Chapitre 05 – Les nombres complexes Première partie

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Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle

Chapitre 05 – Les nombres complexes

Première partie

Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct

(

Ô;ÄÔI^;ÄÔJ

)

, appelé plan complexe.

Dans tout ce chapitre, a et b désignent des réels.

I. Forme algébrique d’un nombre complexe

1. Forme algébrique d’un nombre complexe. Affixe d’un point du plan.

Définitions :

A tout point M de coordonnées (a;b), on convient d’associer le nombre complexe unique noté zM qui s’écrit zM=a+ib.

Réciproquement, à tout nombre complexe z=a+ib, on convient d’associer dans le plan un point M et un seul de coordonnées (a;b).

L’ensemble de tous les nombres complexes est noté IC.

L’écriture z=a+ib avec a et b réels est appelée forme algébrique de z.

a est la partie réelle de z et on note a=Re(z) b est la partie imaginaire de z et on note b=Im(z)

Cas particuliers :

• Si Im(z)=0, alors z=a+i×0 cad z=a.

Ainsi, tout nombre réel est un nombre complexe (IR┤ CI)

• Si Re(z)=0, alors z=ib. On d it q ue z est imaginaire pur.

Remarques :

• Si zM=a+ib et zM′=a′+ib′ alors : M=M′ñ z_M=z_M′ñ



a=a′

b=b′

• On ne peut pas comparer deux nombres complexes.

Interprétation graphique :

On dit que le point M de coordonnées (a;b) a pour affixe le nombre complexe zM=a+ib.

On dit que le point M est l’image de z_M.

• Si z est un réel, son point image se situe sur l’axe des abscisses (ou axe des réels).

• Si z est un imaginaire pur, son point image se situe sur l’axe des ordonnées (ou axe des imaginaires purs)

2. Affixe d’un vecteur.

Définition :

A tout vecteur Åu de coordonnées

 

 

a

b , on convient d’associer le nombre complexe unique noté zÅu qui s’écrit zÅu=a+ib.

Réciproquement, à tout nombre complexe z=a+ib, on convient d’associer dans le plan le vecteur Åu de coordonnées

 

 

a b .

On dit que zÅu=a+ib est l’affixe du vecteur Åude coordonnées

 

 

a b . Remarque : zÅu=z_Å_v ñ Åu= Åv

z_Å_u=z_Ä_OM=z_M

(2)

3. Opposé d’un nombre complexe.

Définition :

L’opposé du nombre complexe

z=a+ib est le nombre complexe, noté –z égal à –a−ib

• Soit M un point d’affixe z=a+ib.

L’opposé de z, noté –z est l’affixe du point Q(-a;-b), symétrique de M par rapport à l’origine O.

• Soit Åu d’affixe z_Å_u=a+ib . Ainsi Åu a pour coordonnées

 

 

a

b donc –Åu a pour coordonnées

 

 

-a

-b et pour affixe le complexe z- Åu=-a−ib. On retiendra z- Åu=-z_Å_u

II. Règles de calculs dans I C

Somme:

z+z′=(a+ib)+(a′+ib′)=(a+a′)+i(b+b′)

Remarque : z′−z=z′+(-z)

=(a′+ib′)+(-a−ib)=(a′−a)+i(b′−b)

• Soit Åu et Åvdeux vecteurs d’affixes respectifs z_Å_u =z et zÅv =z′.

Alors Åu et Åv ont pour coordonnées respectives

 

 

a b et

 

 

a′

b′ . Donc le vecteur Åu+ Åv a pour coordonnées

 

 

a+a′

b+b′

donc pour affixe zÅu+ Åv=a+a′+i(b+b′). Ainsi z_Å_u+z_Å_v=z_Å_u_{+ Å}_v

• Soit M et N deux points d’affixes respectives zM=z et zN=z′.

Alors M(a;b) et N(a′;b′) donc ÄMN

 

 

a′−a b′−b .

Donc ÄMN a pour affixe zÄMN=(a′−a)+i(b′−b)=a′+ib′−(a+ib).

Ainsi zÄMN=z_N−z_M Produit d’un nombre complexe par un réel k:

kz=k(a+ib)==ka+ikb

• Soit Åu d’affixe zÅu=z Alors Åu a pour coordonnées

 

 

a

b donc kÅu

 

 

ka

kb a pour affixe zkÅu

=ka+ikb. Ainsi z_k_Å_u=kz_Å_u .

• Soit M et P d’affixes respectives z_M=z et zP=kz.

