Seconde 1 Exercices sur le module : E4 et E5. page n ° 1 2007 2008
E4 Quand et pourquoi choisit -on la forme différence de deux carrés ? Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = ( x + 3 )² − 25.
Expliquons pourquoi la forme différence de deux carrés est la plus adaptée pour calculer l'image de - 3.
Expliquons pourquoi la forme différence de deux carrés est la plus adaptée pour calculer les antécédents de - 25.
Pour calculer l'image de -3 par f, la forme différence de deux carrés est la plus adaptée car le premier terme est nul. f ( - 3 ) = ( - 3 + 3 )² - 25 = 0² - 25 = - 25.Ainsi l'image de - 3 par f est égale à -25.
Pour résoudre l'équation f ( x ) = -25, la forme différence des deux carrées est la plus adaptée car les termes constants s'annulent.
f ( x ) = - 25 ⇔ ( x + 3 )² = 0 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = - 3. L'ensemble des solutions est { - 3 }.
E5 Exercices de contrôles.
A ) Soit A la fonction donnée par l'expression algébrique : A ( x ) = ( x² − 1 ) − ( x + 1 ) ( 3x + 4 ).
Cette première forme de A est appelée forme initiale de A ( x ).
1 ) Ecrire A ( x ) sous forme développée.
A ( x ) = x² − 1 − ( 3x² + 4x + 3x + 4 ) = x² − 1 − 3x² − 7x − 4 = -2x² − 7x − 5.
2 ) a ) Ecrire A ( x ) sous forme factorisée.
A ( x ) = ( x − 1 ) ( x + 1 ) − ( x + 1 ) ( 3x + 4 ) = ( x + 1 ) ( x − 1 − 3x − 4 ) = ( x + 1 ) ( -2x − 5 ).
b ) Vérifier que la forme factorisée est égale à la forme développée.
A ( x ) = -2x² − 5x − 2x − 5 = -2x² − 7x − 7.
3 ) a ) Calculs
A ( 0 ) = - 2 × 0² − 7 × 0 − 5 = - 5
A ( - 2,5 ) = ( -2,5 + 1 ) ( - 2 × ( -2,5 ) − 5 ) = -1,5 × 0 = 0.
A ( 3 ) = - 2 × 3 − 7 3 − 5 = - 11 − 7 3 b ) Résoudre les équations suivantes
A ( x ) = 0 ⇔ ( x + 1 ) ( -2x − 5 ) = 0 ⇔ x = - 1 ou -2x = 5 ⇔ x = - 1 ou x = -2,5.
L'ensemble des solutions est { - 1 ; -2,5 }.
A ( x ) = -5 ⇔ -2x² − 7x − 5 = - 5 ⇔ -2x² − 7x = 0 ⇔ -x ( 2x + 7 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x = -3,5.
L'ensemble des solutions est { -3,5 ; 0 }.
Seconde 1 Exercices sur le module : E4 et E5. page n ° 2 2007 2008
B ) Soit B la fonction donnée par l'expression algébrique : B ( x ) = ( x − 4 ) ( 2x + 1 ) + ( x² − 8x + 16 ).
Cette première forme de B est appelée forme initiale de B ( x ).
1 ) Ecrire B ( x ) sous forme développée.
B ( x ) = 2x² + x − 8x − 4 + x² − 8x + 16 = 3x² − 15x + 12.
2 ) a ) Ecrire B ( x ) sous forme factorisée.
B ( x ) = ( x − 4 ) ( 2x + 1 ) + ( x − 4 )² = ( x − 4 ) ( 2x + 1 + x − 4 ) = ( x − 4 ) ( 3x − 3 ).
b ) Vérifier que la forme factorisée est égale à la forme développée.
( x − 4 ) ( 3x − 3 ) = 3x² − 3x − 12x + 12 = 3x² − 15x + 12.
3 ) a ) Déterminer les images des nombres 0 ; 1
3 et 2 par la fonction B.
B ( 0 ) = 3 ( 0 )² − 15 × 0 + 12 = 12. L'image de 0 par B est égale à 12.
B ( 1 ) = ( 1 − 4 ) ( 3 − 3 ) = 0. L'image de 1 par B est égale à 0.
B ( 2 ) = 3 ( 2 )² − 15 2 + 12 = 6 + 12 − 15 2 = 18 − 15 2.
L'image de 2 par la fonction B est égale à 18 − 15 2.
b ) Déterminer les éventuels antécédents de 0 et 12 par la fonction B.
cherchons x tel que B ( x ) = 0.
B ( x ) = 0 ⇔ ( x − 4 ) ( 3x − 3 ) = 0 ⇔ x = 4 ou x = 1. Les antécédents de 0 par la fonction B sont 1 et 4.
Cherchons x tel que B ( x ) = 12.
B ( x ) = 12 ⇔ 3x² − 15x + 12 = 12 ⇔ 3x² − 15x = 0 ⇔ 3x ( x − 5 ) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 5.
Les antécédents de 12 par la fonction B sont 0 et 5.
Seconde 1 Exercices sur le module : E4 et E5. page n ° 3 2007 2008
C ) Soit f la fonction donnée par l'expression algébrique : f ( x ) = ( x + 2 )² − ( 3x − 1 )².
1 ) f ( x ) = ( x + 2 )² − ( 3x − 1 )² = x² + 4x + 4 − ( 9x² − 6x + 1 ) = x² + 4x + 4 − 9x² + 6x − 1 = -8x² + 10x + 3 2 ) a ) f ( x ) = ( x + 2 )² − ( 3x − 1 )² = ( x + 2 − 3x + 1 ) ( x + 2 + 3x − 1 ) = ( -2x + 3 ) ( 4x + 1 )
2 ) b ) ( -2x + 3 ) ( 4x + 1 ) = -8x² − 2x + 12x + 3 = -8x² + 10x + 3.
Donc la forme factorisée est égale à la forme développée.
3 ) a ) L'image par f de 0 est le nombre f ( 0 ).
f ( 0 ) = -8 × 0² + 10 × 0 + 3 = 3.
L'image de - 1
4 par f est le nombre f ( - 1 4 ).
f ( - 1
4 ) = ( - 2 × ( - 1
4 ) + 3 ) ( 4 × ( - 1
4 ) + 1 ) = ( 1
2 + 3 ) ( 0 ) = 0.
b ) L'image de 3 par f est le nombre f ( 3 ) .
f ( 3 ) = - 8 × ( 3 )² + 10 3 + 3 = - 8 × 3 + 3 + 10 3 = -21+ 10 3.
c ) Les éventuels antécédents par f de 3 sont les nombres x solutions de l'équation f ( x ) = 3.
f ( x ) = 3 ⇔ -8x² + 10x + 3 = 3 ⇔ -8x² + 10x = 0 ⇔ x ( 10 − 8x ) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 10 8 = 5
4 Les antécédents par f de 3 sont 0 et 5
4 .
d ) f ( x ) = 0 ⇔ ( -2x + 3 ) ( 4x + 1 ) = 0 ⇔ ( -2x + 3 ) = 0 ou ( 4x + 1 ) = 0 ⇔ x = 3
2 ou x = - 1 4 . L'ensemble des solutions est { 3
2 ; - 1 4 }.