Un théorème de Gauss nous enseigne que tout nombre qui n'est pas de la forme 4n(8k+7) est somme d'au plus 3 carrés non nuls

A569 – Des centaines mais pas des milliers Problème proposé par Michel Lafond

Combien y a-t-il d'entiers naturels ≥ 0 qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme a² + b²+ c²+ 2015 d² ? (a, b, c, d entiers naturels)

Nous comprendrons a, b, c, d entiers naturels ≥ 0. Nous appellerons "rétifs" les nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme a² + b² + c² + 2015 d², en distinguant, le cas échéant,

"rétif avec d = 0" (terme équivalent : "rétif à 3 termes") de "rétif avec d = 1", etc.

Un théorème de Gauss nous enseigne que tout nombre qui n'est pas de la forme 4ⁿ(8k+7) est somme d'au plus 3 carrés non nuls.

1. les entiers de 0 à 2014 On a alors nécessairement d = 0.

Les nombres N rétifs < 2015 se composent :

a) des nombres non multiples de 4 et égaux à 7 mod.8, soit : 7, 15, 23… 2007, soit 251 nombres,

b) des nombres (a) multipliés par 4 et < 2015 soit : 28, 60, 92… 2012, soit 63 nombres, c) des nombres (a) multipliés par 16 et < 2015 soit : 112, 240, 368… 1904, soit 15

nombres,

d) des nombres (a) multipliés par 64 et < 2015 soit : 448 à 1984, soit 4 nombres, e) du seul nombre (a) multiplié par 256 et < 2015 soit : 1792.

Soit, au total, 334 nombres "rétifs" entre 0 et 2014.

2. les entiers ≥ 2015

Montrons tout d'abord que, pour N > 8060 (d peut alors être >2), il n'y a aucun nombre rétif.

Le théorème de Gauss peut en effet se reformuler en disant que tout entier N est somme de trois carrés si le reste de la division de n par 8 est égal à 1,2,3,5,6.

En effet :

- si ce reste est 7, n = 0 et N = 8k+7

- si ce reste est 4, N peut être de la forme 8k+7 avec n = 1 (ex. N = 28 = 4 × 7) - si ce reste est 0, N peut être de la forme 8k+7 avec n ≥ 2 (ex. N = 112 = 4² × 7).

Pour N >8060, donc, si l'on calcule les restes des divisions de N, N – 2015 et N – 8060 par 8, on est certain d'obtenir pour reste l'un des cinq nombres 1,2,3,5,6.

En effet :

- si le reste de la division de N par 8 est 4, alors le reste de la division de N – 2015 est 5, - si ce reste est 7, alors le reste de la division de N – 8060 est 3,

- si ce reste est 0, alors le reste de la division de N – 2015 est 1.

La recherche des nombres rétifs > 2015 se limite donc à l'intervalle 2015, 8060.

Dans cet intervalle, d ne peut être égal qu'à 1 et nous cherchons par conséquent s'il existe des nombres de la forme N = 4ⁿ(8k+7), tels que N' = N – 2015 soit aussi de cette forme, c'est à dire cherchons si l'on peut avoir :

4ⁿ(8k+7) – 2015 = 4^n'(8k'+7).

Si n et n' ≠ 0, c'est impossible car 2015 n'est pas divisible par 4.

Si n et n' = 0, c'est impossible car on aurait 2015 = 8 (k–k').

Donc, soit n, soit n' = 0.

Si n = 0, il faut que 4^n'(8k'+7) = (8k+7) – 2015 = 8k – 2008.

Mais 8k – 2008 = 4 (2k – 502). Il faut donc que : 4^n'-1 (8k'+7) = (2k – 502) = 2 (k – 251)

Si n' = 1, c'est impossible car les deux membres sont de parité opposée.

Si n' ≥ 2, il faut que (k – 251) soit divisible par 4^n'-1 / 2 = 2^2n'-3.

 cas de n = 0, n' = 2 On a alors 2^2n'-3 = 2, donc :

k – 251 = 2(8k' + 7), d'où : k = 265 + 16k'.

Mais N = 8k + 7 ≤ 8060 donc k ≤ 1006, donc 16k' ≤ 1006 – 265, ce qui ne laisse que 47 valeurs possibles pour k' (0 compris) donc aussi pour k.

Les nombres rétifs trouvés à ce titre (n = 0, n' = 2) sont donc les 47 nombres de la forme 2127 + 128k' (k' = 0 à 46), soit de 2127 à 8015.

 cas de n = 0, n' = 3 On a alors 2^2n'-3 = 8, donc :

k – 251 = 8(8k' + 7), d'où : k = 307 + 64k'.

Mais N = 8k + 7 ≤ 8060 donc k ≤ 1006, donc 64k' ≤ 1006 – 307, ce qui ne laisse que 11 valeurs possibles pour k' (0 compris) donc aussi pour k.

Les nombres rétifs trouvés à ce titre (n = 0, n' = 3) sont donc les 11 nombres de la forme 2463 + 512k' (k' = 0 à 10), soit de 2463 à 7583.

 cas de n = 0, n' = 4 On a alors 2^2n'-3 = 32, donc :

k – 251 = 32(8k' + 7), d'où : k = 475 + 256k'.

Mais N = 8k + 7 ≤ 8060 donc k ≤ 1006, donc 256k' ≤ 1006 – 475, ce qui ne laisse que 3 valeurs possibles pour k' (0 compris) donc aussi pour k.

Les nombres rétifs trouvés à ce titre (n = 0, n' = 4) sont donc les 3 nombres de la forme 3807 + 2048k' (k' = 0 à 2), soit de 3807 à 7903.

 cas de n = 0, n' = 5 On a alors 2^2n'-3 = 128, donc :

k – 251 = 128(8k' + 7), d'où : k = 1147 + 1024k'.

Mais N = 8k + 7 ≤ 8060 donc k ≤ 1006 et il n'y a pas de solution à ce titre (n = 0, n' = 5), donc à l'évidence pas davantage pour n' > 5.

Nous avons ainsi trouvé 47 + 11 + 3 = 61 nombres rétifs entre 2015 et 8060, avec n = 0, c'est à dire de la forme (8k + 7).

Il nous faut maintenant revenir en arrière, là où nous disions que soit n, soit n' = 0 et envisager le cas où c'est n' qui est nul.

Si n' = 0, il faut que 4ⁿ(8k+7) = (8k'+7) + 2015 = 8k' + 2022 = 2(4k' + 1011).

Soit encore :

2^2n-1(8k+7) = (4k' + 1011).

Comme n ≥ 1, c'est impossible car les deux membres sont de parité opposée.

Il n'y a donc pas de solution avec n' = 0.

Au total donc, le nombre des entiers "rétifs", c’est-à-dire qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme a² + b²+ c²+ 2015 d² (a, b, c, d entiers naturels) s'établit comme suit :

- 334 nombres entre 0 et 2014 - 61 nombres entre 2015 et 8060 - aucun nombre au-delà,

Soit un total de 395 nombres.