Calcul vectoriel dans l'espace (cours et exercices)

CHAPITRE III

CALCUL VECTORIEL DANS L’ESPACE

A) VECTEURS DANS L’ESPACE ……….

p 2

1) Exemple : force exercée par un aimant ……….. p 2 2) Définitions et notations ……….. p 3 3) Egalité de deux vecteurs ………. p 5 4) Multiplication d’un vecteur par un nombre réel ………. p 6 5) Addition et soustraction des vecteurs ………. p 8 6) Propriétés du calcul vectoriel ………. p 12 7) Forme vectorielle du théorème de Thalès ……….. p 15 8) Equation vectorielle d’une droite ……… p 15 9) Equation vectorielle d’un plan ……… p 17 10) Milieu d’un segment ……….……….. p 18 11) Centre de gravité d’un triangle ……….….. p 19

B) VECTEURS ET COORDONNEES ……… p 21

1) Repères ……… p 21

2) Coordonnées d’un vecteur et calcul vectoriel ………... p 25

C) PRODUIT SCALAIRE………

p 29

1) Définitions ……….…… p 29

2) Interprétation géométrique ……… p 30

3) Expression analytique ……… p 32

4) Propriétés ……… p 34

5) Vecteur normal et équations d’un plan ……… p 35 6) Equations d’une sphère ……….. p 38

D) EQUATIONS D’UN PLAN ET D’UNE DROITE …………. p 39

1) Equations d’un plan ……… p 39

2) Systèmes d’équations d’une droite ………. P 41

A) VECTEURS DANS L’ESPACE

D’une manière générale les vecteurs sont définis exactement de la même manière dans le plan et dans l’espace et ont les mêmes propriétés. Cette première partie du cours peut donc être considérée comme une révision de notions déjà traitées les années précédentes. Nous noterons E l’ensemble des points de l’espace.

1)

Exemple : force exercée par un aimant

Tout le monde sait qu’en plaçant des billes en fer au voisinage d’un aimant (Magnet), celles-ci sont soit attirées, soit repoussées par celui-ci. En physique on parle d’une force (d’attraction ou de répulsion), notée F
, exercée par l’aimant sur ces billes et celle-ci est représentée par des flèches partant de chacune de ces billes.

Voici l’exemple d’un aimant (rectangle rouge) qui attire les billes (points noirs) :

On constate que sur chacune de ces deux figures toutes les flèches ont :

•••• la même longueur : celle-ci caractérise en effet l’intensité de la force (ainsi les flèches de la 1re figure sont moins longues que celles la 2e figure : c’est que la force d’attraction de la 1re figure est moins importante que la force de répulsion de la 2e figure)

•••• la même direction (les flèches sont toutes parallèles) : celle qui est perpendiculaire à la surface de l’aimant tournée vers les billes et qui indique la direction dans laquelle celles-ci vont se déplacer sous l’impulsion de la force F
•••• le même sens : sur la 1re figure les flèches sont tournées vers l’aimant pour

signifier que les billes sont attirées par l’aimant et vont donc se déplacer vers celui-ci, alors que sur la 2e figure les flèches sont orientées dans le sens opposé pour signifier que les billes sont au contraire repoussées par l’aimant et vont s’éloigner de lui.

La notion de « force » en physique correspond à la notion de « vecteur » en mathématiques.

2)

Définitions et notations

Définitions

Un vecteur est un ensemble infini de flèches qui ont toutes : •••• même direction

•••• même sens

•••• même longueur appelée norme du vecteur Chacune de ces flèches est un représentant du vecteur.

Notations

o un vecteur peut être noté de deux manières :

-

une lettre minuscule surmontée d’une flèche, p. ex. : u, v, w, a, b,

-

deux lettres majuscules, désignant l’origine et l’extrémité d’un représentant

particulier du vecteur, surmontées d’une flèche, p. ex. :AB

o la norme d’un vecteur u
est notée u

o l’ensemble de tous les vecteurs de l’espace est noté V

Remarques

••••

pour connaître un vecteur il suffit de connaître un seul représentant du vecteur !

••••

la norme du vecteur AB
n’est rien d’autre que la distance de A à B : AB


 =AB

••••

la norme d’un vecteur est un nombre réel positif ou nul : ∀ ∈u
V u
∈ℝ ₊

••••

En 5e vous avez vu qu’une translation qui transforme A en B est notée AB

t
_{: on dit} que c’est la translation de vecteur AB
!

Cas particuliers

• Le vecteur AA
est le seul vecteur de norme nulle. En effet : AB
= ⇔0 AB= ⇔0 A=B

De plus ce vecteur n’a pas de direction (ou toutes les directions, ce qui revient au même…) donc pas de sens non plus ! Ce vecteur est appelé vecteur nul et il est noté 0
:

0=AA=BB=CC= et 0 =0





…

• Un vecteur u tel que u =1 est appelé vecteur unitaire.

• Soient A et B deux points distincts, alors les vecteurs AB
et BA
ont même direction (car

₍

AB

_{) (}

= BA

₎

), même norme (car AB=BA), mais des sens opposés : on dit que BA
est le vecteur opposé de AB
(ou que les vecteurs AB
et BA
sont des vecteurs opposés) et on note :

BA
= −AB

De manière générale, deux vecteurs opposés u et
−u
sont deux vecteurs qui ont même direction, même norme et des sens opposés.

Propriété

Soit un vecteur u
et un point A, alors il existe un seul point B tel que u
=AB
(c’est-à-dire qu’il existe un représentant unique de u
qui admet A comme origine).

u A !B u AB

∀ ∈ V ∀ ∈E ∃ ∈E =




3)

Egalité de deux vecteurs

••••

D’après la définition d’un vecteur, deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont même direction, même sens et même norme.

••••

Soient A, B, C et D quatre points non alignés du plan. Pour que les vecteurs AB
et CD

soient égaux il faut donc que

( ) ( )

AB  CD (même direction !) et que AB=CD (même norme !), ce qui est vérifié ssi les quatre points forment un parallélogramme. Deux cas de figure peuvent alors se présenter :

1er cas : (ABCD) = # 2e cas: (ABDC) = #

AB
≠CD
AB
=CD

••••

Soient A, B, C et D quatre points alignés du plan. Comme AB=CD, les vecteurs AB

et CD
sont égaux ssi AB=CD et AB
et CD
ont même sens :

ou

Sur ces deux figures on a : AB
=CD
et M=milieu de AD

[

]

=milieu de BC

[

]

donc on peut considérer (ABDC) comme une sorte de « parallélogramme aplati », ce qui nous amène à poser la définition suivante :

••••

Définition

Soient A, B, C et D quatre points quelconques de l’espace E, alors :

[

]

[

]

(ABDC)=# si et seulement si milieu de AD =milieu de BC

••••

Nous avons alors montré que :

(

)

A, B, C, D AB CD ABDC #

∀ 
=
⇔ =

••••

Remarque : Sur une figure on voit facilement que :

(

ABDC

)

# AB CD BA DC AC BD CA DB = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = 








4)

Multiplication d’un vecteur par un nombre réel

••••

Exemple des aimants :

En replaçant un aimant par un aimant 2, 3, … k fois (k∈ ℝ ) plus fort, la force exercée *₊

sur les billes gardera la même direction et le même sens mais son intensité (c’est-à-dire la longueur des flèches) sera « multipliée » par 2, 3 , … k. La nouvelle force sera alors notée 2 F⋅
, 3 F⋅
, … k F⋅
, ce qui définit une multiplication d’une force (donc d’un vecteur) par un réel positif. Il semble alors naturel de définir − ⋅2 F
, 3 F− ⋅, … , k F− ⋅

comme les forces (ou vecteurs) opposées aux forces 2 F⋅
, … k F⋅
et 0 F⋅ = ⋅ =
k 0
0
, ce qui nous amène à poser la définition suivante :

••••

Définition

Soit u
∈V et k ∈ ℝ , alors k u⋅
est le vecteur défini par :

o

si u
=0
ou k= alors : 0 u0 ⋅ = ⋅ =
k 0
0

o

si u
≠0
et k > 0alors :

-

k u⋅

a même direction que u

-

k u⋅

a même sens que u

-

k u⋅ = ⋅k u = k⋅ u

o

si u
≠0
et k < 0 alors :

-

k u⋅

a même direction que u

-

k u⋅

a le sens opposé de u

-

k u⋅ = − ⋅k u = k⋅ u

••••

Remarque : Dans tous les cas on a :

- k u⋅ = k⋅ u

- k u⋅

et u
ont même direction (en posant que le vecteur nul a la même direction que n’importe quel vecteur u
)

••••

Exemples

On voit que toutes ces flèches, c’est-à-dire tous les représentants de u
et de k u⋅
, sont parallèles. On exprime ceci en disant que u
et k u⋅
sont colinéaires.

