Chapitre IV : Les nombres complexes : partie géométrique
I – Image d’un nombre complexe, affixe, module
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗, 𝑣⃗). On parle de plan complexe.
1) Affixe d’un point – Affixe d’un vecteur Définition 1 :
Soit 𝑧 = 𝑥 + i𝑦 un nombre complexe avec 𝑥 et 𝑦 réels.
Le point 𝑀 de coordonnées (𝑥; 𝑦) dans le repère (𝑂; 𝑢⃗, 𝑣⃗) est appelé image du nombre complexe 𝑧.
Le nombre complexe 𝑧 est appelé affixe du point 𝑀.
Remarque 1 :
À tout point 𝑀 du plan est associé un unique nombre complexe et réciproquement.
Exemple 1 :
Le point 𝐴 a pour affixe 𝑧 = 3 Le point 𝐵 a pour affixe 𝑧 = −2𝑖 Le point 𝐶 a pour affixe 𝑧 = −1 + 2𝑖 Le point 𝑀 a pour affixe 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦
Conséquences graphiques :
Les points 𝑀 et 𝑀’ d’affixes respectives 𝑧 et 𝑧 sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses.
Les points 𝑀 et 𝑀′′ d’affixes respectives 𝑧 et −𝑧 sont symétriques par rapport à l’origine 𝑂 du repère.
Définition 2 :
Soit 𝑧 = 𝑥 + i𝑦 un nombre complexe avec 𝑥 et 𝑦 réels.
Le vecteur 𝑤⃗ de coordonnées 𝑥
𝑦 dans le repère (𝑂; 𝑢⃗, 𝑣⃗) (autrement dit : 𝑤⃗ = 𝑥𝑢⃗ + 𝑦𝑣⃗ ) est appelé vecteur image du nombre complexe 𝑧. Il en est de même pour tout représentant 𝐴𝐵⃗ de 𝑤⃗.
Le nombre complexe 𝑧 est appelé affixe du vecteur 𝑤⃗ (et de tout représentant 𝐴𝐵⃗ de 𝑤⃗).
Propriété 1 :
1) Si un nombre complexe 𝑧 est l’affixe du point 𝑀 alors il est aussi l’affixe du vecteur 𝑂𝑀⃗.
2) L’affixe du vecteur nul est 0.
3) Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont la même affixe.
4) Soient 𝑤⃗ et 𝑤⃗′ deux vecteurs d’affixes respectives 𝑧⃗ et 𝑧 ⃗. a) Le vecteur 𝑤⃗ + 𝑤⃗′ a pour affixe 𝑧 ⃗+ 𝑧 ⃗.
b) Pour tout réel 𝑘, le vecteur 𝑘𝑤⃗ a pour affixe 𝑘 × 𝑧 ⃗ 5) Soient 𝐴 et 𝐵 deux points d’affixes respectives 𝑧 et 𝑧 . a) Le vecteur 𝐴𝐵⃗ a pour affixe 𝑧 − 𝑧 .
b) Le milieu 𝐼 du segment [𝐴𝐵] a pour affixe 𝑧 = (𝑧 + 𝑧 )
1) Si 𝑀 a pour coordonnées (𝑥 ; 𝑦) alors le vecteur 𝑂𝑀⃗ a pour coordonnées 𝑥
𝑦 . Le nombre complexe 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 est donc à la fois affixe du point 𝑀 et du vecteur 𝑂𝑀⃗.
2) Le vecteur nul a pour coordonnées 0
0 , son affixe est donc le nombre complexe 0 + 0𝑖 = 0.
3) Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées et donc si et seulement s’ils ont la même affixe.
