Quel est l’ensemble des pointsM du plan complexe dont l’affixez vérifie :z+ ¯z=|z|? 2

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Exercice 1 Géométrie

1. Quel est l’ensemble des pointsM du plan complexe dont l’affixez vérifie :z+ ¯z=|z|? 2. Soienta,b,ctrois complexes de module1tels quea6=c,b6=c. Montrerargc−b

c−a = 1 2argb

a [π].

3. Démontrer que, pour tous nombres complexes zet z⁰, on a |z+z⁰|²+|z−z⁰|²= 2 |z|²+|z⁰|² . 4. Résoudre|z+ 4−3i|=|z|+ 5.

5. Déterminer les nombres complexesz tels quez, 1

z et1−z aient le même module.

6. Résoudre dansC l’équationz¯=az+b, avecaetbcomplexes, etanon nul.

7. Montre que, si z est réel, alors

z−i z+i

= 1. Réciproquement, si u = e^iθ pour un certain θ réel, peut-on écrireusous la forme précédente avecz réel ? A-t-on ainsi construit une bijection entreR et U?

8. Soitz1etz2deux complexes. Montrer que, si un complexeuvérifieu²=z1z2, alors on a|z1|+|z2|=

^z1+z₂ ² +u

+

^z1+z₂ ² −u .

9. Soit (ABC)un triangle du plan. On note a, b, c les affixes respectives de ses sommets. Montrer que(ABC)est équilatéral si et seulement sia²+b²+c²−ab−bc−ca= 0.

10. Donner une forme algébrique dee^iπ/3 et dee^−iπ/4. Donner une forme algébrique du produit et en déduire les valeurs exactes decos(π/12)et de sin(π/12).

11. Soitz le complexee^2iπ/5. Montrer1 +z+z²+z³+z⁴= 0. En déduirecos ^2π₅

+ cos ^4π₅

=−¹₂ et cos ^2π₅

cos ^4π₅

=−¹₄. Donner la valeur exacte decos ^2π₅ .

12. Soitaun nombre complexe tel que|a|= 1. On notez₁,z₂,. . .,z_n les racines de l’équationzⁿ=a.

Montrer que les points du plan complexe dont les affixes sont (1 +z1)ⁿ,(1 +z2)ⁿ, . . ., (1 +zn)ⁿ sont alignés.

Exercice 2 Équations

1. Résoudre dansCles équations d’inconnuesz:z²=−1,z²+z= 0,z²+z+1 = 0,z²−2 cosθz+1 = 0(pourθ est un réel fixé),z²−2(2 +i)z+ 6 + 8i= 0, z²−e^2iθz+isinθcosθe^2iθ= 0(pourθ est un réel fixé) et16(z−1)²+ (z+ 1)²= 0.

2. Déterminer les racines carrées du nombre complexe :−7 + 24i.

3. Résoudre dans C l’équation z⁴+ 1 = 0. En déduire une factorisation du polynôme X⁴+ 1 en produit de deux polynômes à coefficients réels.

4. On considère l’équation z²−(2 +iα)z+iα+ 2−α= 0, avec α ∈ C. Montrer qu’il existe une valeur de αpour laquelle les deux racines de l’équation sont complexes conjuguées. Calculer alors les solutions.

5. Déterminer les racines cinquièmes complexes de (−1 +i√ 3)⁴ (1−i)³ .

6. Soitnun entier naturel non nul, résoudre surCl’équation d’inconnuez:

1 +iz n

ⁿ

=

1−iz n

ⁿ .

7. Soitn∈N^∗, résoudre dansCr{i}l’équation z+i

z−i n

+ z+i

z−i n−1

+. . .+ z+i

z−i

+ 1 = 0.

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Exercice 3 Inéquations

1. Démontrer que, pour tous nombres complexesuet v,|u|+|v| ≤ |u+v|+|u−v|. Déterminer les couples (u, v)qui correspondent au cas où il y a égalité.

2. Montrer : ∀z∈C, |z|<¹₂ ⇒ |(1 +i)z³+iz|<³₄.

3. Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe, d’affixe z, tels que le nombre complexe z+ 1−2i

z+ 2 +i soit un nombre réel négatif.

4. Soit f l’application définie de C dans C parf(z) =z(1−z). Soit D ={z ∈ C / |z− 1 2| ≤ 1

2}.

Montrer queD est stable parf (i.e.∀z∈D, f(z)∈D).

5. Soientaetbdes nombres complexes etrun nombre réel strictement positif. Déterminer, s’il existe, le plus grand élément de l’ensemble{|az+b|, |z| ≤r}.

Exercice 4 Porisme de Jacob Steiner (*)

1. Montrer que l’équation du cercle Γa,R, de centre A(a) et de rayon R est donnée, en termes de nombres complexes, par

z¯z−2Re(¯az) +|a|²−R²= 0. 2. SoitM(z)un point du plan, montrer que le pointP(z⁰)vérifiant

(a) P(z⁰)est situé sur la demi-droite issue de A(a)passant par M(z); (b) le produit des distancesAM etAP est égal àR².

est donné par la formulez⁰ =a+ R²

¯

z−a¯. On notei_A,R(z)le complexez⁰.

3. Montrer que la transformationiA,R transforme un cercle de centreAen un autre cercle de centre A que l’on précisera.

4. Montrer que la transformation iA,R transforme un cercle ne passant pas par A en un autre tel cercle, dont on précisera le centre.

5. Si on se donne deux cercles Γ = ΓB,r etΓ⁰= ΓC,r⁰ tels queΓ⁰ soit inclus strictement dansΓ.

(a) Montrer que l’on aBC < r−r⁰.

(b) Montrer que l’on peut choisir A et R de sorte que les images de ces deux cercles par iA,R

soient des cercles concentriques.

(c) On se donne Γ1 un cercle tangent aux deux cercles (intérieurement à Γ et extérieurement à Γ⁰), etΓ2 un cercle tangent aux trois cerclesΓ,Γ⁰ etΓ1. Faire une figure.

(d) On construit maintenantΓ3 tangent àΓ,Γ⁰ etΓ2, mais distinct deΓ1. Montrer qu’un telΓ3

est unique.

(e) Plus généralement étant donné, pourn entier, un cercle Γn, on construit Γn+1 tangent à Γ, Γ⁰ etΓn.

i. Montrer que, si Γ et Γ⁰ sont concentriques, une telle chaîne de cercles se referme (i.e. il existe un entier n > 1 tel que Γn = Γ1) indépendamment du choix de Γ1. On appelle cette situation un porisme.

ii. Montrer que le porisme est valide même siΓet Γ⁰ ne sont pas concentriques, grâce à un choix judicieux de transformationiA,R.

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