••••

Définition

On dit que deux vecteurs u
et v
sont colinéaires ssi il existe un nombre réel k tel que

u
= ⋅k v ou v

= ⋅k u

••••

Propriétés

o

0
est colinéaire à tout vecteur u
car 0
= ⋅0 u

o

si on convient que 0
a toutes les directions, alors on peut dire deux vecteurs sont colinéaires ssi ils ont même direction

o

En observant les deux figures suivantes : figure 1

A, B, C sont alignés et AB et AC sont colinéaires


figure 2

A, B, C ne sont pas alignés et AB et AC ne sont pas colinéaires


on voit que :

A, B, C A, B, C sont alignés AB et AC sont colinéaires

∀ ⇔


5)

Addition et soustraction des vecteurs

••••

Exemple

Reprenons l’exemple des billes soumises à la force d’attraction F
₁ d’un aimant (rouge sur la figure) et rajoutons un deuxième aimant (bleu) qui attire les billes avec la force

2

Alors l’expérience montre que tout se passe comme si les billes étaient attirées par un troisième aimant (invisible) dans une direction « intermédiaire » avec une force F
_r

De plus cette force F
_r, appelée force résultante en physique, est telle que ses représentants forment la diagonale d’un parallélogramme dont les côtés sont formés par les forces F
₁ et F
₂ :

Si F
₁=AB
et F
₂=AC
alors F
_r =AD
avec (ABDC) = # (*)

Regardons ce qui se passe si les deux forces F
₁ et F
₂ ont même direction et même sens :

ou encore même direction et sens opposés :

On constate que (*) reste valable puisque (ABDC) est un parallélogramme aplati ! Que peut-on dire de la norme de AD
?

……… ……… Que se passe-t-il si F
₂= −F
₁ ? ………...………...

••••

Définition

Soient u
et v
deux vecteurs, alors on appelle somme de ces deux vecteurs le vecteur, noté u
+v
, dont un représentant est construit selon l’une des deux règles (équivalentes) suivantes :

Règle du parallélogramme :

On choisit un point quelconque A, puis on construit le point B tel que u
=AB
, le point C tel que v
=AC
, puis le point D tel que (ABDC) = # (éventuellement aplati, si les deux vecteurs sont colinéaires, voir figures page 10). Alors u
+ =v
AD
:

Règle simplifiée :

Sur la figure précédente AC
=BD
puisque (ABDC) = #, donc il suffit de construire le représentant de v
d’origine B, c’est-à-dire le point C tel que v
=BC
et on a directement u
+ =v
AC
, sans passer par le # :

Remarque

La règle du parallélogramme consiste à choisir deux représentants de même origine

(AB etAC






), alors qu’avec la règle simplifiée on choisit deux représentants consécutifs

(A et


B B


C).

••••

Il est facile de voir sur ces figures que pour tous u, v ∈V on a :
u+ ≤v u + v (inégalité triangulaire)

_{u v u v k} * _{v k u ou u k v}

+

+ = + ⇔ ∃ ∈ = ⋅ = ⋅

       

••••

La règle simplifiée montre que :

A¸ B¸C AB + BC = AC



∀

Cette formule, très importante pour le calcul vectoriel, est appelé relation de Chasles.

••••

Soustraction dans V

Nous savons qu’on peut définir la soustraction de deux nombres a et b à partir de l’addition en posant : a− = + − , c’est-à-dire que pour retrancher un nombre b b a

(

b

)

d’un nombre a, on ajoute son opposé. On fait de même pour définir la soustraction dans

V :

( )

déf u, v u v u v ∀

∈V
− = + −


Construction de u
−v
:

On choisit un point quelconque A, puis on construit le point B tel que u
=AB
, le point C tel que v
=AC
, puis le point D tel que (ABDC) = #. Comme v− = −
AC
=CA
, on a

u
− =v
AB
+CA
=CB
d’après la relation de Chasles :

6)

Propriétés du calcul vectoriel

Soient u, v et w


trois vecteurs quelconques et a, b deux nombres réels.

••••

L’addition des vecteurs est commutative : u
+ = +v
v
u

En effet soient A, B, C trois points tels que u
=AB
et v
=BC
et D le point tel que v
=AD
et u
=DC
, alors d’après la relation de Chasles on a :

••••

L’addition des vecteurs est associative :

(

u
+
v

)

+w
= +u

(

v+w

)

En effet soient A, B, C, D quatre points tels que u
=AB
, v
=
BC et w
=CD
, alors

(

u
+
v

)

+w
=

(


AB+BC

)

+CD
=AC
+CD
=AD
d’après la relation de Chasles et on a de même : u
+

(

v
+w

)

=AB
+

(

BC
+CD

)

=AB
+BD
=AD
.

••••

Comme l’addition des vecteurs est commutative et associative, on peut écrire une somme de plusieurs vecteurs sans parenthèses et dans l’ordre qu’on veut :

u
+ +
v w
= + +v
u
w
=w
+ + =u
v
…

••••

0
est l’élément neutrede l’addition des vecteurs : u
+ = + =0
0
u
u

En effet soient A, B deux points tels que u
=AB
, alors comme 0
=AA
=BB
on a : u
+ =0
AB
+BB
=AB
=u
et 0
+ =u
AA
+AB
=AB
=u
d’après la relation de Chasles.

••••

u
+ −

( ) (

u
= − + =u

)

u
0

En effet soient A, B deux points tels que u
=AB
, alors comme − =u
BA
on a :

(

)

u
+ −u
=
AB+BA
=
AA=0
et

(

− + =u

)

u

BA+AB
=BB
=
0 d’après la relation de Chasles.

••••

1 u⋅ =
u
et

( )

− ⋅ = −1 u
u
et 0 u⋅ =
0
(évident !)

••••

( )

ab u⋅ = ⋅
a b u

(

⋅

)

et on écrit simplement : abu
p. ex. a= et b2 = 3

••••

(

a+b u

)

⋅ = ⋅ + ⋅
a u
b u
p. ex. a= et b2 = 3

••••

a u⋅

(

+v

)

= ⋅ + ⋅a u
a v
p. ex. a= 2 Remarques

o

Ces propriétés montrent que les règles de calcul sur les vecteurs « fonctionnent » de la même manière que celles sur les nombres réels, sauf qu’on ne peut PAS multiplier ou diviser deux vecteurs entre eux !

o

Les deux dernières propriétés montrent qu’il y a une sorte de « distributivité » pour le calcul vectoriel : la différence avec la vraie distributivité est qu’ici on multiplie des objets de nature différente : des nombres et des vecteurs !

o

L’ensemble V muni de l’addition des vecteurs (opération interne !) est un groupe (l’addition des vecteurs est associative, possède un élément neutre, le vecteur nul et tout vecteur a un symétrique, le vecteur opposé) commutatif (l’addition est en plus commutative).

o

L’ensemble V muni de l’addition (interne) des vecteurs et de la multiplication (externe) des vecteurs par les réels est appelé espace vectoriel.