4) a) En notant 𝑧 ⃗ = 𝑥 + 𝑖𝑦 et 𝑧 ⃗ = 𝑥 + 𝑖𝑦′, on obtient 𝑧⃗+ 𝑧 ⃗ = (𝑥 + 𝑥 ) + 𝑖(𝑦 + 𝑦 ) Or le vecteur 𝑤⃗ + 𝑤⃗′ a pour coordonnées 𝑥 + 𝑥′
𝑦 + 𝑦′ , son affixe est donc (𝑥 + 𝑥 ) + 𝑖(𝑦 + 𝑦 )…
b) 𝑘 × 𝑧⃗ = 𝑘 × (𝑥 + 𝑖𝑦) = 𝑘𝑥 + 𝑖𝑘𝑦 Or le vecteur 𝑘𝑤⃗ a pour coordonnées 𝑘𝑥
𝑘𝑦 , son affixe est donc (𝑘𝑥) + 𝑖(𝑘𝑦)…
5) a) Le vecteur 𝐴𝐵⃗ a pour coordonnées 𝑥 − 𝑥
𝑦 − 𝑦 , son affixe est donc (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑖(𝑦 − 𝑦 ) Or (𝑥 − 𝑥 ) + 𝑖(𝑦 − 𝑦 ) = (𝑥 + 𝑖𝑦 ) − (𝑥 + 𝑖𝑦 ) = 𝑧 − 𝑧 …
b) 𝐼 est le milieu du segment [𝐴𝐵] donc 𝐴𝐵⃗ = 2𝐴𝐼⃗ donc 𝑧 ⃗= 2𝑧 ⃗ ce qui se traduit par : 𝑧 − 𝑧 = 2(𝑧 − 𝑧 ) ⇔ 2𝑧 = 𝑧 − 𝑧 + 2𝑧 = 𝑧 + 𝑧 ⇔ 𝑧 =1
2(𝑧 + 𝑧 ) 2) Module d’un nombre complexe
Définition 3 :
Soit 𝑀 le point d’affixe 𝑧.
Le module de 𝑧, noté |𝑧| est la distance 𝑂𝑀 c’est-à-dire |𝑧| = 𝑂𝑀.
Propriété 2 : 1) |𝑧| = 0 ⇔ 𝑧 = 0
2) Pour tout nombre complexe 𝑧 dont l’écriture algébrique est donnée par 𝑧 = 𝑥 + i𝑦, on a : |𝑧| = 𝑥 + 𝑦² et |𝑧| = 𝑧 × 𝑧̅
Démonstration :
1) |𝑧| = 0 ⇔ 𝑂𝑀 = 0 ⇔ 𝑀 = 𝑂 ⇔ 𝑧 = 0
2) |𝑧| = 𝑂𝑀 = (𝑥 − 𝑥 ) + (𝑦 − 𝑦 )² = (𝑥 − 0) + (𝑦 − 0)² = 𝑥 + 𝑦² 𝑧 × 𝑧̅ = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦) = 𝑥 + 𝑦 = |𝑧|
Exemple 2 :
|3 − 2i| = 3² + (−2) = √13 Propriété 3 :
Soient 𝑧 et 𝑧’ deux nombres complexes et 𝑛 ∈ ℕ∗.
1) a)|𝑧̅| = |𝑧| b) |−𝑧| = |𝑧| c) |𝑧 × 𝑧 | = |𝑧| × |𝑧 | d) |𝑧 | = |𝑧|
2) |𝑧 + 𝑧′| ≤ |𝑧| + |𝑧′| (inégalité triangulaire) 3) Si de plus 𝑧’ est non nul : 𝑧
𝑧′ = |𝑧|
|𝑧′|
Démonstration :
1) a) 𝑧̅ = 𝑥 − 𝑖𝑦 ⇒ |𝑧̅| = 𝑥 + (−𝑦) = 𝑥 + 𝑦 = |𝑧|
b) −𝑧 = −𝑥 − 𝑖𝑦 ⇒ |−𝑧| = (−𝑥) + (−𝑦) = 𝑥 + 𝑦 = |𝑧|
c) |𝑧 × 𝑧 | = |(𝑥 + 𝑖𝑦) × (𝑥 + 𝑖𝑦 )| = |(𝑥𝑥′ − 𝑦𝑦 ) + 𝑖(𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦)| = (𝑥𝑥′ − 𝑦𝑦 ) + (𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦)
= (𝑥𝑥 ) − 2𝑥𝑥 𝑦𝑦 + (𝑦𝑦 ) + (𝑥𝑦 ) + 2𝑥𝑦 𝑥 𝑦 + (𝑥 𝑦) = (𝑥𝑥 ) + (𝑦𝑦 ) + (𝑥𝑦 ) + (𝑥 𝑦) Or |𝑧| × |𝑧 | = 𝑥 + 𝑦² × 𝑥′ + 𝑦 = (𝑥 + 𝑦 ) 𝑥 + 𝑦 = |𝑧 × 𝑧 | après développement.
d) Par récurrence sur 𝑛 : Pour 𝑛 = 1 : évident
Supposons que |𝑧 | = |𝑧| pour un entier naturel 𝑘 non nul et montrons que |𝑧 | = |𝑧|
|𝑧 | = |𝑧 × 𝑧| = |𝑧 | × |𝑧| è = |𝑧| × |𝑧| è = |𝑧|
2) On sait que 𝑧 + 𝑧̅ = 2𝑅𝑒(𝑧).
