Partie 1 : relations trigonométriques Complexes (trigonométrie et forme exponentielle)

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Chap.5 :

Complexes (trigonométrie et forme exponentielle)

Partie 1 : relations trigonométriques

Propriété : formules d’addition Pour tous réels 𝑎 et 𝑏 :

(1) 𝑐𝑜𝑠 (𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑎) sin(𝑏) (2) 𝑐𝑜𝑠 (𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑎) sin(𝑏) (3) 𝑠𝑖𝑛 (𝑎 − 𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) − cos(𝑎) sin(𝑏) (4) 𝑠𝑖𝑛 (𝑎 + 𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) + cos(𝑎) sin(𝑏) Démonstration :

(1) Soient 𝑤5555⃗ et 𝑤₄ 55555⃗ deux vecteurs de norme 1 tels que 𝑤₇ 5555⃗ 9₄ cos(𝑎)

sin(𝑎): et 𝑤55555⃗ 9₇ cos(𝑏) sin(𝑏):. D’une part : 𝑤5555⃗. 𝑤₄ 55555⃗ = cos(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑎) sin(𝑏) ₇

D’autre part : 𝑤5555⃗. 𝑤₄ 55555⃗ = ‖𝑤₇ 5555⃗‖ × ‖𝑤₄ 55555⃗‖ × cos(𝑤₇ 5555⃗; 𝑤₄ 55555⃗) = 1 × 1 × cos(𝑏 − 𝑎) = cos(𝑎 − 𝑏). ₇ En effet cos(𝑡) = cos(−𝑡) pour tout réel 𝑡.

Donc cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑎) sin(𝑏).

(2) On remplace 𝑏 par −𝑏 dans (1).

(3) On utilise le fait que 𝑠𝑖𝑛(𝑡) = cos @^A₇− 𝑡B pour tout réel 𝑡.

Ainsi sin(𝑎 − 𝑏) = cos @^A₇− (𝑎 − 𝑏)B = cos @^A₇− 𝑎 + 𝑏B.

On utilise ensuite (2).

(4) On remplace 𝑏 par −𝑏 dans (3).

Exemples : cos @^CA₄₇B = cos @^A_D+^A_EB = cos @^A_DB cos @^A_EB − sin @^A_DB sin @^A_EB =^√7₇ ×⁴₇−^√7₇ ×^√E₇ =^√7G√H_D sin @^CA₄₇B = sin @^A_D+^A_EB = sin @^A_DB cos @^A_EB + cos @^A_DB sin @^A_EB =^√7₇ ×⁴₇+^√7₇ ×^√E₇ =^√7I√H_D

Propriété : formules de duplication Pour tout réel 𝑎 :

cos(2𝑎) = cos⁷(𝑎) − sin⁷(𝑎) et sin(2𝑎) = 2 sin(𝑎) cos(𝑎) cos(2𝑎) = 1 − 2sin⁷(𝑎) = 2 cos⁷(𝑎) − 1

cos⁷(𝑎) =^4IKLM(7N)₇ et sin⁷(𝑎) =^4GKLM(7N)₇ Démonstration : on utilise les formules d’addition avec 𝑏 = 𝑎.

cos(2𝑎) = cos⁷(𝑎) − sin⁷(𝑎) = cos⁷(𝑎) − (1 − cos⁷(𝑎)) = 2 cos⁷(𝑎) − 1 cos(2𝑎) = cos⁷(𝑎) − sin⁷(𝑎) = (1 − sin⁷(𝑎)) − sin⁷(𝑎) = 1 − 2 sin⁷(𝑎) cos(2𝑎) = 2 cos⁷(𝑎) − 1 ⟺ cos(2𝑎) + 1 = 2 cos⁷(𝑎) ⟺ cos⁷(𝑎) =^4IKLM(7N)₇ cos(2𝑎) = 1 − 2 sin⁷(𝑎) ⟺ 1 − cos(2𝑎) = 2 sin⁷(𝑎) ⟺ sin⁷(𝑎) =^4GKLM(7N)₇

Exemple : cos⁷@^A

PB =^4IKLM@7×

Q RB

7 = ^4IKLM@

Q SB

7 = ^4I√TT

7 =^7I√7

D

Comme 0 < ^A_P < ^A₇, alors cos @^A_PB > 0 donc cos @^A_PB = X^7I√7_D .

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Partie 2 : forme exponentielle

a) Une nouvelle écriture

Ayant observé que les arguments d’un nombre complexes avaient des propriétés opératoires identiques à celles des puissances, on convient de poser :

Définition : notation 𝒆^𝒊𝝑

Pour tout réel 𝜗 : 𝑒^{^_} = cos 𝜗 + 𝑖 sin 𝜗

Remarque : 𝑒^{^_}se lit « 𝑒 puissance 𝑖𝜗 » ou « exponentielle 𝑖𝜗 » : c’est le complexe de module 1 et d’argument 𝜗.

Ainsi, 𝑒^{^`}= 1, 𝑒^{^A} = −1 et 𝑒^aQT = 𝑖 Propriété : relation fonctionnelle

Soient 𝜗 et 𝜗′ deux réels et 𝑛 un entier relatif.