7)

Forme vectorielle du théorème de Thalès

Le théorème de Thalès et sa réciproque, que vous avez vus en 4e, peut être formulé dans le langage vectoriel de la manière suivante :

Théorème de Thalès

Soit un triangle ABC, D∈

( )

AB , E∈

( )

AC et

( ) ( )

BC  DE . Alors il existe un réel k tel que :

AD= ⋅k AB






et AE


= ⋅k AC


 et DE


= ⋅k BC


 Réciproque du théorème de Thalès

Soit un triangle ABC, D∈

( )

AB , E∈

( )

AC et un réel k tel que AD= ⋅k AB






et AE


= ⋅k AC


. Alors

( ) ( )

BC  DE .

8)

Equation vectorielle d’une droite

••••

Soit un point P et une droite a, alors il existe exactement une seule droite d qui passe par A et qui est parallèle à a comme le montre la figure suivante :

La droite d est donc entièrement déterminée si on connaît un point de d et une droite qui lui est parallèle, c’est-à-dire qui indique sa direction ! Or pour indiquer une direction on peut également utiliser un vecteur : la direction de la droite d est connue si on connaît n’importe quel vecteur AB≠0 où A∈d et B∈d

 

Un tel vecteur est appelé vecteur directeur de d.

••••

Une droite admet une infinité de vecteurs directeurs qui sont tous ………..

••••

Soient deux droites a et b de vecteurs directeurs u et v respectivement. Alors on a : a b ⇔u et v sont colinéaires 

••••

Soit d une droite définie par un point P et un vecteur directeur u et M un point quelconque du plan. Deux cas peuvent se présenter :

1er cas :M∈d u et PM


  sont colinéaires 2e cas : M∉d

u et PM


 ne sont pas colinéaires

D’où : M M d PM et u sont colinéaires

k PM k u ∀ ∈ ⇔ ⇔ ∃ ∈ = ⋅


 _


 _ ℝ En d’autres termes d=

{

M / PM= ⋅k u, k∈

}

 _ ℝ et l’équation PM= ⋅k u


 _ est appelée équation vectorielle de d.

••••

Définition

On dit que deux vecteurs de l’espace u et v  sont orthogonaux, et on note u⊥v, si et seulement si l’une des deux conditions suivantes est vérifiée :

u=0 ou v=0

u≠0 ou v≠0    

et a⊥b où a et b sont deux droites de vecteurs directeurs u et v  respectivement.

9)

Equation vectorielle d’un plan

••••

Définition

Soient u et v  deux vecteurs de l’espace, on appelle combinaison linéaire de u et v  tout vecteur de la forme p u⋅ + ⋅ q v avec p,q∈ℝ .

••••

Théorème

Soient A, B, C trois points non alignés de E et M un point quelconque de E, alors :

(

)

M∈ ABC ⇔AM est une combinaison linéaire de AB et AC











démonstration

Supposons d’abord que M∈

(

ABC

)

, plusieurs cas peuvent se présenter :

o si M=A alors AM



=AA


= = ⋅0 0 AB 0 AC


+ ⋅




o si M=B alors AM



=AB 1 AB 0 AC


= ⋅


+ ⋅




o si M=C alors AM=AC= ⋅0 AB 1 AC+ ⋅












o si M≠A et M≠B et M≠C, alors il existe D∈

( )

AB tel que

(

DM

) ( )

 AC et

( )

E∈ AC tel que

( ) ( )

EM  AB . Alors

(

ADME

)

=# donc AM



=AD


+AE


. Or D∈

( )

AB donc p∃ ∈ℝtel que AD


= ⋅p AB


 et E∈

( )

AC donc q∃ ∈ℝ tel que AE


= ⋅q AC


 et par conséquent AM



= ⋅p AB q AC


+ ⋅


.

Dans tous les cas AM



est une combinaison linéaire de AB



et de AC


. Réciproquement supposons que AM= ⋅p AB q AC+ ⋅









où p et q sont deux réels.

o si p=0 alors AM



= ⋅q AC


 et A, M, C sont alignés donc M∈

(

ABC

)

o si q=0 alors AM= ⋅p AB






o si p q⋅ ≠0 alors :

( )

!D AB tel que D A et AD p AB ∃ ∈ ≠


= ⋅


 et

( )

!E AC tel que E A et AE q AC ∃ ∈ ≠


= ⋅




donc

( ) ( )

AB = AD et

( ) ( )

AC = AE et par conséquent

(

ABC

) (

= ADE

)

. De plus

(

ADME

)

=# puisque AM=AD+AE









, donc M∈

(

ADE

)

, ce qui montre que M∈

(

ABC

)

Dans tous les cas on a montré que M∈

(

ABC

)

, cqfd.

••••

Conséquence

Soit un plan α et A, B, C trois points non alignés de α. Alors α =

(

ABC

)

et

M∈α ⇔AM



= combinaison linéaire de AB et de AC





 c’est-à-dire :

{

M / AM p AB q AC avec p, q

}

α = ∈E



= ⋅


+ ⋅


 ∈ℝ

On dit que AB



et AC


 sont deux vecteurs directeurs (non colinéaires) de α et que

AM= ⋅p AB q AC+ ⋅









est une équation vectorielle de α.

10)

Milieu d’un segment

••••

Soit M le milieu de

[

AB

]

: On voit facilement que :

[ ]

A¸B¸M M = milieu de AB MA + MB = 0





 

∀ ⇔

••••

Interprétation physique :

Plaçons un bâton [AB] sur la pointe d’un cône en position parfaitement horizontale, puis lâchons-le : si le bâton repose en son milieu M sur la pointe du cône, le bâton reste en équilibre, si par contre il repose sur un point C différent du milieu, il y a déséquilibre et il va tomber.

Le vecteur MA
(respectivement MB
) représente la force exercée par l’extrémité A (resp. B) du bâton sur le point M et l’égalité MA
+MB
=0
exprime le fait que la force résultante est la force nulle : il ne se passe rien, le bâton reste en équilibre !

Par contre la force résultante CA
+CB
≠0
n’étant pas nulle, elle va entraîner le bâton vers le bas (il tombe)…

Conclusion :

Le milieu est le point d’équilibre appelé centre de gravité du segment (du bâton).

11)

Centre de gravité d’un triangle

••••

Interprétation physique :

Soit ABC un triangle (découpé dans une plaque homogène, p. ex. une plaque en bois). Nous allons chercher « le point d’équilibre » de ce triangle, c’est-à-dire le point G tel que le triangle posé horizontalement sur ce point reste en équilibre :

(équilibre) (déséquilibre)

Comme pour le bâton, les vecteurs GA


, GB


 et GC


 représentent les forces exercées respectivement par les sommets A, B et C sur le point G. Le point d’équilibre est alors caractérisé par l’égalité GA


+GB GC


+


=0, alors que MA



+MB MC


+


≠0.

••••

Définition

On appelle centre de gravité d’un triangle ∆

(

ABC

)

le point G tel que :

••••

Propriétés de G

Soient un triangle ∆

(

ABC

)

, A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés

[ ]

BC ,

[ ]

AC ,

[ ]

AB et G le centre de gravité, alors :

o

AG 2AA ', BG 2BB ', CG 2CC ', 3 3 3 = = =




















 démonstration :

(

)

(

)

GA GB GC 0 GA GA AB GA AC 0 Chasles 3 GA AB AC 0 AB AC 3 GA AB AC 3 AG 2 AA ' 3 AG voir exercice 19 2 AG AA ' 3 + + = ⇔ + + + + = ⇔ ⋅ + + = ⇔ + = − ⋅ ⇔ + = ⋅ ⇔ ⋅ = ⋅ ⇔ = ⋅








 














 








 

































Les deux autres égalités se démontrent de façon analogue (exercice !)

o

G∈

(

AA '

) (

∩ BB '

) (

∩ CC '

)

démonstration :

Nous venons de montrer que les deux vecteurs AA '



et AG


 sont colinéaires, donc les points A, A’ et G sont alignés (propriété p. 8) et par conséquent G∈

(

AA '

)

. On montre de même que G∈

(

BB '

)

et G∈

(

CC '

)

, d’où le résultat.