De plus |𝑧| = 𝑥 + 𝑦² ≥ √𝑥 = |𝑥| ≥ 𝑥 = 𝑅𝑒(𝑧) donc |𝑧| ≥ 𝑅𝑒(𝑧)
|𝑧 + 𝑧 | = (𝑧 + 𝑧 )(𝑧 + 𝑧 ) = (𝑧 + 𝑧 )(𝑧̅ + 𝑧 ) = 𝑧𝑧̅ + 𝑧𝑧 + 𝑧 𝑧̅ + 𝑧 𝑧 = |𝑧| + |𝑧 | + 2𝑅𝑒(𝑧𝑧 ) (|𝑧| + |𝑧 |) = |𝑧| + |𝑧 | + 2|𝑧||𝑧 | = |𝑧| + |𝑧 | + 2|𝑧||𝑧 | = |𝑧| + |𝑧 | + 2|𝑧𝑧 |
Or |𝑧𝑧 | ≥ 𝑅𝑒(𝑧𝑧 ) ⇒ 2|𝑧𝑧 | ≥ 2𝑅𝑒(𝑧𝑧 ) ⇒ |𝑧| + |𝑧 | + 2|𝑧𝑧 | ≥ |𝑧| + |𝑧 | + 2𝑅𝑒(𝑧𝑧 ) Enfin, (|𝑧| + |𝑧 |) ≥ |𝑧 + 𝑧 | ⇒ |𝑧| + |𝑧 | ≥ |𝑧 + 𝑧 |
3) 𝑧
𝑧′ = 𝑥 + 𝑖𝑦
𝑥 + 𝑖𝑦 = (𝑥 + 𝑖𝑦)(𝑥 − 𝑖𝑦 )
(𝑥 + 𝑖𝑦 )(𝑥 − 𝑖𝑦 )= 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑖(𝑦𝑥 − 𝑥𝑦 )
𝑥 + 𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦
𝑥 + 𝑦 + 𝑖𝑦𝑥 − 𝑥𝑦 𝑥 + 𝑦 𝑧
𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦
𝑥 + 𝑦 + 𝑦𝑥 − 𝑥𝑦
𝑥 + 𝑦 = (𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 )
(𝑥 + 𝑦 ) +(𝑦𝑥 − 𝑥𝑦 ) (𝑥 + 𝑦 )
= (𝑥𝑥 ) + (𝑦𝑦 ) + (𝑥 𝑦) + (𝑥𝑦 )
(𝑥 + 𝑦 ) = (𝑥 + 𝑦 )(𝑥 + 𝑦 )
(𝑥 + 𝑦 ) = (𝑥 + 𝑦 )
(𝑥 + 𝑦 )= 𝑥 + 𝑦
𝑥 + 𝑦 = |𝑧|
|𝑧′|
Exemple 3 : 3 − 2i
5 + i =|3 − 2i|
|5 + i| = 3 + (−2)
√5 + 1 =√13
√26= √2 2
II – Arguments d’un nombre complexe, écriture trigonométrique, notation exponentielle 1) Formules trigonométriques
Propriété 4 : Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels.
1) cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑎) sin (𝑏) 2) cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑎) sin (𝑏) 3) sin(𝑎 − 𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑏) cos (𝑎) 4) sin(𝑎 + 𝑏) = sin(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑏) cos (𝑎)
1) Calculons le produit scalaire 𝑂𝐵⃗. 𝑂𝐴⃗ de deux façons :
𝑂𝐴⃗. 𝑂𝐵⃗ = 𝑂𝐴 × 𝑂𝐵 × cos 𝐵𝑂𝐴 = 1 × 1 × cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎 − 𝑏) 𝑂𝐴⃗ a pour coordonnées cos 𝑎
sin 𝑎 et 𝑂𝐵⃗ a pour coordonnées cos 𝑏
sin 𝑏 , le repère étant orthonormé : 𝑂𝐴⃗. 𝑂𝐵⃗ = cos(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑎) sin (𝑏) d’où l’égalité.