𝑒^{^_}× 𝑒^{^_c} = 𝑒^{^d_I_ce} _f^f_agc^ag = 𝑒^{^d_G_ce} _f⁴_ag= 𝑒^{G^_}

d𝑒^{^_}e^h = 𝑒^{^h_} 𝑒jjjj = 𝑒^{i_ G^_}

Démonstration : en repartant de la définition et des propriétés des arguments.

Exemples : 𝑒^aQk × 𝑒^aQS = 𝑒^{^@QkIQSB} = 𝑒^laQmT 9𝑒^aQmS:^C = 𝑒^naQmS = 𝑒^aQT = 𝑖 ^f

aQ k f^aQS

= 𝑒^{^@QkGQSB} = 𝑒^oaQmT

Définition : forme exponentielle

Soit 𝑧 = 𝑟(cos 𝜗 + 𝑖 sin 𝜗) un nombre complexe non-nul.

Alors 𝑧 a pour forme exponentielle (ou notation exponentielle) : 𝑧 = 𝑟𝑒^{^_}

Remarque : si 𝑟 = 1, 𝑧 = 𝑒^{^_}et 𝑀(𝑧) est sur le cercle trigonométrique (en effet :s𝑒^{^_}s = 1).

Exemples : 𝑧4 = 2 + 2𝑖. Comme |𝑧₄| = √2 et arg(𝑧4) =^A_D[2𝜋], alors la forme exponentielle de 𝑧₄ est √2𝑒^{^QS}. Le nombre complexe 𝑧₇ = −2𝑒^{^QS} n’est pas sous forme exponentielle car 𝑟 = −2 < 0.

Comme 𝑒^{^A} = −1, alors 𝑧₇ = 𝑒^{^A}× 2𝑒^{^QS} = 2𝑒^{^@AIQSB} = 2𝑒^laQS : là, 𝑧₇ est sous forme exponentielle.

Propriétés : notations exponentielles

En notant 𝑧 = 𝑟𝑒^{^_} et 𝑧′ = 𝑟′𝑒^{^_c}deux réels non-nuls, on a :

𝑧 × 𝑧^{ = 𝑟𝑟^{𝑒^{^d_I_ce} _|^|_c =_}^}_c𝑒^{^d_G_ce 4}_|= ⁴_}𝑒^{G^_} 𝑧^h = 𝑟^h𝑒^{^h_} (𝑛 ∈ ℤ)

b) Formules de Moivre et d’Euler

Pour tout réel 𝜗, on a : cos 𝜗 =^fagIf₇^oag et sin 𝜗 =^fagGf_7^^oag

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Remarques :

• On retiendra parfois 𝑒^{^_}+ 𝑒^{G^_} = 2 cos 𝜗 et 𝑒^{^_}− 𝑒^{G^_} = 2𝑖 sin 𝜗

• En mettant ces deux quantités au carré, on peut retrouver les formules de duplication.

Propriété : formule de Moivre

Pour tout réel 𝜗, et tout entier 𝑛, on a : (cos 𝜗 + 𝑖 sin 𝜗)^h = cos(𝑛𝜗) + 𝑖 sin(𝑛𝜗)

Remarques :

• Il s’agit d’une autre manière d’exprimer l’égalité d𝑒^{^_}e^h = 𝑒^{^h_}

• Pour 𝑛 = 2, 𝑛 peut retrouver les formules de duplication.

Partie 3 : racines n-ièmes de l’unité

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢5⃗, 𝑣⃗).

Définition : racine n-ième de l’unité.

Soit 𝑛 un entier non-nul.

On appelle racine n-ième de l’unité tout nombre complexe 𝑧 tel que 𝑧^h = 1.

Remarques :

• Pour tout entier 𝑛 non-nul, 1 est solution de l’équation 𝑧^h = 1.

• Les racines n-ièmes de l’unité sont les racines du polynôme 𝑧^h − 1.

Propriété : racines n-ièmes

Pour tout entier naturel 𝑛 non-nul, 𝑧^h = 1 admet exactement 𝑛 racines n-ièmes distinctes.

Ce sont les nombres complexes de la forme 𝑒^aT„Q… avec 𝑘 entier naturel tel que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 − 1.

Définition : ensemble 𝑼_𝒏

On note 𝑈_h l’ensemble des racines n-ièmes de l’unité : 𝑈_h = ‹𝑒^aT„Q… , 𝑘 ∈ {0; 1; … ; 𝑛 − 1} •.

Exemple : 𝑈E = ‹1; 𝑒^TaQ• ; 𝑒^SaQ• • et 𝑈D = ‹1; 𝑒^TaQS ; 𝑒^SaQS ; 𝑒^kaQS • = {1; 𝑖; −1; −𝑖}.

Remarques :

• Pour tout entier naturel 𝑛 non-nul, les points images des éléments de 𝑈_h appartiennent au cercle trigonométrique.

• Pour tout entier naturel 𝑛 ≥ 3, les points images des éléments de 𝑈_h sont les sommets d’un polygone régulier à 𝑛 sommets.