Alors zÄOP=z_P=kz=kz_M=kzÄOM=z_kÄOM d’où ÄOP=kÄOM.

D’où P est l’image de M par l’homothétie de centre O et de rapport k. Produit de deux nombres complexes :

Cas particuliers :

• Produit d’un réel par i:

La multiplication d’un nombre réel par i correspond à une rotation de centre O et d’angle

π 2

Interprétation graphique : Soit P(a;0) d’affixe zP=a Soit Q(0;a) d’affixe z_Q=ia=iz_P Alors OP=OQ et

(

^Ä^OP^;Ä^OQ

)

⁼^π

2 (2π) Donc Q est l’image de P par la rotation r de centre O et d’angle π

2

(3)

• Produit d’un imaginaire pur par i

On convient que la multiplication d’un imaginaire pur par i correspond aussi à une rotation r de centre O et d’angle π

2 Généralisation :

zz′=(a+ib)(a′+ib′)=a a′+iab′+ia’b+i²b b′.

Or i²=-1 donc zz′=a a′−b b′+i(a b′+b a′)

Soit J(0;1) d’affixe z_J=i

Alors K d’affixe z_K=i z_J=i² est l’image de J par la rotation r de centre O et d’angle π

2. Or ce point a pour coordonnées (-1;0) et donc d’affixe -1. Ainsi on obtient i²=-1

Aucune interprétation géométrique Inverse d’un nombre complexe :

Tout nombre complexe z non nul admet un inverse, noté 1

z= 1 a+ib

Aucune interprétation géométrique

Quotient de deux nombres complexes :

Si z est un nombre complexe non nul, on définit le quotient z′

z par z′×1 z

Aucune interprétation géométrique

Conséquences :

Soient A, B et C trois points du plan d’affixes respectives zA, zB et zC.

• Le point I milieu de [AB] est tel que ÄOI=1

2

(

^Ä^OA^+Ä^OB

)

donc a pour affixe z_I=z_A+z_B 2

• G barycentre de (A,α),(B,β),(C,γ) est tel que ÄOG= 1

α+β+γ

(

αÄOA+βÄOB+γÄOC

)

donc a pour affixe z_G=αz_A+βzB+γz_C

α+β+γ

• Méthode pour démontrer que trois points A, B et C d’affixes respectives z_A, zB, zC sont alignés : On considère les vecteurs ÄAC et ÄAB d’affixe zC−zA et zB−zA et en calculant k=zC−zA

zB−zA

, on montre que k☻IR.

On peut en déduire ainsi que zC−zA=k(zB−zA) donc que ÄAC=kÄAB

Ainsi les vecteurs ÄAC et ÄAB sont colinéaires et donc les points A, B et C sont alignés.

Remarque : même méthode pour montrer le parallélisme de deux droites.

III. Conjugué d’un nombre complexe

Définition :

Le conjugué du nombre complexe z=a+ib est le nombre complexe a−ib noté Òz.

Remarques :

• z=z′ñÒz=¯z′

• Le co nj ugué d e Òz est z cad Òz =z

• Soit M d’affixe z=a+ib.

Son symétrique M′ par rapport à l’axe des abscisses a pour affixe le conjugué de z cad Òz=a−ib.

• Les symétriques par rapport à l’axe des abscisses de deux points confondus sont confondus.

• Si M′ est le symétrique de M par rapport à l’axe des abscisses alors le symétrique de M′ est M.

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Opérations sur les nombres conjugués :

Soient z=a+ib et z′=a′+ib′ alors Òz=a−ib.. Soit z′=a′+ib′ donc son conjugué est ¯z′ =a′−ib′.

Ainsi,

• z+Òz=2R e(z). Conséquence : z est imaginaire pur ñR e(z)=0ñ z+Òz=0 ñz=-Òz

• z−Òz=2 iI m(z ). Conséquence : z est réel I m(z)=0ñ z-Òz=0 ñz=Òz

• zÒz=(a+ib) (a−ib)=a²+b². Remarque : zÒz☻IR

• Le co nj ugué d’une so mme est la so mme d es co nj ugués : z+z′ =Òz+¯z′

• Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : zz′ =Òz×¯z′

• Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués : si zý0,

 

 

z′

z =¯z′

Òz

Application du nombre conjugué : obtenir la forme algébrique d’un inverse ou d’un quotient : Pour obtenir la forme algébrique de 1

z ou z′

z , on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué de z (afin de rendre réel le dénominateur)

IV. Equations du second degré dans I C à coefficients réels

Soit l’équation a z²+b z+c=0 d’inconnue complexe z et où a, b et c sont des nombres réels avec a non nul.