2)cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 − (−𝑏) = cos(𝑎) cos(−𝑏) − sin(𝑎) sin(−𝑏) = cos(𝑎) cos(𝑏) − sin(𝑎) sin (𝑏) 3) sin(𝑎 − 𝑏) = cos − (𝑎 − 𝑏) = cos − 𝑎 + 𝑏 = cos − 𝑎 cos(𝑏) − sin − 𝑎 sin (𝑏)
= sin (𝑎) cos(𝑏) − cos (𝑎)sin (𝑏)
4) sin(𝑎 + 𝑏) = sin 𝑎 − (−𝑏) = sin(𝑎) cos(−𝑏) − sin(−𝑏) cos(𝑎) = sin(𝑎) cos(𝑏) + sin(𝑏) cos (𝑎) Propriété 5 : Soit 𝑎 un réel.
1) cos(2𝑎) = cos (𝑎) − sin (𝑎) = 2 cos (𝑎) − 1 = 1 − 2 sin (𝑎) 2) sin(2𝑎) = 2 sin(𝑎) cos (𝑎)
3) cos (𝑎) =1 + cos(2𝑎)
2 sin (𝑎) =1 − cos(2𝑎) 2 Démonstration :
1) cos(2𝑎) = cos(𝑎 + 𝑎) = cos(𝑎) cos(𝑎) − sin(𝑎) sin(𝑎) = cos 𝑎 − sin 𝑎
= cos 𝑎 − (1 − cos 𝑎) = 2 cos 𝑎 − 1
Ou encore cos(2𝑎) = cos 𝑎 − sin 𝑎 = (1 − sin 𝑎) − sin 𝑎 = 1 − 2 sin 𝑎 2) sin(2𝑎) = sin(𝑎 + 𝑎) = sin(𝑎) cos(𝑎) + sin(𝑎) cos(𝑎) = 2 sin(𝑎) cos (𝑎)
3) 2 cos (𝑎) − 1 = cos(2𝑎) ⟹ 2 cos 𝑎 = 1 + cos(2𝑎) ⟹ cos (𝑎) =1 + cos(2𝑎) 2 1 − 2 sin 𝑎 = cos(2𝑎) ⟹ 2 sin 𝑎 = 1 − cos(2𝑎) ⟹ sin (𝑎) =1 − cos(2𝑎)
2 2) Arguments d’un nombre complexe
Définition 4 :
Soit 𝑧 = 𝑎 + i𝑏 un nombre complexe non nul avec 𝑎 et 𝑏 réels. Soit 𝑀 l’image de 𝑧 dans le plan complexe.
On appelle argument de 𝑧 une mesure 𝜃 de l’angle 𝑢⃗; 𝑂𝑀⃗ . On notera arg(𝑧) = 𝜃 = 𝑢⃗; 𝑂𝑀⃗ [2𝜋].
Remarque 2 :
Les coordonnées 𝑟 = |𝑧| et 𝜃 = arg(𝑧)[2𝜋] sont appelées coordonnées polaires de 𝑀.
Théorème - définition 1 :
Soit 𝑧 = 𝑎 + i𝑏 un nombre complexe non nul avec 𝑎 et 𝑏 réels.
Un argument de 𝑧 est un angle 𝜃 exprimé en radian, noté arg(𝑧) tel que : cos 𝜃 = 𝑎
𝑎² + 𝑏²
et sin 𝜃 = 𝑏 𝑎² + 𝑏² Le nombre complexe 𝑧 s’écrit alors sous la forme :
𝑧 = 𝑎² + 𝑏² 𝑎 𝑎² + 𝑏²
+ i 𝑏 𝑎² + 𝑏²
= |𝑧|(cos 𝜃 + i sin 𝜃 ) Cette dernière écriture est appelée écriture trigonométrique du nombre complexe 𝑧.
Démonstration :
On a 𝑢⃗. 𝑂𝑀⃗ = ‖𝑢⃗‖ 𝑂𝑀⃗ cos 𝑢⃗; 𝑂𝑀⃗ = 1 × |𝑧| × cos 𝜃 = |𝑧| × cos 𝜃 Or le repère est orthonormé donc 𝑢⃗. 𝑂𝑀⃗ = 1 × 𝑥 + 0 × 𝑦 = 𝑥 Ainsi 𝑥 = |𝑧| cos 𝜃
De plus 𝑣⃗. 𝑂𝑀⃗ = ‖𝑣⃗‖ 𝑂𝑀⃗ cos 𝑣⃗; 𝑂𝑀⃗ = 1 × |𝑧| × sin 𝑢⃗; 𝑂𝑀⃗ = |𝑧| × sin 𝜃 Or le repère est orthonormé donc 𝑣⃗. 𝑂𝑀⃗ = 0 × 𝑥 + 1 × 𝑦 = 𝑦
Ainsi 𝑦 = |𝑧| sin 𝜃
Exemple 4 : Soit = 1 + i . Exprimer la forme trigonométrique de 𝑧.