Remarque :

Comme les droites (AA’), (BB’) et (CC’) sont les trois médianes du triangle, nous venons de montrer que G est le point d’intersection de ces médianes !

B) VECTEURS ET COORDONNEES

1)

Repères

a) Repères d’une droite

•

Soit d une droite et O, I∈d avec O≠I, alors :

M M d k OM k OI

∀ ∈E ∈ ⇔ ∃ ∈ℝ



= ⋅

 (*)

•

De plus ce réel k est unique.

En effet s’il existait k et k’ tel que OM



= ⋅k OI

 et OM



= ⋅k ' OI

 alors :

(

)

k OI⋅

= ⋅k ' OI

⇔ k−k ' OI

= ⇔ =0 k k ' ou OI

=0, or OI

≠0, donc k=k '.

•

Définition

L’unique réel k tel que OM



= ⋅k OI

 est appelé l’abscisse du point M dans le repère

( )

O, OI

 de d d’origine O. On note M(k) .

Ainsi : M k dans O, OI

( )

( )

 ⇔OM



= ⋅k OI

 b) Repères d’un plan

•

Soit α un plan et O, I, J trois points non alignés de α, alors on a d’après le théorème page 17 :

( )

M OIJ OM est une combinaison linéaire de OI et OJ p, q tel que OM p OI q OJ ∈ = α ⇔ ⇔ ∃ ∈ = ⋅ + ⋅















 ℝ

•

De plus le couple

( )

p, q est unique. En effet si OM= ⋅p OI+ ⋅q OJ







 et OM= ⋅p ' OI+ ⋅q ' OJ







 alors :

(

)

(

)

p OI⋅

+ ⋅q OJ

= ⋅p ' OI

+ ⋅q ' OJ

⇔ p p ' OI− ⋅

= q ' q OJ− ⋅

 (*). Mais alors p− =p ' 0 car sinon on aurait OI q ' q OJ

p p ' − = ⋅ −



 et O, I, J seraient alignés (puisque OI et OJ



 colinéaires) ce qui est contraire à l’hypothèse. Par conséquent

(

)

(

)

0 OI⋅

= q ' q OJ− ⋅

⇔ =0 q ' q OJ− ⋅

⇔ − =q ' q 0 ou OJ

=0 donc q ' q− =0 puisque OI

≠0 et on a également q=q ' , cqfd.

•

Définition

L’unique couple de réels

( )

p, q tel que OM



= ⋅p OI

+ ⋅q OJ

 est appelé le couple des coordonnées du point M dans le repère

(

O, OI, OJ

)





de α d’origine O. On note M(p, q) , p est appelé l’abscisse et q l’ordonnée de M. Ainsi :

( )

(

)

M p, q dans O, OI, OJ



 ⇔OM



= ⋅p OI q OJ

+ ⋅



•

Cas particuliers

Si OI

⊥OJ

 on dit que

(

O, OI, OJ





)

est un repère orthogonal et si de plus les deux vecteurs sont unitaires, c’est-à-dire si OI

 = OJ

 =1, on dit qu’on a un repère orthonormé : on note R.O.N.

c) Repères de l’espace

•

Soient O, I, J, K quatre points non coplanaires (OIJK = tétraèdre) et M un point quelconque dans l’espace.

Alors il existe une droite d unique qui passe par M et qui est parallèle à OK : cette droite coupe le plan OIJ en M’ et on a : OM=OM ' M ' M+












(1). Dans le repère

(

O, OI, OJ

)





du plan OIJ : M ' p, q donc OM '

( )

= ⋅p OI+ ⋅q OJ







(2). D’autre part M ' M



et OK


 sont colinéaires (puisque M ' M=d OK ) donc il existe un réel r unique tel que M ' M= ⋅r OK






(3).

•

Définition

L’unique triplet de réels

(

p, q, r

)

tel que OM= ⋅p OI+ ⋅q OJ+ ⋅r OK










est appelé le triplet des coordonnées du point M dans le repère

(

O, OI, OJ, OK








)

de l’espace d’origine O. On note M(p, q, r), p est appelé l’abscisse, q l’ordonnée et r la cote

de M. Ainsi :

(

)

(

)

M p, q, r dans O, OI, OJ,OK ⇔OM= ⋅p OI q OJ+ ⋅ + ⋅r OK



















Les trois vecteurs du repère sont souvent notés i , j et k  .

•

Cas particuliers

Si les vecteurs OI, OJ et OK






 sont deux à deux orthogonaux on dit que

(

O, OI, OJ, OK

)








est un repère orthogonal et si de plus les trois vecteurs sont unitaires, c’est-à-dire si OI

 = OJ

 = OK


 =1, on dit qu’on a un repère orthonormé : on note R.O.N.

•

Conclusion

Un repère est toujours constitué d’un point fixe appelé origine du repère et :

o

d’un vecteur directeur OI

 dans le cas d’une droite

o

de deux vecteurs directeurs non colinéaires dans le cas d’un plan

o

de trois vecteurs dont aucun n’est une combinaison linéaire des deux autres (ce qu’on exprime en disant qu’ils sont linéairement indépendants) dans le cas de l’espace.

Pour repérer un point M il faut donc

o

1 abscisse si M∈d :M p

( )

o

2 coordonnées si M∈α : M p, q

( )

o

3 coordonnées si M∈E :M p, q, r

(

)

On dit qu’une droite est de dimension 1, un plan de dimension 2 et l’espace de dimension 3.

•

Exemples

Soit ABCDEFGH un cube :

Dans le repère

(

H, AB, GF, FB

)







 :

(

)

A ; ; , B

(

; ;

)

, C

(

; ;

)

, D

(

; ;

)

, E

(

; ;

)

,

(

)

F ; ; , G

(

; ;

)

, H

(

; ;

)

Dans le repère

(

B, HD, DC, GF

)







 :

(

)

A ; ; , B

(

; ;

)

, C

(

; ;

)

, D

(

; ;

)

, E

(

; ;

)

,

(

)

F ; ; , G

(

; ;

)

, H

(

; ;

)

Dans le repère A, 2 AB,1 AD,3 AE

2   ⋅ ⋅ ⋅    








 :

(

)

A ; ; , B

(

; ;

)

, C

(

; ;

)

, D

(

; ;

)

, E

(

; ;

)

,

(

)

F ; ; , G

(

; ;

)

, H

(

; ;

)

2)

Coordonnées d’un vecteur et calcul vectoriel

E est muni d’un repère

(

O, i , j, k  

)

.

a) Définition

Soit u
∈ V et M p, q, r

(

)

∈ E le point de E qui vérifie u
=OM
, alors : u
=OM
=p i
+qj
+rk

On dit que

₍

p, q, r est le triplet des

₎

coordonnées de u
dans

(

O, i , j, k  

)

et on note :

(

)

u p, q, r
ou p u q r                  
Ainsi :

(

)

p u q dans O, i , j, k u p i q j rk r         ⇔ = + +          







Remarques :

• Prendre les mêmes coordonnées pour le point M et pour le vecteur u
se justifie par le fait qu’un vecteur u
est entièrement déterminé quand on connaît un de ses représentants OM
.

• La notation « verticale » des coordonnées est utilisée exclusivement pour les vecteurs et servira souvent à remplacer un « calcul vectoriel » par un « calcul matriciel » sur des matrices uni-colonnes.

