J)orthonormé, on représente ci-dessous la courbeCf représentative de la fonctionf définie surR:
-10 -8 -6 -4 -2 I 2 4 6 8 10
-4 -2 2 4
J O
La fonctionf est périodique de périodeT.
1. a. Déterminer, parmi les coordonnées ci-dessous, celle(s) d’un vecteur par lequel la courbe Cf est in- variante :
b. Déterminer la valeur deT.
2. Donner l’image, par la fonctionf, des nombres suivants :
a. 14 b. −16 c. 56 e. 58
Exercice 3346
On considère la fonctionf définie surRdont l’image dexest définie par la relation :
f(x) = cosx+ cos2(x)
On appelleCf la courbe représentative de la fonctionf. 1. Etudier la parité de la fonctionf.
2. Etudier la périodicité de la fonctionf.
3. a. En étudiant les images des nombres suivantes : 0; ı
3 ; ı 2 ; 2ı
3 ; ı; 4ı 3 ; 3ı
2 ; 5ı et en admettant les propritétés suivantes : 3
f est strictement décroissante sur [
0 ;2ı 3
]
; f est strictement croissante sur
[2ı 3 ;ı
]
;
Cf admet les tangentes horizontales aux points d’abscisse :
0 ; 2ı
3 ; ı ; −4ı 3
effectuer le tracé de la courbeCf sur[ 0 ; +∞]
. b. Prolonger ce tracé à l’ensemble du graphique.
−4·π −3·π −2·π −π 0 π 2·π 3·π 4·π
-1 1 2
4. Dérivée :
Exercice 5277
Déterminer l’expression des dérivées des fonctions suivantes : a. f:x7−→x2+ cosx b. g:x7−→sin(2x) c. h:x7−→cosx·sinx d. j:x7−→(
sinx)2
Exercice 2878
Déterminer l’expression des fonctions dérivées associées aux fonctions suivantes :
a. f(x) =x2·cosx b. g(x) =(
3x2−2)
·( sinx)2
c. h(x) = 3
2·cosx d. j(x) = cosx 3x+ sinx
5. Nombres dérivés et limites :
Exercice 3532
1. Déterminer l’expression des fonctions dérivées des fonc- tions suivantes :
a. f(x) =( cosx)2
b. g(x) = sinx+ cosx c. h(x) = tan(x2+x) d. j(x) =cosx
sinx 2. Déterminer les limites suivantes :
a. lim
x7→0
(cosx)2
−1
x b. lim
x7→−π 4
sinx+ cosx x+ı
4 c. lim
x7→0
tan(x2+x)
x d. lim
x7→π 2
cosx (
x−ı 2
)·sinx
Exercice 3568
Considérons la fonctiong définie surRpar : g(x) = sinx 1. Donner le nombre dérivée de la fonctiong en0.
2. En déduire la valeur de la limite : lim
x7→0
sinx x
6. Etude de fonctions :
Exercice 3582
On considère les deux suites de nombres réels, ( un
)
n∈N∗ et (vn
)
n∈N∗ définies par : un = sin 1
n2 + sin 2
n2 +· · ·+ sin n n2 vn= 1
n2 + 2
n2 +· · ·+ n n2
1. Démontrer que la suitev converge vers 1 2.
2. a. Démontrer que chacune des trois fonctions numé- riques de la variable réelle :
x7−→x−sinx ; x7−→ −1 +x2
2 + cosx x7−→ −x+x3
6 + sinx
ne prend que des valeurs positives ou nulles sur l’in- tervalle[
0 ; +∞[ .
On pourra utiliser les variations de chacune de ces trois fonctions.
b. Justifier que pour toutn⩾1: 13+ 23+· · ·+n3⩽n4. Déduire du a. l’inégalité :
vn−1 6×1
n2 ⩽un ⩽vn pour toutn∈N.
c. Démontrer que la suite u est convergente ; quelle est sa limite ?
7. Primitive et intégrale :
Exercice 3932
Déterminer une primitive pour chacune des fonctions sui- vantes :
a. f(x) = 5
√x b. g(x) =ex+1+ 1 c. h(x) = 2·x·ex2+1 d. j(x) = cosx e. k(x) = sin(3x) f. ‘(x) =(
sinx)2
Exercice 5232
On considère les deux intégrales suivantes : I=
∫ π 0
(cosx)2
dx ; J=
∫ π 0
(sinx)2
dx 1. Calculer : I+J ; I−J.
2. En déduire les valeurs deI et deJ.
Exercice 5282 On considère la suite (
xn
)définie pour tout entier natureln non nul par :
xn=
∫ 1 0
tn·costdt 1. a. Montrer que la suite(
xn)
est à termes positifs.
b. Etudier les variations de la suite( xn
).
c. Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite(
xn
)?
2. a. Démontrer que, pour tout entier naturelnnon nul : xn ⩽ 1
n+ 1
b. En déduire la limite de la suite( xn)
.
8. Nombres complexes :
Exercice 5280
Soit les nombres complexes : z1=√
2 +i·√
6 ; z2= 2 + 2·i ; Z= z1
z2
1. EcrireZ sous forme algébrique.
2. Donner les modules et les arguments dez1,z2et Z.
3. En déduire cos ı
12 etsin ı 12.
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Exercice 5281
On considère l’équation(E)suivante : z2+ 2 cos
(ı 5
)·z+ 1 = 0
Indiquer si la proposition suivante est vraie ou fausse en jus- tifiant votre affirmation :
“L’équation(E)a deux solutions complexes de modules égaux à 1.”
9. Annales :
Exercice 5283
Le plan est rapporté à un repère orthogonal( O;−→
i ;−→ j
) . Soit la fonctionf définie sur[
0 ; +∞[ par : f(x) =e−x·cos(4x)
etΓsa courbe représentative tracée dans le repère( O;−→
i ;−→ j) en fin d’exercice. Ce graphique sera complétée au fur et à me- sure de l’exericce.
On considère également la fonctiongdéfinie sur[ 0 ; +∞[
par g(x) =e−x et on nomme C sa courbe représentative dans le repère(
O;−→ i ;−→
j) .
1. a. Montrer que, pour tout réelxappartenant à l’inter- valle[
0 ; +∞[ :
−e−x⩽f(x)⩽e−x
b. En déduire la limite def en+∞.
2. Déterminer les coordonnées des points communs aux courbesΓ etC.
3. On définit la suite ( un)
surNpar : un=f (
n·ı 2 )
. a. Montrer que la suite (
un)
est une suite géométrique.
En préciser la raison.
b. En déduire le sens de variation de la suite( un
)et étu- dier sa convergence.
4. a. Montrer que, pour tout réelxappartenant à l’inter- valle[
0 ; +∞[ : f′(x) =−e−x·[
cos(4x) + 4·sin(4x)]
b. En déduire que les courbesΓetC ont même tangente en chacun de leurs points communs.
5. Donner une valeur approchée à 10−1 près par excès du coefficient directeur de la droiteT tangente à la courbe Γau point d’abscisse ı
2.
Compléter le graphique donné en y traçantT etC.
0
1 2 3 4
-1 1
~i
~j
