L'objet de ce problème est de préciser, pour des nombres complexes a , b , c xés ( a 6= b ), l'ensemble (noté D ) des points du plan dont l'axe complexe appartient à

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Un plan P est muni d'un repère orthonormé. L'axe complexe d'un point est relative à ce repère.

L'objet de ce problème est de préciser, pour des nombres complexes a , b , c xés ( a 6= b ), l'ensemble (noté D ) des points du plan dont l'axe complexe appartient à

a|z

1

|

²

+ b|z

2

|

²

+ cz

₁

z

₂

, (z

₁

, z

₂

) ∈ C

²

tq |z

1

|

²

+ |z

2

|

²

= 1

Partie I. Ellipses.

Dans cette partie, a et b sont des réels tels que 0 < b < a . 1. Soit (x, y, z) ∈ R

³

. Pour c et d réels, on considère l'expression

1 b

²

(x − cz)

²

+ y

²

− 1

b

²

− 1 a

²

(x − dz)

²

.

a. Préciser le coecient de xz et celui de z

²

dans le développement de l'expression au dessus.

b. Déterminer c et d réels positifs tels que, pour tous x , y réels, 1

a

²

x

²

+ 1

b

²

y

²

− 1 = 1

b

²

(x − c)

²

+ y

²

− 1

b

²

− 1 a

²

(x − d)

²

= 1

b

²

(x + c)

²

+ y

²

− 1

b

²

− 1 a

²

(x + d)

²

.

c. Montrer que 0 < c < a < d . On note e =

_a^c

. Vérier que a = ed . 2. Montrer que, pour tout x et y réels,

x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1 ⇔ (x − c)

²

+ y

²

= e

²

(x − d)

²

⇔ (x + c)

²

+ y

²

= e

²

(x + d)

²

. On introduit des points F

₊

et F

₋

respectivement de coordonnées (c, 0) et (−c, 0) . On note E l'ensemble des points dont les cordonnées (x, y) vérient

x

²

a

²

+ y

²

b

²

= 1.

Le tableau suivant dénit le vocabulaire usuel dans ce cadre

ellipse excentricité foyers directrices grand axe petit axe E e =

_a^c

points F et F

⁰

droites d'equ

x = d , x = −d

2a 2b

3. Soit M un point de coordonnées (x, y) . a. Montrer que M ∈ E entraine |x| ≤ a . b. Montrer les équivalences suivantes :

M ∈ E ⇔ M F

+

= e(d − x) ⇔ M F

−

= e(d + x) ⇔ M F

+

+ M F

−

= 2a.

Il est clair que pour tout réel t , le point de coordonnées (a cos t, b sin t) appartient à E . On en déduit le tracé de cette courbe (ellipse).

La gure ?? présente des ellipses de mêmes foyers F et F

⁰

( avec c = 1 ) et de demi-grand-axe a entre 1.05 et 1.25

F

^′

F

Fig. 1: Ellipses homofocales

4. Soit u et v deux nombres complexes avec u 6= 0 et S l'application de P dans P qui à un point M d'axe z associe le point S(M ) d'axe uz + v .

On note E

⁰

l'image de E par S . Préciser les points F

₊⁰

, F

₋⁰

et le réel positif a

⁰

tel que

∀m ∈ P, M ∈ E

⁰

⇔ M F

₊⁰

+ M F

₋⁰

= 2a

⁰

.

Partie II. Cercles.

1. Dans cette question λ > 0 , ρ ∈]0, 1[ et C

ρ

est le cercle déni par : axe du centre : − 1 + 2ρ rayon : λ p

ρ − ρ

²

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Adisqell

(2)

MPSI B 29 juin 2019

Fig. 2: Tracé de quelques C

ρ

pour λ = 1 .

a. Former un équation de C

_ρ

.

b. Montrer que l'ensemble (noté E

λ

) des points du plan par lesquels passe exactement un cercle C

_ρ

est une conique dont on donnera une équation réduite. Préciser le centre, l'axe focal et les foyers.

c. Quel est l'ensemble (noté ∆

_λ

) des points par lesquels passe au moins un cercle C

_ρ

?

2. Soit S la fonction du plan dans lui même qui à un point d'axe z associe le point d'axe

2 a − b z − a + b a − b

a. Montrer que S est bijective. Préciser la bijection réciproque notée S

⁰

. b. Quelle est l'image par S d'un cercle de centre C et de rayon r ?

c. Soit r ∈]0, 1[ , montrer que l'image par S d'un cercle vériant axe du centre : ar

²

+ b(1 − r

²

) rayon : |c|r p

1 − r

²

est un cercle C

ρ

pour des ρ et λ à préciser en fonction de a , b , c . 3. Soit r ∈]0, 1[ xé, montrer que l'ensemble des points d'axe

a|z

1

|

²

+ b|z

2

|

²

+ cz

1

z

2

avec |z

1

|

²

+ |z

2

|

²

= 1 et |z

1

| = r est un cercle. Préciser son centre et son rayon.

4. Montrer que D est l'image par S

⁰

d'un ensemble E

λ

pour un λ à exprimer en fonction de a , b , c . Pour ce λ , quels sont les foyers de S

⁰

(E

λ

) ?