• Il résulte de ce qui précède que deux vecteurs (ou deux points) sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées dans un repère donné.

b) Formules valables dans n’importe quel repère

• Soient A x , y , z

₍

_{A A A}

₎

∈ E et B x , y , z

(

B B B

)

∈ E , alors :

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

B B B A A A B A B A B A AB AO OB OB OA x i y j z k x i y j z k x x i y y j z z k = + = − = + + − + + = − + − + − 













D’où : B B A A A B x A y x B y z z  − _  _  _  _{− }  _    _  −    

Exemple : A 5; 3; 7

(

−

)

, B

(

−1;0;9

)

, alors 6 AB 3 2 _{− }  _  _  _      _     
et 6 BA 3 2  _  _  _ _{− }      _ −    
• Soient u u u x u y z  _  _  _  _      _    
, v v v x v y z  _  _  _  _      _    
et α ∈ ℝ , alors :

(

u u u

)

u u u u x i y j z k x i y j z k α ⋅ = α

+
+
= α
+ α
+ α
, d’où : u u u x u y z α _  _  _  _ α ⋅ _α _    _ α   

(

)

(

)

(

)

u u u v v v u v u v u v u v x i y j z k x i y j z k x x i y y j z z k + = + + + + + = + + + + +










d’où : u v u v u v x x u v y y z z  + _  _  _  _ + _ + _    _  +   

Exemples : 4 u 5 7  _  _  _ _{− }      _ −   
, 8 v 11 3 _{− }  _  _  _      _    
, alors : 12 3 u 15 21  _  _  _  _ ⋅ _− _    _ −   
, 56 7v 77 21  _  _  _  _ − _− _    _ −   
, 4 u v 6 4 _{− }  _  _  _ + _ _  _ −   

, 4 8 8 40 48 2 u 5 v 2 5 5 11 10 55 65 7 3 14 15 29  _ − _   _ _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _  _ ⋅ − ⋅ = ⋅ − − ⋅_{   }= −_{ }+ −_{ }= −_{ }            _  _  _  _  _      −    −  −  −           

.

• Milieu d’un segment

[

AB

]

:

[

]

A M B M A M B M A M B M A B M A B M A B M A B M A B M milieu de AB MA MB 0 x x x x y y y y 0 z z z z x x 2x 0 y y 2y 0 z z 2z 0 x x 2x 0 y y 2y = ⇔ + =  −  _ − _  _  _  _  _  _  _ ⇔_ − _+_ − _=      _  _    −   −       + − _  _  _  _  _  _  _  _ ⇔_ + − _=_{ }  _  _    + −        + − = ⇔ + − 



M A B M 0 z z 2z 0      ₌    _{+ − =}   

A B M A B M A B M x x x 2 y y y 2 z z z 2  +   =      +   ⇔ =     +  ₌      D’où : _{M milieu de AB}

_[

_]

_M xA xB_;yA yB_;zA zB 2 2 2  + + + _  = ⇔ _ _

• Centre de gravité d’un triangle ∆

(

ABC

)

A G B G C G A G B G C G A G B G C G A B C G A B C G A B C G A B C G A B C G A B C x x x x x x GA GB GC 0 y y y y y y 0 z z z z z z x x x 3x 0 y y y 3y 0 z z z 3z 0 x x x 3x y y y 3y z z z 3 − − −             + + = ⇔_ − _{ }+ − _{ }+ − _=  ₋   ₋   ₋        + + −         ⇔_ + + − _{  }=  _{+ + −}        + + = ⇔ + + = + + =








   G z      D’où :

(

)

xA xB xC yA yB yC zA zB zC

G centre de gravité de ABC G ; ;

3 3 3  + + + + + + _  = ∆ ⇔ _ _ Exemples :

(

)

A −17;8; 9− , B 23; 0; 11

(

−

)

, C

(

−2;15; 24−

)

alors :

milieu de

[

AB

]

: M 3; 4; 10

(

−

)

et centre de gravité de ∆

(

ABC

)

: G 4 23; ; 44

3 3 3

 _

 _{− }

 _

 

c) Formules valables uniquement dans un R.O.N. On suppose maintenant que

(

O, i , j, k  

)

est un R.O.N.. • Norme d’un vecteur

Soit u u u x u y z  _  _  _  _      _    

et les points A x ; y ; z

(

_{u u u}

)

, B x ; y ; 0

(

_{u u}

)

et C x ;0; 0

(

_u

)

(voir figure).

Alors u
=OA
=OB
+BA
=OC
+CB
+BA
et comme

(

O, i , j, k  

)

est un R.O.N :

o le triangle ∆

(

OAB

)

est rectangle en B donc OA2=OB2+BA2 (Pythagore) o D’où _OA2_=OC2_+CB2_+BA2 _(1). Or : OC= OC
= x i_u
= x_u i
= x_u ⋅ =1 x_u (2), u u u u CA= CA
= y j
= y
j = y ⋅ =1 y (3), u u u u AB= AB
= z k
= z k
= z ⋅ =1 z (4). En remplaçant (2), (3), (4) dans (1) il vient :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 u u u u u u u
= OA
=OA = x + y +z =x +y +z d’où : u
= x2_u+y2_u+z2_u Exemple : 7 u 6 3  _  _  _  _       _{− }  
, u
= 72+ 62+ −

( )

32 = 49+ + =6 9 8

• Distance de deux points

Soient A x , y , z

(

_{A A A}

)

et B x , y , z

(

_{B B B}

)

, alors :

(

)

(

)

(

)

B A 2 2 2 B A B A B A B A B A x x AB AB y y x x y y z z z z  − _  _  _  _ = = _ − _ = − + − + −  _  −   

Exercices 14 à 22

C)

PRODUIT SCALAIRE

1)

Définitions

a) Angle formé par deux vecteurs non nuls

Soient u et v

deux vecteurs non nuls et A, B, C trois points (non alignés) de l’espace tels que u
=AB
et v
=AC
:

L’angle θ =BAC, indépendant des représentants de u et v

choisis (expliquez

pourquoi !), est appelé angle formé par les vecteurs u et v

et est noté parfois

(

u, v

)

.

En fait u et v

forment deux angles : θ et 2π −θ, dont l’un est saillant (c’est-à-dire de mesure comprise entre 0 et π radians), l’autre rentrant (c’est-à-dire de mesure strictement comprise entre π et 2π radians). Or comme on va le voir tout de suite, nous ne nous intéresserons qu’au cosinus de cet angle et comme

(

)

( )

cos 2π− θ =cos −θ =cosθ , nous choisirons toujours celui des deux angles qui est

saillant : 0≤ θ ≤ π .

b) Produit scalaire de deux vecteurs

Soient u, v

∈ V, on appelle produit scalaire de u
par v
le nombre réel, noté u v

⋅ (on

lit : « u
scalaire v
»), défini par :

0 si u 0 ou v 0 u v u v cos si u 0 et v 0   _{= =}   ⋅ = _ ⋅ ⋅ θ ≠ ≠   

où θ =

(

u, v

)

étant l’angle (saillant) formé par les deux vecteurs.

2)

Interprétation géométrique

Soient u
=
AB≠0
, v
=AC
≠0
et θ =

(

u, v

)

.

•••• 1er cas : θ = 0

Alors u et v

ont même sens et u v

⋅ = u
⋅
v cos 0⋅ = u
⋅
v 1⋅ = u
⋅ v
=AB AC⋅ >0.

•••• 2e cas : 2 π θ = Alors u
⊥v
et u v u v cos u v 0 2 0 π ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =





. •••• 3e cas : θ = π

Alors u et v

ont même direction, des sens opposés et

( )

u v

⋅ = u
⋅ v cos
⋅ π = u
⋅
v ⋅ − = −1 u
⋅ v
= −AB A⋅ C<0. •••• 4e cas : 0 2 π < θ <

Soit H la projection orthogonale de C sur AB, alors ∆

(

AHC

)

est rectangle en H donc AH

cos

AC

θ = et par conséquent : u v u v cos AB AC AH AB AH 0

AC

⋅ = ⋅ ⋅ θ = ⋅ ⋅ = ⋅ >

•••• 5e cas :

2

π

< θ < π

Soit H la projection orthogonale de C sur AB, alors ∆

(

AHC

)

est rectangle en H donc

(

)

AH AH AH

cos cos cos

AC AC AC π−θ = ⇔ − θ = ⇔ θ = − et par conséquent : AH u v u v cos AB AC AB AH 0 AC  _  ⋅ = ⋅ ⋅ θ = ⋅ ⋅ −_ _= − ⋅ <



.