Le discriminant de cette équation est le réel ∆=b²−4a c.

• Si ∆>0 alors l’équation admet deux solutions réelles distinctes : z1=-b− ∆

2a et z2=-b+ ∆ 2a .

• Si ∆=0 alors l’équation admet une solution réelle double : z0=- b 2a.

• Si ∆<0 alors l’équation admet deux solutions complexes conjuguées : z1=-b−i -∆

2a et z2=-b+i -∆ 2a

V. Exercices

Pour tous ces exercices, lorsque c’est nécessaire, le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O;I;J) Exercice 1

1. Par lecture graphique, déterminer l’affixe de chacun des points E, F, G, H et K.

2. Pour chaque nombre complexe zK suivant, indiquer sa partie réelle, sa partie imaginaire puis placer son point image MK dans le repère orthonormal direct ci-contre :

z₁=3+2i; z2=-3i;

z₃=3i; z₄=0; z₅=-2−i

Exercice 2

A chaque nombre complexe z s’écrivant x+iy, o ù x et y sont des réels quelconques, on associe le nombre complexe Z=3x−y+i Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que Z soit imaginaire pur. En déduire l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant la condition précédente.

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Exercice 3

1. Mettre sous forme algébrique chaque nombre complexe suivant puis identifier sa partie réelle et sa partie imaginaire : z₁=2+3i−4(3+5i) ; z2=

 

 

1

2−4i −(3−2i) ; z3=(5−i)(7+4i) ; z4=(3−4i)(3+4i) ; z5=(2+3i)² 2. Donner la forme algébrique de 1

i , i³, i⁴ et i³²⁷. 3. Calculer (1+i)⁶ et (1+i)⁸

Exercice 4

1. On donne F(4;0), G(3;-1 ) et H(-2;1 ). Déterminer les affixes des vecteurs ÄOF, ÄOG et ÄOH.

2. On considère les points A, B, C et I de coordonnées respectives (1;-3), (4;5), (-3;2) et (0;10).

(a) Quelles sont les affixes des points A, B et C et des vecteurs ÄAB, ÄAC et ÄBC. (b) Soit D et E les points tels que ÄAD=2ÄAB+ÄAC et 3ÄBE=ÄBC.

Déterminer l’affixe de chacun des points D et E.

(c) Démontrer que A, D et E sont alignés.

(d) Démontrer que (AB) et (CI) sont parallèles.

Exercice 5

Soient A, B, C, A′, B′, C′ d’affixes respectives z_A=1−i, zB=2+3i, zC=3+i, zA′=-1+3i, zB′=3−i et zC′=4+i. 1. Montrer que ÄAA′+ÄBB′+ÄCC′= Å0 .

2. Montrer que les centres de gravité G et G′ des triangles ABC et A′B′C′ sont confondus.

Exercice 6

Méthode : Pour résoudre une équation avec un nombre complexe z et son conjugué Òz, il faut écrire sous forme algébrique z=x+iy (et donc Òz=x−iy) et résoudre alors un système d’équation d’inconnues x et y.

1. Résoudre dans IC l’équation : z²−2Òz+1=0 2. Résoudre dans IC l’équation : 2iz+(1−i)Òz+2=0 Exercice 7

1. Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : z1=-5+i

3+2i ; z2= 1 4−3i 2. Mettre sous forme algébrique le conjugué Òz du complexe z dans chacun des cas suivants :

(a) z=3−4i (b) z= 1

1−i (c) z=3−i

1+i

Exercice 8

Soit f la fonction définie pour zý-3i p ar f(z)=z−1+i

3−iz . On pose z=x+iy où x et y sont réels.

1. Ecrire f(z) sous forme algébrique.

2. *Démontrer alors que l’ensemble des points M d’affixe z tels que f(z) soit réel est un cercle privé d’un point dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 9

Résoudre dans IC les équations suivantes : z²+2z+6=0 ; 9z²−6z+1=0 Exercice 10

1.

(a) Déterminer les réels a, b et c tels que z³−2z²+z−2=(z−2)

(

^{a z}²^{+b z+c}

)

. (b) Résoudre alors dans IC, z³−2z²+z−2=0.

2. Résoudre dans IC l’équation 2z⁴+3z²−2=0 (Aide : poser Z=z²)