Remarque 3 : 𝑧 = −3 cos 𝜋
4 + i sin 𝜋
4 n est pas la forme trigonométrique de 𝑧 car − 3 est négatif ! Propriété 6 : Pour tous nombres complexes 𝑧 et 𝑧’ non nuls :
1) 𝑧 = 𝑧’ ⇔ |𝑧| = |𝑧′|
arg(𝑧) = arg(𝑧 ) + 2𝑘𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ 2) arg(𝑧) = − arg(𝑧) [2𝜋]
3) arg(−𝑧) = arg(𝑧) + 𝜋[2𝜋]
4) arg(𝑧𝑧’) = arg(𝑧) + arg(𝑧 )[2𝜋]
5) Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, arg(𝑧 ) = 𝑛 × arg(𝑧) [2𝜋]
6) arg 1
𝑧 = −arg(𝑧)[2𝜋]
7) arg 𝑧
𝑧 = arg(𝑧) − arg(𝑧 )[2𝜋]
Démonstration :
1) On suppose que 𝑧 = 𝑧’, il est donc clair que |𝑧| = |𝑧′| et arg(𝑧) = arg(𝑧 ) + 2𝑘𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ Réciproquement, on suppose que |𝑧| = |𝑧′| et arg(𝑧) = arg(𝑧 ) + 2𝑘𝜋 avec 𝑘 ∈ ℤ = 𝜃 + 2𝑘𝜋 Alors 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜃 + i sin 𝜃 ) = |𝑧′|(cos 𝜃 + i sin 𝜃 ) = 𝑧′
2) 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜃 + i sin 𝜃 ) donc 𝑧̅ = |𝑧|(cos 𝜃 − i sin 𝜃 ) = |𝑧̅|(cos(−𝜃) + i sin(−𝜃) ) Donc arg(𝑧) = −𝜃[2𝜋] = − arg(𝑧) [2𝜋]
3) 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜃 + i sin 𝜃 ) donc −𝑧 = |𝑧|(− cos 𝜃 − i sin 𝜃 ) = |−𝑧|(cos(𝜃 + 𝜋) + i sin(𝜃 + 𝜋) ) Donc arg(−𝑧) = 𝜃 + 𝜋[2𝜋] = arg(𝑧) + 𝜋 [2𝜋]
4) 𝑧𝑧 = |𝑧|(cos 𝜃 + i sin 𝜃 ) |𝑧 |(cos 𝜃 + i sin 𝜃 )
= |𝑧||𝑧 |(cos 𝜃 cos 𝜃 − sin 𝜃 sin 𝜃 + i(cos 𝜃 sin 𝜃 + sin 𝜃 cos 𝜃 )
= |𝑧||𝑧 |(cos(𝜃 + 𝜃 ) + i sin(𝜃 + 𝜃 ))
(on a reconnu : cos(𝜃 + 𝜃 ) = cos 𝜃 cos 𝜃 − sin 𝜃 sin 𝜃 et sin(𝜃 + 𝜃 ) = cos 𝜃 sin 𝜃 + sin 𝜃 cos 𝜃 ) 5) Par récurrence : l’hérédité se démontre en utilisant le 4).
6) 𝑧 = |𝑧|(cos 𝜃 + i sin 𝜃 ) donc =
| |×
( )=
( ) ( ) =
= (cos 𝜃 − i sin 𝜃) = (cos(−𝜃) + i sin(−𝜃) ) donc arg = −𝜃[2𝜋] = −arg(𝑧)[2𝜋]
7) = 𝑧 × ⟹ arg = arg 𝑧 × [2𝜋] = arg(𝑧) + arg [2𝜋] = arg(𝑧) − arg(𝑧′) [2𝜋]
3) Notation exponentielle
Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ (et à valeurs dans ℂ) par : 𝑓(𝑡) = cos(𝑡) + 𝑖 sin(𝑡)
D’après le 4) de la propriété 6, la fonction 𝑓 vérifie la même équation fonctionnelle que la fonction exponentielle : 𝑓(𝑡 + 𝑡 ) = 𝑓(𝑡) × 𝑓(𝑡 ) ainsi que 𝑓(0) = 1.