Conclusion

En remarquant que dans le 1er et le 3e cas H=C, on voit que :

si 0 2 π ≤ θ < alors u v

⋅ =AB AH⋅ >0
si 2 π < θ≤ π alors u v

⋅ = −AB AH⋅ <0
si 2 π θ = alors u v

⋅ =0

3)

Expression analytique

Soit

(

O, i , j, k  

)

un R.O.N., u u u x u y z  _  _  _  _      _    
, v v v x v y z  _  _  _  _      _    

, A, B, C trois points tels que u
=AB
et

v=AC

et θ =

(

u, v

)

. Nous supposerons d’abord que les deux vecteurs sont non nuls, alors trois cas peuvent se présenter :

• 1er cas : θ = 0

Alors il existe un réel strictement positif k tel que

v u v u v u x k x v k u y k y z k z  = ⋅   = ⋅ ⇔ = ⋅  _{= ⋅} 

et on a :

(

)

(

)

2 2 2 2 u u u 2 2 2 u u u u u u u u u u v u v u v u v u v cos 0 u k u 1 u k u car k 0 u k k x y z kx ky kz x kx y ky z kz x x y y z z ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ > = ⋅ = + + = + + = + + = + +








• 2e cas : θ = π

Alors il existe un réel strictement négatif k tel que v
= ⋅k u
et on a :

( )

(

)

( )

(

)

(

)

2 er u v u v u v u v u v cos u k u 1 u k u 1 car k k puisque k 0 u k voir 1 cas x x y y z z ⋅ = ⋅ ⋅ π = ⋅ ⋅ ⋅ − = ⋅ − ⋅ − = − < = ⋅ = = + +








⋯ • 3e cas : 0< θ < π

Alors ABC est un triangle et d’après le théorème du cosinus on a : 2 2 2 2 2 2 BC =AB +AC − ⋅2 AB AC cos⋅ ⋅ θ ⇔ ⋅2 AB AC cos⋅ ⋅ θ =AB +AC −BC . Or AB AC cos⋅ ⋅ θ = u
⋅ v cos
⋅ θ = ⋅u v

, 2 2 2 2 2 u u u AB = u
=x +y +z , 2 2 2 2 2 v v v AC = v
=x +y +z ,

(

)

(

)

(

)

2 2 _{2 2 2 2} 2 v u v u v u BC = 
BC = BA
+AC
= v
−u
= x −x + y −y + z −z ,

(

)

2

(

)

2

(

)

2 2 2 2 2 2 2 u u u v v v v u v u v u u v u v u v u v u v u v d 'où : 2 u v x y z x y z x x y y z z 2 u v 2x x 2y y 2z z u v x x y y z z ⋅ ⋅ = + + + + + − − − − − − ⇔ ⇔ ⋅ ⋅ = + + ⇔ ⋅ = + +

…

Nous avons donc montré que si u et v

sont deux vecteurs non nuls on a :

( )

u v u v u v u v

⋅ =x x +y y +z z *

Si u
=0
alors u v

⋅ =0 (par définition) et d’autre part x_u=y_u=z_u = donc 0

v v v

0 x⋅ + ⋅0 y + ⋅0 z = , ce qui montre bien que la formule (*) reste valable pour 0 u
=0
. D’où :

Théorème

Pour tous vecteurs

u u u x u y z  _  _  _  _  _    _    
et v v v x v y z  _  _  _  _  _    _    
dans un R.O.N. on a : u v u v u v

u v

⋅ =

x x

+

y y

+

z z

Remarque

L’expression analytique de u v

⋅ permet de calculer θ =

(

u, v

)

. Exemple :

Si 1 u 2 3  _  _  _ _{− }      _    
, 3 v 4 0 _{− }  _  _  _      _    

dans un R.O.N. alors u v

⋅ = ⋅ − + − ⋅ + ⋅ = −1

₍

3

_{) (}

2 4

₎

3 0 11 et d’autre part

u v

⋅ =
u ⋅ v cos
⋅ θ = 1+ +4 9 9+16+0 cosθ =5 14 cosθ, d’où −11=5 14 cosθ et

par conséquent θ≃126, 01°.

4)

Propriétés

a) ∀u, v

∈V u v

⋅ = ⇔ ⊥0 u
v
En effet : u v 0 u 0 ou v 0 ou cos 0 u 0 ou v 0 ou 2 u v ⋅ = ⇔ = = θ = π ⇔ = = θ = ⇔ ⊥









b) u, v (non nuls) u v 0 0 et u v 0 2 2 π π ∀

∈V

⋅ > ⇔ ≤ θ <

⋅ < ⇔ < θ ≤ π

En effet le signe de u v

⋅ est le même que celui de cosθ puisque u
>0 et v
>0.

c) ∀u, v

∈V u v

⋅ = ⋅v u

(le produit scalaire est symétrique) En effet en se plaçant dans un R.O.N. on a :

u v u v u v v u v u v u u v

⋅ =x x +y y +z z =x x +y y +z z = ⋅v u

d) ∀u, v, w


∈V ∀α ∈_ℝ

(

)

( ) ( )

(

)

u v w u v u w u v u v u v ⋅ + = ⋅ + ⋅ ⋅ α = α ⋅ = α ⋅

(on dit que le produit scalaire est linéaire)

Remarque

On ne dit pas que le produit scalaire est « commutatif », « associatif » ou « distributif par rapport à l’addition » car ces termes sont réservés aux opérations internes dans un ensemble (comme par exemple l’addition et la multiplication dans ℝ ) et le produit

scalaire est une opération externe : le produit de deux vecteurs n’est pas un vecteur mais un nombre réel !

e) ∀A, B, C, D∈E AB CD





⋅ =







AB C ' D ' avec C '⋅ =p_{( )AB}

( )

C et D '=p_{( )AB}

( )

D En effet :

(

)

AB CD AB CC ' C ' D ' D ' D AB CC ' AB C ' D ' AB D ' D 0 AB C ' D ' 0 car AB CC ' et AB D ' D AB C ' D ' ⋅ = ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ + ⊥ ⊥ = ⋅









































































 f) ∀ ∈u
V u u

⋅ ≥0 et u
= u u

⋅ En effet u u

⋅ = u
⋅ u cos 0
⋅ = u
2⋅ =1 u
2≥0.

Définition

Le nombre réel positif u u

⋅ est appelé carré scalaire du vecteur u
et il est noté _u
2_.

Remarques

•••• Ainsi on a : ∀ ∈u
V u
= u
2 ⇔u
2= u
2

•••• On ne parle pas de « cube scalaire » ou de « u
n » où n> ! 2

Exercices 26 à 38

5)

Vecteur normal et équations d’un plan

• Nous avons vu en A9) que pour connaître un plan α il suffit de connaître un point

A∈ α et deux vecteurs directeurs u et v

non colinéaires de ce plan. En fait un point A et une droite d⊥ α suffisent puisqu’il n’existe qu’un seul plan passant par A et qui est orthogonal à d ! Or pour connaître une telle droite il suffit de connaître un vecteur directeur n
de cette droite qui sera alors orthogonal à tous les vecteurs directeurs du plan α ! Ceci nous amène à poser la définition suivante :

• Définition

Soit un plan α et un vecteur n
dans l’espace. On dit que n
est unvecteur normal à α

si et seulement si n
est un vecteur directeur d’une droite d⊥ α.

