Les nombres complexes d’un point de vue géométrique
Classe de terminale - option maths expertes
Caspar Wessel - alchetron.com
Caspar Wessel (1745-1818) est un mathématicien Danois et Norvégien qui n’a publié qu’un seul mémoire de mathématiques. Son travail est totalement ignoré pendant près d’un siècle jusqu’à ce qu’il soit mentionné quasiment par hasard dans une thèse de Christensen en 1896 qui le tire définitivement de l’oubli.
Ce mémoire s’inscrit parmi les diverses tentatives de représentation des nombres complexes de manière géométrique. En 1897, il fut republié en français sous le titre « Essai sur la représentation analytique de la direction ».
En 1806, alors qu’il tient une librairie à Paris, le mathématicien amateur Jean-Robert Argand (1768-1822) publie une interprétation géométrique des nombres complexes comme points dans le plan en faisant correspondre au nombrea+i b le point de coordonnées (a;b).
Pour cette raison, le plan, vu comme ensemble des nombres complexes est parfois appelé le plan d’Argand.
Jean Robert D’Argand - bibmath.net
I - Images et affixes
1) Affixe d’un point
Définition : On appelle plan complexe le plan muni d’un repère or- thonormé direct (O,~u,~v).
Pour tout nombre complexe z =a+i b (a etb réels), on peut associer le point M(a;b) du plan et réciproquement, à tout point M(a;b), on peut associer le nombre complexe z =a+i b.
On dit que M est le point image du nombre complexe z et que z est l’affixedu point M.
Remarque : Les nombres réels sont représentés sur l’axe des abscisse (appelé axe des réels) et les imaginaires purs sont représentés sur l’axe
des ordonnées (appelé axe des imaginaires purs). ~u
axe des réels
O
~v
axe des imaginaires purs
M(a+i b)
a b
Exemple : Sur la figure ci-dessus, le pointM a pour affixe le nombre complexe 3+4i
Propriétés : Si A et B sont deux points du plan complexe d’affixes respectives zA et zb alors :
• zA =zB ⇔A etB sont confondus
• le milieu du segment [AB] a pour affixe zA+zB 2
Preuve : Ces propriétés sont une conséquence directe des propriétés d’égalité sur les nombres complexes.
2) Affixe d’un vecteur
Définition : À tout vecteurw~ Ãa
b
!
du plan complexe, on peut associer l’unique nombre complexe z =a+i b.
~
w estle vecteur imagede z et z estl’affixe de w~.
Exemple : Le vecteurw~ de la figure ci-contre a pour affixe 3+4i.
Propriétés : Si w~ et w~0 sont deux vecteurs du plan complexe d’af- fixes respectives z et z0 alors :
• z =z0 si et seulement si les vecteurs w~ et w~0 sont égaux.
• Le vecteur w~ +w~0 a pour affixe z+z0.
~ u
axe des réels
O
~v
axe des imaginaires purs
a b
~ w
Preuve : La démonstration est immédiate en écrivant z et z0 sous la forme z =a+i b et z0=a0+i b0.
Exemple : Soient w~ et w~0 d’affixes respectives z = −2+5i et z0 = 3+7i, l’affixe du vecteur w~ +w~0 est le nombre complexe 1+12i.
Propriétés : Vecteurs et points
Pour tout point M du plan complexe muni d’un repère orthonormé (O,~u,~v) d’affixe z, le vecteur −−→
OM a pour affixe z.
Pour tous points A et B du plan complexe d’affixes respectiveszA et zB, le vecteur −→
AB a pour affixe zB −zA. Preuve : Posons z =a+i b alors −−→
OM
Ãa−0 b−0
!
soit−−→
OM Ãa
b
!
et l’affixe de−−→
OM est bien z.
D’après la relation de Chasles−→
AB =−−→
AO+−−→
OB =−−→
OB −−−→
O A et d’après les propriétés précédentes,−→
AB a pour affixe zB −zA.
Exemple : Si A etB sont deux points plan complexe d’affixes respectives zA = −7+3i etzB = −2−9i alors, le vecteur−→
AB a pour abscisse zB −zA =5−12i
II - Module d’un nombre complexe
Définition : Soit M un point d’affixe z. On appellemodule dez le réel positif noté |z|tel que|z| =OM. Si z =a+i b, on a donc|z| =p
a2+b2
Propriétés : Soient z ∈C alors : 1) |z| =0⇔z =0.
2) |−z| = |z|
3) |z| = |z| 4) z×z = |z|2
Preuve : 1) Si M est le point d’affixe z :|z| =0⇔OM =0⇔O et M sont confondus⇔z =0.
2) et 3) seront démontrées en exercices
4) On pose z =a+i b, z×z =(a+i b)(a−i b)=a2+b2= |z|2
Propriétés : Soient z et z0 deux nombres complexes : 1) |z×z0| = |z| × |z0|
2) si z0 est non nul,
¯
¯
¯ z z0
¯
¯
¯= |z|
|z0|
3) |zn| = |z|n
4) |z+z0| ≤ |z| + |z0|(inégalité triangulaire)
Preuve : Ces propriétés seront démontrées en exercices.
III - Argument d’un nombre complexe
1) Définitions et propriétés
Définition : Soit M un point d’affixe non nulle z, on appelle argu- mentde z et on note ar g(z) une mesure en radians de l’angle orienté (~u;−−→
OM).
Remarque : Un nombre complexe non nul possède une infinité d’ar- guments de la forme ar g(z)+2kπ oùk ∈Z. On note ar g(z) modulo 2π ou ar g(z)[2π].
La mesure d’angle appartenant à ]−π;π[ est appelée argument princi- pal de z.
Les propriétés ci-dessous sont alors immédiates. ~u
axe des réels
O
~v
axe des imaginaires purs
a b
|z|
M(z)
ar g(z)
Propriétés : Soit z un nombre complexe non nul.
1) ar g(z)=0[π]⇔z est un nombre réel.
2) ar g(z)= π
2[π]⇔z est un imaginaire pur.
3) ar g(z)= −ar g(z)[2π] 4) ar g(−z)=ar g(z)+π[2π]
~ O u
~v
|z| M(z)
ar g(z)
|z|
M0(z)
ar g(z)
|−z| M00(−z)
ar g(−z)
2) Arguments et forme trigonométrique
Propriété : Soit z un nombre complexe non nul tel que z =a+i b avec a et b dans IR.
Si on note θ un argument de z, on a :
cos(θ)= a
|z| sin(θ)= b
|z|
Preuve : Propriété admise.
Définition : Tout nombre complexe z s’écrit sous la forme z = |z|(cos(θ)+isin(θ)) où θ est un argument de z. Cette écriture est appeléeforme trigonométrique de z.
Propriété : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils sont le même module et le même argument modulo 2π.
Preuve : Soient z et z0 deux nombres complexes.
Si z =z0 alors |z| = |z0|et ar g(z)= ar g(z0)[2π]
Réciproquement, z et z0 ont même module et même argument modulo2π, il suffit d’écrire la forme trigonomé- trique de z et z0 pour obtenir leur égalité.