( )
Pour tout entier naturel 𝑛, 𝑓(𝑛 × 𝑡) = 𝑓(𝑡) 𝑓(𝑡 − 𝑡 ) = 𝑓(𝑡)
𝑓(𝑡 ) Notation :
Pour tout réel 𝜃, on note e = cos 𝜃 + i sin 𝜃
Définition 5 :
Soit 𝑧 un nombre complexe de module 𝑟 et d’argument 𝜃, alors l’écriture 𝑧 = 𝑟e est appelée notation exponentielle du nombre complexe 𝑧.
Exemple 5 :
−1 = e ; i = e ; 1 + i = √2e Propriété 7 : Pour tous réels 𝜃 et 𝜃’ : 1) e = 1 et arg e = 𝜃[2𝜋]
2) e × e = e( ) 3) e = e = 1
e 4) e
e = e
5) Formule de MOIVRE : Pour tout entier naturel 𝑛, e = e
Remarque 4 : Ce sont des écritures différentes de la propriété 6.
Les formules d’EULER : Pour tout réel 𝜃 : cos 𝜃 = e + e
2 et sin 𝜃 = e − e 𝟐𝒊 Démonstration :
e + e = (cos 𝜃 + i sin 𝜃 ) + (cos(−𝜃) + i sin(−𝜃) ) = cos 𝜃 + i sin 𝜃 + cos 𝜃 − i sin 𝜃 = 2 cos 𝜃 … e − e = (cos 𝜃 + i sin 𝜃 ) − (cos(−𝜃) + i sin(−𝜃) ) = cos 𝜃 + i sin 𝜃 − cos 𝜃 + i sin 𝜃 = 2𝑖 sin 𝜃 …
4) Applications des nombres complexes en géométrie Théorème 1 :
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗, 𝑣⃗).
𝐴, 𝐵 𝐶 et 𝐷 sont quatre points du plan distincts deux à deux d’affixes respectives 𝑧 , 𝑧 , 𝑧 et 𝑧 . 1) 𝐴𝐵 = |𝑧 − 𝑧 |
2) 𝑢⃗, 𝐴𝐵⃗ = arg(𝑧 − 𝑧 ) [2𝜋]
3) 𝐶𝐷
𝐴𝐵 = 𝑧 − 𝑧 𝑧 − 𝑧
4) 𝐴𝐵⃗, 𝐶𝐷⃗ = arg 𝑧 − 𝑧
𝑧 − 𝑧 [2𝜋]
Démonstration :
1) On considère le point 𝑀 d’affixe 𝑧 − 𝑧
On sait déjà que le vecteur 𝐴𝐵⃗ a pour affixe 𝑧 − 𝑧 Ainsi 𝐴𝐵⃗ = 𝑂𝑀⃗ donc 𝐴𝐵 = 𝑂𝑀 = |𝑧 − 𝑧 |
2) De même 𝐴𝐵⃗ = 𝑂𝑀⃗ implique que 𝑢⃗; 𝐴𝐵⃗ = 𝑢⃗; 𝑂𝑀⃗ [2𝜋] = arg(𝑧 − 𝑧 ) [2𝜋]
3) = || ||=
4) 𝐴𝐵⃗, 𝐶𝐷⃗ = 𝐴𝐵⃗, 𝑢⃗ + 𝑢⃗, 𝐶𝐷⃗ [2𝜋] = − 𝑢⃗, 𝐴𝐵⃗ + 𝑢⃗, 𝐶𝐷⃗ [2𝜋] = 𝑢⃗, 𝐶𝐷⃗ − 𝑢⃗, 𝐴𝐵⃗ [2𝜋]
= arg(𝑧 − 𝑧 ) − arg(𝑧 − 𝑧 )[2𝜋] = arg 𝑧 − 𝑧
𝑧 − 𝑧 [2𝜋]
Exercice :
Le plan est rapporté au repère orthonormé direct (𝑂; 𝑢⃗, 𝑣⃗).
Soient 𝐴, 𝐵 𝐶 et 𝐷 quatre points du plan d’affixes respectives 𝑧 , 𝑧 , 𝑧 et 𝑧 définies par : 𝑧 = −2i , 𝑧 = −√3 + i , 𝑧 = √3 + i et 𝑧 = −√3 − i
1) Montrer que 𝐴, 𝐵 𝐶 et 𝐷 sont situés sur un même cercle de centre 𝑂.
2) Montrer de deux façons que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est équilatéral.
3) Déterminer l’ensemble (E) des points 𝑀 d’affixe 𝑧 tels que |𝑧 + 2i| = 𝑧 + √3 − i . Le point 𝐷 appartient-il à (E) ?
