Partie I. Ellipses.

(1)

MPSI B 24 avril 2020

Énoncé

Un planP est muni d'un repère orthonormé. L'axe complexe d'un point est relative à ce repère.

L'objet de ce problème est de préciser, pour des nombres complexesa, b, c xés (a6=b), l'ensemble (notéD) des points du plan dont l'axe complexe appartient à

a|z1|²+b|z2|²+cz₁z₂,(z₁, z₂)∈C² tq|z1|²+|z2|²= 1

Partie I. Ellipses.

Dans cette partie,aetb sont des réels tels que0< b < a. 1. Soit(x, y, z)∈R³. Pour cet dréels, on considère l'expression

1

b² (x−cz)²+y²

− 1

b² − 1 a²

(x−dz)².

a. Préciser le coecient dexz et celui dez² dans le développement de l'expression au dessus.

b. Déterminercetdréels positifs tels que, pour tousx,y réels, 1

a²x²+ 1

b²y²−1 = 1

b² (x−c)²+y²

− 1

b² − 1 a²

(x−d)²

= 1

b² (x+c)²+y²

− 1

b² − 1 a²

(x+d)².

c. Montrer que0< c < a < d. On notee=_a^c. Vérier quea=ed. 2. Montrer que, pour toutxet y réels,

x² a² +y²

b² = 1⇔(x−c)²+y²=e²(x−d)²⇔(x+c)²+y²=e²(x+d)². On introduit des pointsF₊ et F₋ respectivement de coordonnées(c,0)et(−c,0). On noteE l'ensemble des points dont les cordonnées (x, y)vérient

x² a² +y²

b² = 1.

Le tableau suivant dénit le vocabulaire usuel dans ce cadre

ellipse excentricité foyers directrices grand axe petit axe E e=_a^c pointsF et F⁰ droites d'equ

x=d, x=−d

2a 2b

3. SoitM un point de coordonnées(x, y). a. Montrer queM ∈ E entraine|x| ≤a. b. Montrer les équivalences suivantes :

M ∈ E ⇔M F+=e(d−x)⇔M F−=e(d+x)⇔M F++M F− = 2a.

Il est clair que pour tout réelt, le point de coordonnées (acost, bsint)appartient à E. On en déduit le tracé de cette courbe (ellipse).

La gure1présente des ellipses de mêmes foyersF etF⁰ ( avecc= 1) et de demi-grand-axe aentre 1.05 et 1.25

F

^′

F

Fig. 1: Ellipses homofocales

4. Soituetv deux nombres complexes avec u6= 0et S l'application deP dansP qui à un pointM d'axez associe le pointS(M)d'axeuz+v.

On noteE⁰ l'image de E parS. Préciser les pointsF₊⁰,F₋⁰ et le réel positif a⁰ tel que

∀m∈ P, M ∈ E⁰⇔M F₊⁰ +M F₋⁰ = 2a⁰.

Partie II. Cercles.

1. Dans cette questionλ >0,ρ∈]0,1[etCρ est le cercle déni par : axe du centre : −1 + 2ρ rayon : λp

ρ−ρ².

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai Adisqell

(2)

Fig. 2: Tracé de quelquesCρ pourλ= 1.

a. Former un équation deC_ρ.

b. Montrer que l'ensemble (notéEλ) des points du plan par lesquels passe exactement un cercle C_ρ est une conique dont on donnera une équation réduite. Préciser le centre, l'axe focal et les foyers.

c. Quel est l'ensemble (noté∆_λ)des points par lesquels passe au moins un cercle C_ρ?

2. Soit S la fonction du plan dans lui même qui à un point d'axe z associe le point d'axe

2

a−bz−a+b a−b

a. Montrer queS est bijective. Préciser la bijection réciproque notéeS⁰. b. Quelle est l'image parS d'un cercle de centreCet de rayon r?

c. Soitr∈]0,1[, montrer que l'image parS d'un cercle vériant axe du centre :ar²+b(1−r²) rayon :|c|rp

1−r² est un cercleCρ pour desρetλà préciser en fonction dea,b,c. 3. Soitr∈]0,1[xé, montrer que l'ensemble des points d'axe

a|z1|²+b|z2|²+cz1z2 avec |z1|²+|z2|²= 1 et |z1|=r est un cercle. Préciser son centre et son rayon.

4. Montrer queDest l'image parS⁰ d'un ensembleEλ pour unλà exprimer en fonction dea,b,c. Pour ceλ, quels sont les foyers deS⁰(Eλ)?