Remarque

Si n
est un vecteur normal à α, alors l’ensemble des vecteurs normaux à α est égal à l’ensemble des vecteurs non nuls colinéaires à n
!

• Propriété 1

Soit un plan α de vecteur normal n
et A∈ α , alors :

M M AM n

∀ ∈E ∈ α ⇔
⊥

Démonstration :

Soit d la droite de vecteur directeur n
passant par A. Alors d⊥ α et pour tout M ∈ α :

(

)

(

)

(

) (

)

M AM car A

d AM car est l'unique plan passant par A et orthogonal à d

n AM

∈ α ⇔ ⊂ α ∈ α

⇔ ⊥ α

⇔ ⊥


• Propriété 2

Soit un plan α de l’espace muni d’un R.O.N., a n b c                  
un vecteur normal à α et

(

A A A

)

A x , y , z ∈ α , alors :

(

)

(

)

( )

A A A M x, y, z M x, y, z ax by cz d 0 * où d ax by cz ∀ ∈ ∈ α ⇔ + + + = = − − − E

Définition : On dit que (*) est une équation cartésienne du plan α .

Démonstration :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

A A A A A A A A A M x, y, z AM n d'après propriété 2 AM n 0 d'après C4a x x a y y b 0 d'après B2b z z c x x a y y b z z c 0 d'après C3 ax ax by by cz cz 0 ax by cz d ∈ α ⇔ ⊥ ⇔ ⋅ =  −   _{ }  _ _  _ _  _ _ ⇔_ − _⋅_{ }=     _ _    −       ⇔ − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ = ⇔ − + − + − = ⇔ + + + = 



(

A A A

)

0 en posant: d = −ax −by −cz Exemple

Soit α le plan passant par A

(

−2, 3, 5

)

et de vecteur normal 7 n 4 6 _{− }  _  _  _      _ −   
, alors :

(

)

(

) (

) (

)

(

) (

)

M x, y, z AM n 0 x 2 7 y 3 4 0 z 5 6 x 2 7 y 3 4 z 5 6 0 7x 14 4y 12 6z 30 0 7x 4y 6z 4 0 ∈ α ⇔ ⋅ =  +  _ − _  _ _  _ _  _ _ ⇔_ − _⋅_{ }=  _ _    − −      ⇔ + ⋅ − + − ⋅ + − ⋅ − = ⇔ − − + − − + = ⇔ − + − + = 

On note : α ≡ −7x+4y−6z+ =4 0. Cette équation permet de vérifier facilement si le

plan passe par un point donné ou non :

(

)

( )

! B 2,1, 1− ∈ α car − ⋅ + ⋅ − ⋅ − + =7 2 4 1 6 1 4 0

et C

(

−5, 3, 0

)

∉ α car − ⋅ + ⋅ − ⋅ + = ≠5 2 4 3 6 0 4 6 0.

• Propriété 3 (réciproque de la propriété 2)

Soient a, b, c, d∈ ℝ tel que

(

a, b, c

) (

≠ 0, 0, 0

)

, alors l’ensemble :

(

)

{

}

E= M x, y, z / ax+by+cz+ =d 0 est un plan de vecteur normal n a, b, c

₍

₎

.

Démonstration :

Comme

(

a, b, c

) (

≠ 0, 0, 0

)

l’un au moins des nombres a, b, c est différent de 0, par exemple a≠0, d’où A d, 0, 0 E a  _ − ∈  _   car ! d a b 0 c 0 d d d 0 a  _ − + ⋅ + ⋅ + = − + =  _   .

Appelons α le plan passant par A de vecteur normal n a, b, c

₍

₎

, alors :

(

)

(

)

M x, y, z AM n 0 d x a a y b 0 z c ax d by cz 0 M x, y, z E ∈ α ⇔ ⋅ =  _  +   _{  }  _{ }     _     ⇔_{ }⋅_{ }=    _{ }   _{ }_     _  _     ⇔ + + + = ⇔ ∈ 

Par conséquent E= α , c.q.f.d.

Exercices 39, 40, 41

6)

Equations d’une sphère

• Définition

Soit A un point de l’espace et r un nombre réel strictement positif, alors on appelle

sphère de centre A et de rayon r le lieu des points M tel que AM= . r

Notation : S

(

A, r

) {

= M∈E/ AM=r

}

.

• Propriété 1

Soit A x , y , z

(

_{A A A}

)

un point de l’espace muni d’un R.O.N. et r∈ ℝ , alors : *₊

(

)

(

)

(

)

2

(

)

2

(

)

2 2 A A A M x, y, z ∈S A, r ⇔ x−x + y−y + z−z =r Démonstration :

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

)

)

2 2 2 A A A 2 2 2 ₂ A A A M x, y, z A, r AM r x x y y z z r d'après équation de A, B2c x x y y z z r r ∈ ⇔ = ⇔ − + − + − = ⇔ − + − + − = S S • Propriété 2

Soient A et B deux points de l’espace muni d’un R.O.N., alors le lieu des points M∈ E

tel que MA
⊥MB
est la sphère de diamètre

[

AB

]

, c’est-à-dire la sphère de centre

[

]

I=milieu de AB et de rayon r=AI=BI.

Démonstration :

Soient M∈ E et I le milieu de

_[

AB

_]

, alors :

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2 2 MA MB MA MB 0 d ' après C4a MI IA MI IB 0 relation de Chasles MI MI IB IA MI IA IB 0 d ' après C4d MI MI IB MI IA IA IA 0 d ' après C4c e ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + ⋅ + = ⇔ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⇔ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − = 






















[

]

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 t I = milieu de AB MI MI IA IB IA 0 d 'après C4d

MI MI 0 IA car I = milieu de AB et d 'après C4e

MI 0 IA MI IA M I, IA ⇔ + ⋅ + − = ⇔ + ⋅ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ ∈ S 









Exercices 42 et 43

D)

EQUATIONS D’UN PLAN ET D’UNE DROITE

1)

Equations d’un plan

Nous venons de voir (C5, pages 35 – 37) qu’un plan π est entièrement défini par la donnée d’un point A∈ π et d’un vecteur normal n au plan et que ces données permettent de déterminer une équation cartésienne du plan π.

Par ailleurs nous avons vu également (A 9, pages 17 – 18) qu’un plan π est entièrement défini par la donnée d’un point A∈ π et de deux vecteurs directeurs non colinéaires

u et v  (ou par trois points non alignés A, B, C∈π ce qui revient au même puisqu’alors AB


 et AC



sont bien deux vecteurs directeurs non colinéaires de π). De manière plus précise nous avons vu qu’un point M est dans le plan si et seulement si AM



 est une combinaison linéaire des vecteurs u et v , ce qui va nous permettre de déterminer des équations du plan

π d’une autre façon.

a) Système d’équations paramétriques d’un plan

Soit π un plan donné par un point A x , y , z

(

_{A A A}

)

et deux vecteurs directeurs non colinéaires u u u x u y z            et v v v x v y z           

et M(x, y, z) un point quelconque, alors :

(

)

A u v A u v A u v A u v A u v A u v M x, y, z , AM u v x x x x , y y y y z z z z x x x x , y y y y z z z z ∈ π ⇔ ∃α β∈ = α ⋅ + β⋅ −             ⇔ ∃α β∈ _ − _= α ⋅_{ }+ β⋅_{ }  ₋            − α⋅ + β⋅         ⇔ ∃α β∈ _ − _{ }= α ⋅ + β⋅ _  ₋  _{α ⋅ + β⋅}     



 _{ } ℝ ℝ ℝ D’où :

(

)

AA uu vv A u v x x x x M x, y, z , y y y y z z z z = + α ⋅ + β⋅   ∈π ⇔ ∃α β∈  = + α ⋅ + β⋅  _{= + α ⋅ + β⋅}  ℝ

Ce système est appelé système d’équations paramétriques de π de paramètres et

Exemples • A 7; 3; 2

(

−

)

∈ π de vecteurs directeurs 4 u 9 11     −        et 0 v 5 1       ₋     alors

(

)

x 7 4 y 3 9 5 , z 2 11 = + α   π ≡ = − − α + β α β∈  _{= + α −β}  ℝ • si

(

)

x 5 3 6 y 1 8 , z 23 7 = + α − β   π ≡ = − + α α β∈  _{= − α + β} 

ℝ alors π est le plan passant par A 5; 1; 0

(

−

)

et de vecteurs directeurs 3 u 8 23       ₋     et 6 v 0 7 −            .

