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Déterminer dans le plan complexe l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie l’équation :

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Texte intégral

(1)

PanaMaths

[1 - 2]

Janvier 2010

Déterminer dans le plan complexe l’ensemble des points M dont l’affixe z vérifie l’équation :

( ) 1 + i z − = 2 i 2 ( ) E

Analyse

On peut procéder de diverses façons : soit en travaillant avec la forme algébrique du complexe z, soit en factorisant le complexe

(

1+i z

)

−2i et en tirant parti d’une propriété du module.

Nous développons cette seconde approche … moins calculatoire.

Résolution

On a, le module d’un produit étant égal au produit des modules :

( )

( )

1 2 2

1 2 2

1

1 2 2

1

i z i

i z i i i z i

i + − = ⇔

⎛ ⎞

+ ⎜⎝ − + ⎟⎠ = ⇔

+ × − = +

On a facilement : 1+ =i 12+12 = 2.

Par ailleurs :

( )

( )( )

2 2 1 1

2 1

1 1 1 2

i i

i i

i i i i

− +

= = = +

+ + − .

Il vient alors :

( )

( )

( )

1 2 2

1 2 2

1

2 1 2

1 2

i z i

i z i i

z i

z i

+ − = ⇔ + × − = ⇔

+

− + = ⇔

− + =

En notant A le point d’affixe : a= +1 i, l’égalité précédente équivaut finalement à : AM= 2

L’ensemble cherché est donc le cercle de centre A et de rayon 2 .

(2)

PanaMaths

[2 - 2]

Janvier 2010

Résultat final

Les points du plan complexe dont l’affixe vérifie l’équation

(

1+i z

)

−2i =2

sont les points du cercle de centre A d’affixe 1+i et de rayon 2 .

Références

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