Corrigé

1. a. D'après le cours sur la dénition bifocale des coniques, l'ensembleCest une ellipse de foyersF etF⁰. La distance entre le centre et les sommets est le nombrea. b. L'applicationS est une similitude de rapport |u| et d'angle un argument deu.

Par conséquent, pour deux pointsAetB quelconques : S(A)S(B) =|u|AB

On en déduit queC⁰ est l'ensemble des pointsM vériant S(F)M +S(F⁰)M = 2|u|a

C'est à dire l'ellipse de foyersS(F)etS(F⁰)et de distance centre-sommets égale à|u|a.

2. a. L'équation deCρ est

(x+ 1−2ρ)²+y²=λ²(ρ−ρ²)

b. Par un point M de coordonnées x et y passe un cercle Cρ lorsque, pour x, y, λxés, il existe un réelρvériant la relation précédente. Réécrivons donc cette relation en l'ordonnant par rapport àρ:

(4 +λ²)ρ²−(4x+ 4 +λ²)ρ+ (x+ 1)²+y²= 0

Par un pointMde coordonnéesxetypasse un unique cercleCρlorsque la relation précédente (considérée comme une équation du second degré d'inconnueρ) admet une unique solution réelle. Cela se traduit par la nullité du discriminant. Calculons ce discriminant puis formons des conditions équivalentes à sa nullité :

(4x+ 4 +λ²)²−4(4 +λ²)((x+ 1)²+y²) = 0

⇔(16−4(4 +λ²))(x+ 1)²+ 8λ²(x+ 1) +λ⁴−4(4 +λ²)y²= 0

⇔ −4λ²x²+ 4λ²+λ⁴−4(4 +λ²)y²= 0

⇔ 4λ²x²+ 4(4 +λ²)y²=λ²(4 +λ²)

⇔ x² 1 + λ²

4 + y²

λ² 4

= 1

La dernière relation est une équation réduite. L'ensembleEλ est donc une ellipse de centre l'origine. L'axe focal est l'axe Ox car le coecient sous lex² est plus grand que celui sous ley². On note comme d'habitude

(3)

a : la distance centre-sommets b : le demi petit axe

c : la distance centre-foyers

On aa²=b²+c²dans le cas d'une ellipse avec :

a²= 1 +λ²

4 b²=λ²

4

doncc= 1. Les foyers sont les points de coordonnées (1,0)et(−1,0).

c. L'ensemble∆λ est formé par les pointsM par lesquels passe au moins un cercle Cλ. Un point M de coordonnées(x, y)est dans∆λ lorsque l'équation du second degré d'inconnueρdéjà considérée admet des solutions réelles c'est à dire lorsque le discriminant est positif ou nul. En reprenant les calculs du b., cela se traduit par :

x² 1 + λ²

4 + y²

λ² 4

≤1

L'ensemble∆λ est donc le disque elliptique dont le bord estEλ.

3. a. La bijectivité est évidente (équation du premier degré) la bijection réciproqueS⁰ associe à un point d'axez le point d'axe

a−b

2 z+a+b 2

b. L'image parSd'un cercle de centreC et de rayonrest un cercle de centreS(C) et de rayon _|a−b|^2r .

c. D'après la question précédente, et après calculs, on trouve que l'image du centre est le point de coordonnées

2r²+ 1

De même, on trouve que le rayon du cercle image est 2|c|

|a−b|rp 1−r²

On en déduit que le cercle image est un cercleCρ pour

ρ=r² λ=

2c a−b

4. Soitz1 et z2des nombres complexes tels que

|z1|=r |z1|²+|z2|²= 1

Il existe alors des réelsϕ₁ etϕ₂tels que

z1=re^iϕ¹ z2=p

1−r²e^iϕ²

On peut alors exprimer :

a|z1|²+b|z2|²+cz1z2=ar²+b(1−r²) +crp

1−r²e^i(ϕ¹^−ϕ²⁾

Pourr xé etϕ1,ϕ2 variables, les points dont les axes sont ces nombres complexes décrivent un cercle

axe du centre:ar²+b(1−r²) rayon:|c|rp

1−r²

5. D'après 4.Dest la réunion (pour rentre0 et1) des cercles de centrear²+b(1−r²) et de rayon|c|r√

1−r².

L'image par S d'un tel cercle est un cercle C_r2 pour λ =

2c a−b

. Comme r² décrit ]0,1[,S(D)est l'ensemble des points par lesquels passe au moins un cercle Cρ. Donc

S(D) = ∆_λavecλ=

2c a−b

Donc

D=S⁰(δλ)

Les foyers deS(Eλ)sont les images parS des points d'axes −1 et 1c'est à dire les points d'axesaet b.