Corrigé

1. a. D'après le cours sur la dénition bifocale des coniques, l'ensemble C est une ellipse de foyers F et F

⁰

. La distance entre le centre et les sommets est le nombre a . b. L'application S est une similitude de rapport |u| et d'angle un argument de u .

Par conséquent, pour deux points A et B quelconques : S(A)S(B) = |u| AB

On en déduit que C

⁰

est l'ensemble des points M vériant S(F )M + S(F

⁰

)M = 2|u|a

C'est à dire l'ellipse de foyers S(F) et S(F

⁰

) et de distance centre-sommets égale à |u|a .

2. a. L'équation de C

ρ

est

(x + 1 − 2ρ)

²

+ y

²

= λ

²

(ρ − ρ

²

)

b. Par un point M de coordonnées x et y passe un cercle C

ρ

lorsque, pour x , y , λ xés, il existe un réel ρ vériant la relation précédente. Réécrivons donc cette relation en l'ordonnant par rapport à ρ :

(4 + λ

²

)ρ

²

− (4x + 4 + λ

²

)ρ + (x + 1)

²

+ y

²

= 0

Par un point M de coordonnées x et y passe un unique cercle C

ρ

lorsque la relation précédente (considérée comme une équation du second degré d'inconnue ρ ) admet une unique solution réelle. Cela se traduit par la nullité du discriminant. Calculons ce discriminant puis formons des conditions équivalentes à sa nullité :

(4x + 4 + λ

²

)

²

− 4(4 + λ

²

)((x + 1)

²

+ y

²

) = 0

⇔ (16 − 4(4 + λ

²

))(x + 1)

²

+ 8λ

²

(x + 1) + λ

⁴

− 4(4 + λ

²

)y

²

= 0

⇔ −4λ

²

x

²

+ 4λ

²

+ λ

⁴

− 4(4 + λ

²

)y

²

= 0

⇔ 4λ

²

x

²

+ 4(4 + λ

²

)y

²

= λ

²

(4 + λ

²

)

⇔ x

²

1 + λ

²

4 + y

²

λ

²

4 = 1

La dernière relation est une équation réduite. L'ensemble E

λ

est donc une ellipse de centre l'origine. L'axe focal est l'axe Ox car le coecient sous le x

²

est plus grand que celui sous le y

²

. On note comme d'habitude

2

(3)

MPSI B 29 juin 2019

a : la distance centre-sommets b : le demi petit axe

c : la distance centre-foyers

On a a

²

= b

²

+ c

²

dans le cas d'une ellipse avec :

a

²

= 1 + λ

²

4 b

²

= λ

²

4 donc c = 1 . Les foyers sont les points de coordonnées (1, 0) et (−1, 0) .

c. L'ensemble ∆

λ

est formé par les points M par lesquels passe au moins un cercle C

λ

. Un point M de coordonnées (x, y) est dans ∆

λ

lorsque l'équation du second degré d'inconnue ρ déjà considérée admet des solutions réelles c'est à dire lorsque le discriminant est positif ou nul. En reprenant les calculs du b., cela se traduit par :

x

²

1 + λ

²

4 + y

²

λ

²

4 ≤ 1

L'ensemble ∆

λ

est donc le disque elliptique dont le bord est E

λ

.

3. a. La bijectivité est évidente (équation du premier degré) la bijection réciproque S

⁰

associe à un point d'axe z le point d'axe

a − b

2 z + a + b 2

b. L'image par S d'un cercle de centre C et de rayon r est un cercle de centre S(C) et de rayon

_|a−b|^2r

.

c. D'après la question précédente, et après calculs, on trouve que l'image du centre est le point de coordonnées

2r

²

+ 1

De même, on trouve que le rayon du cercle image est 2|c|

|a − b| r p 1 − r

²

On en déduit que le cercle image est un cercle C

ρ

pour

ρ = r

²

λ =

2c a − b

4. Soit z

1

et z

2

des nombres complexes tels que

|z

1

| = r |z

1

|

²

+ |z

2

|

²

= 1

Il existe alors des réels ϕ

₁

et ϕ

₂

tels que

z

1

= re

^iϕ¹

z

2

= p

1 − r

²

e

^iϕ²

On peut alors exprimer :

a|z

1

|

²

+ b|z

2

|

²

+ cz

1

z

2

= ar

²

+ b(1 − r

²

) + cr p

1 − r

²

e

^i(ϕ¹^−ϕ²⁾

Pour r xé et ϕ

1

, ϕ

2

variables, les points dont les axes sont ces nombres complexes décrivent un cercle

axe du centre : ar

²

+ b(1 − r

²

) rayon : |c|r p

1 − r

²

5. D'après 4. D est la réunion (pour r entre 0 et 1 ) des cercles de centre ar

²

+ b(1 − r

²

) et de rayon |c|r √

1 − r

²

.

L'image par S d'un tel cercle est un cercle C

_r2

pour λ =

2c a − b

. Comme r

²

décrit ]0, 1[ , S(D) est l'ensemble des points par lesquels passe au moins un cercle C

ρ

. Donc

S(D) = ∆

_λ

avec λ =

2c a − b

Donc

D = S

⁰

(δ

λ

)

Les foyers de S(E

λ

) sont les images par S des points d'axes −1 et 1 c'est à dire les points d'axes a et b .

3