Seconde 1 Module : différentes formes d'une fonction. Page n ° 1 2007 2008
Lorsque nous avons une expression d'une fonction, selon le calcul demandé ou bien selon l'équation à résoudre, il convient de choisir la forme la plus adaptée à l'énoncé de la consigne.
1 Connaître les trois formes possibles d'une fonction.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x² + 6x − 16.
Cette première forme algébrique de f s'appelle la forme développée.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 8 ).
Cette deuxième forme algébrique de f s'appelle la forme factorisée.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( x + 3 )² − 25.
Cette troisième forme algébrique de f s'appelle la forme différence de deux carrés.
E1 Savoir démontrer que les trois formes d'une fonction sont égales.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( x + 3 )² − 25.
Développer f ( x ).
Factoriser f ( x ).
2 Comprendre les avantages de la forme développée.
La première forme algébrique de f s'appelle la forme développée.
C'est la forme la plus adaptée pour calculer l'image de 0 ou bien pour calculer 5.
C'est aussi la forme la plus adaptée pour trouver les antécédents de -16.
E2 Quand et pourquoi choisit - on la forme développée ? Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = x² + 6x − 16.
Expliquer pourquoi la forme développée est la plus appropriée pour calculer l'image de 0. Faire le calcul.
Expliquer pourquoi la forme développée est la plus adaptée pour calculer l'image de 5. Faire le calcul.
Expliquer pourquoi la forme développée est la plus adaptée pour calculer les antécédents de -16. Faire le calcul.
3 Comprendre les avantages de la forme factorisée.
La deuxième forme algébrique de f s'appelle la forme factorisée.
C'est la forme la plus adaptée pour calculer l'image de 2 ou de - 8.
C'est aussi la forme la plus adaptée pour calculer les antécédents de 0.
Seconde 1 Module : différentes formes d'une fonction. Page n ° 2 2007 2008
E3 Quand et pourquoi choisit -on la forme factorisée ? Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( x − 2 ) ( x + 8 ).
Expliquer pourquoi la forme factorisée est la plus adaptée pour calculer l'image de 2 ou de - 8. Faire les calculs.
Expliquer pourquoi la forme factorisée est la plus adaptée pour calculer les antécédents de 0. Faire le calcul.
4 Comprendre les avantages de la forme différence de deux carrés.
La troisième forme algébrique de f s'appelle la forme différence de deux carrés.
C'est la forme la plus adaptée pour calculer l'image de -3.
C'est la forme la plus adaptée pour calculer l'antécédent de -25.
E4 Quand et pourquoi choisit -on la forme différence de deux carrés ? Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( x + 3 )² − 25.
Expliquer pourquoi la forme différence de deux carrés est la plus adaptée pour calculer l'image de - 3. Faire le calcul.
Expliquer pourquoi la forme différence de deux carrés est la plus adaptée pour calculer les antécédents de - 25.
E5 Exercices de contrôles.
A ) Soit A la fonction donnée par l'expression algébrique : A ( x ) = ( x² − 1 ) − ( x + 1 ) ( 3x + 4 ).
Cette première forme de A est appelée forme initiale de A ( x ).
1 ) Ecrire A ( x ) sous forme développée.
2 ) a ) Ecrire A ( x ) sous forme factorisée.
b ) Vérifier que la forme factorisée est égale à la forme développée.
3 ) a ) Calculer A ( 0 ) ; A ( - 2,5 ) et A ( 3 ).
b ) Résoudre les équations suivantes : A ( x ) = 0 et A ( x ) = -5.
B ) Soit B la fonction donnée par l'expression algébrique : B ( x ) = ( x − 4 ) ( 2x + 1 ) + ( x² − 8x + 16 ).
Cette première forme de B est appelée forme initiale de B ( x ).
1 ) Ecrire B ( x ) sous forme développée.
2 ) a ) Ecrire B ( x ) sous forme factorisée.
b ) Vérifier que la forme factorisée est égale à la forme développée.
3 ) a ) Déterminer les images des nombres 0 ; 1 et 2 par la fonction B.
b ) Déterminer les éventuels antécédents de 0 et 12 par la fonction B.
C ) Soit f la fonction donnée par l'expression algébrique : f ( x ) = ( x + 2 )² − ( 3x − 1 )².
1 ) Ecrire f ( x ) sous forme développée.
2 ) a ) Ecrire f ( x ) sous forme factorisée.
b ) Vérifier que la forme factorisée est égale à la forme développée.
3 ) a ) Déterminer l'image par f de 0 et de - 1 4 . b ) Calculer f ( 3 ).
c ) Déterminer les éventuels antécédents par f de 3.
d ) Résoudre l'équation f ( x ) = 0.
