Forme algébrique

Chapitre 1 - TD1 Complexes

Fiche méthodes

Forme algébrique

Dénition1: Forme algébrique

L'ériture

x +

ⁱ

y

^{estappellée forme algébrique duomplexe}

z

^.

x

^{s'appellela partie réelle et estnotéRe}

(z)

^.

y

^{s'appellela partie imaginaire et estnotéeIm}

(z)

^{.C'est unnombre réel.}

z = a − b

^{iestle onjugué de}

z

^{.Ilsertàmettresousforme algébrique desfrations.}

Caluls sur les formesalgébriques :

Les règlesde aluls (addition, dévellopement, fatorisation)valables pourles nombresréels sont aussi

valablespourlesnombresomplexes.

Exerie1: Ondonne

z ₁ = − 2 + 3

^iet

z ₂ = 4 −

^i.

Ériresousformealgébrique:

1

^.

z 1 + z 2

^;

2

^.

2z 1

^;

3

^.

z 1 × z 2

^.

Solution1:

1

^.

z 1 + z 2 = ( − 2 + 3

ⁱ

) + (4 −

ⁱ

) = − 2 + 4 +

ⁱ

(3 − 1) = 2 + 2

^i;

2

^.

2z 1 = 2( − 2 + 3

ⁱ

) = − 4 + 6

^i;

3

^.

z 1 × z 2 = ( − 2 + 3

ⁱ

)(4 −

ⁱ

) = − 8 + 2

ⁱ

+ 12

ⁱ

−

ⁱ

² = − 8 + 14

ⁱ

− ( − 1) = − 7 + 14

^i.

Mise sousforme algébriquede frations :

Onmultiplienumérateuretdénominateurparleonjuguédudénominateur.

Exerie2: Mettresousformealgébriquelesnombres

z ₃ = 2

3 +

^{i et}

z ₄ = 1 + 2

ⁱ

5 − 6

^i.

Solution2:

z 3 = 2

3 +

ⁱ

= 2(3 −

ⁱ

)

(3 +

ⁱ

)(3 −

ⁱ

) = 6 − 2

ⁱ

9 −

ⁱ

² = 6 − 2

ⁱ

10 = 3

5 − 1 5

^i.

z 4 = 1 + 2

ⁱ

5 − 6

ⁱ

= (1 + 2

ⁱ

)(5 + 6

ⁱ

)

(5 − 6

ⁱ

)(5 + 6

ⁱ

) = 5 + 6

ⁱ

+ 10

ⁱ

+ 12

ⁱ

²

5 ² − (6

ⁱ

) ² = 5 + 16

ⁱ

− 12

25 − 36( − 1) = − 7 + 16

ⁱ

61 .

Forme trigonométrique – Forme exponentielle

Dénition2: forme trigonométrique exponentielle

onappelle module de

z

^{lenombreréel}

p

x ² + y ²

^.Onlenote

| z |

^ou

r

. Ils'agitde la longueurdusegment OM.

Onappelle argument de

z

^{une mesurede l'angleentre}

− → Ox

^et

− − →

OM

^.

Onlenotesouvent

θ

.

L'ériture

[r ; θ] = r(cos θ +

ⁱ

sin θ)

^{estappelléeforme} trigonométrique.

L'ériture

r

^ei

^θ

^{est appelléeforme} exponentielle.

Caluls sur les formestrigonométriques exponentielles:

Lorsquel'onmultipliedeux nombresomplexes,onmultiplielesmodulesetadditionnelesarguments.

Leonjuguéde

z

^{àmêmemodule maisunargumentopposéà}

z

^.

Exerie3: Soit

z = 3

^ei

^{3π 4}

^et

z ^′ = 7

^ei

⁻

2π 3

.

Donnerlesformesexponentiellesde

zz ^′

^;

_z ^z _′

^;

¹ _z ; z; z ⁸

Solution3:

zz ^′ = 3 × 7e

i ( 3π 4 + − 2π

3 )

= 21

^ei

^{12 π}

^.

z

z ^′ = 3 7 e

i ( 3π 4 − − 2π

3 )

= 3 7

^e

i

17π 12

.

1 z = 1

3

^e

i

− 3π 4

.

z =

^ei

^{− 4 3π}

^.

z ⁸ =

3

^ei

^{3π 4} 8

= 3 ⁸

^ei

3 × 8π

4 = 3 ⁸

^ei

^6π = 3 ⁸

Passage forme algébrique – forme exponentielle

0 ^→ u

→ v

r = p x ² + y ² M (z)

θ

x = r cos θ y = r sin θ

Formeexponentielle

z = [ r ; θ ] = r

e i

θ

=> Forme algébrique

z = a +

ⁱ

b

Exerie4: Donnerlaformealgébriquedunombreomplexe

z ₅

^demodule

2

^etd'argument

^π ₃

^.

Solution4:

x = r cos θ = 2 cos( π 3 ) = 1 y = r sin θ = 2 sin( π

3 ) = √ 3







don

z = x +

ⁱ

y = 1 +

ⁱ

√ 3

^.

Formealgébrique

z = a +

ⁱ

b

=>Formeexponentielle

z = [ r ; θ ] = r

e i

θ

Exerie5: Mettresousformeexponentiellelenombreomplexe

z ₃ = 1 −

ⁱ

√ 3

^.

Solution5:

Caluldumodule:

| z 3 | = p

a ² + b ² = q

(1) ² + ( − √ 3) ² = √

1 + 3 = 2

Caluld'un argument:

cos θ = a

| z | = 1 2 sin θ = b

| z | = − √ 3 2



 



 



− π 3 1 2

− √ 3 2

don

θ = − π 3

Conlusion:

z ₃ = [2; − π 3 ] = 2

^ei

⁻

π 3

Les lignestrigonométriques remarquables:

0 π 6 π 4 π 3 π

2

5π 6

3π 4

2π 3

− π

7π 6

5π 4

4π

3 3π

2

11π 6

7π 4 5π

3

1 2

√ 2 2

√ 3

0 2

− ¹

− 2

√ 2

− 2

√ 3 2

1 2

√ 2 2

√ 3 2

− ¹

2

−

√ 2 2

−

√ 3

2