Pour obtenir d’autres points de π on choisit n’importe quelles valeurs pour α β et : 1, 3

α = β = : B 5 3 18; 1 8; 23 21

(

+ − − + − +

)

=B

(

−10;7; 2− ∈π

)

,

2, 0

α = − β = : C 5 6; 1 16; 46

(

− − −

)

=C

(

− −1; 17; 46

)

∈ π, etc.

b) Equation cartésienne d’un plan

Reprenons les notations precedents.

• on appelle déterminant des vecteurs u, v et w le déterminant :

(

)

uu vv ww u v w x x x det u, v, w y y y z z z =   

• Nous admettrons sans demonstration la propriété suivante:

w est une combinaison linéaire de u et v ssi det u, v, w

(

  

)

=0

• En utilisant cette propriété on obtient:

(

)

(

)

A u v

A u v

A u v

M x, y, z AM est une combinaison linéaire de u et v det AM, u, v 0 x x x x y y y y 0 z z z z ∈π ⇔ ⇔ = − ⇔ − = −



 _{ }



  

En calculant ce déterminant on obtient une équation de la forme :

(

) (

)

ax+by+ + =cz d 0 avec a, b, c ≠ 0, 0, 0 c’est-à-dire une équation cartésienne de π.

Exemple π défini par :A 3, 5,1

(

−

)

, 2 u 7 9 −            et 5 v 1 4       ₋    

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

) (

) (

)

M x, y, z det AM, u, v 0 x 3 2 5 y 5 7 1 0 z 1 9 4 28 x 3 2 z 1 45 y 5 35 z 1 8 y 5 9 x 3 0 37x 37y 37z 333 0 x y z 9 0 ∈ π ⇔ = − − ⇔ + = − − ⇔ − − − − + + − − − + − − = ⇔ − + − + = ⇔ − + − + = ≡ π



   Remarques

•

La donnée d’un système d’équations paramétrées nous donne immédiatement deux vecteurs directeurs de π alors qu’une equation cartésienne nous fournit le vecteur

normal a n b c            !

•

Deux plans sont parallèles ssi ils ont les mêmes vecteurs directeurs et les memes vecteurs normaux.

•

Deux plans sont orthogonaux ssi leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

Exercices 44 - 54

2)

Systèmes d’équations d’une droite

Il y a deux façons de déterminer une droite d dans l’espace :

d est donnée par un point A x , y , z

(

_{A A A}

)

et un vecteur directeur u u u x u y z            .

(

)

A u A u A u M x, y, z d AM et u sont colinéaires k AM k u x x x k y y k y z z z ∈ ⇔ ⇔ ∃ ∈ = ⋅ −         ⇔ ∃ ∈ _ − _= ⋅_{ }  ₋       



 _



 _ ℝ ℝ

(

)

AA uu A u x x k x M x, y, z d k y y k y z z k z = + ⋅   ∈ ⇔ ∃ ∈  = + ⋅  _{= + ⋅}  ℝ Exemple

(

)

x 17 6k d y 37k k z 5 19k = −   ≡ = ∈  _{= − +} 

ℝ est la droite passant par A 17, 0, 5

(

−

)

de v.d. 6 u 37 19 −            .

d est donnée comme intersection de deux plans π₁ et π₂, chaque plan étant défini par une équation cartésienne.

La droite d est alors déterminée par un système linéaire de deux équations à trois inconnues appelé système d’équations cartésiennes :

ax by cz d 0 d a ' x b ' y c ' z d ' 0 + + + =  ≡ + + + =  Exemple

( )

( )

x y 3z 2 1 d 2x 4y z 1 2 − + =  ≡ + − = 

Pour chercher des points de d il faut résoudre ce système :

( )

1 ⇔ = + −x 2 y 3z

( )

7 1 dans 2 : 4 2y 6z 4y z 1 6y 7z 3 y z 6 2 + − + − = ⇔ − = − ⇔ = −

( )

7 1 11 3 dans 1 : x 2 z 3z x z 6 2 6 2 = + − − ⇔ = − + Ainsi z M 11z 3 7; z 1; z d 6 2 6 2   ∀ ∈ − + − ∈  

ℝ , par exemple pour z=0 on obtient

3 1 A ; ; 0 d 2 2   − ∈  

  , pour z= −3 on obtient B 7; 4; 3

(

− − ∈

)

d, etc.

Exercices 55 - 68

EXERCICES

A) VECTEURS DANS L’ESPACE

1)

Soient A, B et M trois points, montrez que :

a) M = milieu de

[ ]

AB ⇔AM



=MB




b) M = milieu de

[ ]

AB ⇔AB= ⋅2 AM







2)

Soit un triangle quelconque ABC et I le milieu de [BC]. Montrez que AB
+AC
=2AI
_.

3)

Soit ABCD un tétraèdre et I, J, K, L, M, N les milieux de

[ ]

DB ,

[ ]

DC ,

[ ]

DA ,

[ ]

AB ,

[ ]

BC

et

[ ]

AC respectivement (figure !).

a) Montrez que IJNL = # et que MLKJ = #.

b) Déduisez-en que tous les segments ayant pour extrémités les milieux de deux arêtes opposées (càd qui ne se touchent pas) sont concourants en un point qui est leur milieu commun.

4)

Soit ABCDEFGH un cube et I, J, K, L quatre points définis par : 3 AI⋅

=AB




,

AJ 1AE 3 =






,

HK 2HG 3 =





 et LC


= ⋅2 GL




5)

Définition : Un parallélépipède est un solide à 8 sommets dont les 6 faces sont des #. Si

les faces sont des rectangles on dit que c’est un parallélépipède rectangle ou pavé et si les faces sont des carrés c’est un cube !

Soit ABCDEFGH un parallélépipède et I, J, K, L les points d’intersection des diagonales de ABFE, BCGF, CDHG et ADHE respectivement. Montrez que IJKL = #.

6)

Soit ABCD un tétraèdre, et I, J les milieux de

[ ]

AB et

[ ]

CD respectivement. Montrez que

IJ



est une combinaison linéaire de AD



et CB



.

7)

Soit ABCD un tétraèdre et R, S, T, U les points définis par AR 1AC 4 =





 , SD 3AD 4 =





 , 4 BT⋅ =BD





 et 4 BU⋅ =BC





 .

a) Montrez que

(

RSTU = #

)

.

b) Soient I le point d’intersection de

( )

CS et

( )

RD et J le point d’intersection de

( )

DU et

( )

CT . Montrez que

( ) (

IJ  RST

)

.

8)

Soient d1, d2, d3 trois droites parallèles et non coplanaires, A1, B1, C1 trois points sur d1, A2

B2, C2 trois points sur d2, A3, B3, C3 trois points sur d3, F, G, H les centres de gravités des

triangles ∆

(

A A A_{1 2 3}

)

, ∆

(

B B B_{1 2 3}

)

, ∆

(

C C C_{1 2 3}

)

respectivement. Démontrez que :

a) 3FG=A B_{1 1}+A B_{2 2}+A B_{3 3}


















b) F, G, H sont alignés

9)

Soient A, B, C, D quatre points de l’espace et M, N, P, Q les milieux de

[ ]

AB ,

[ ]

BC ,

[ ]

CD et

[ ]

DA respectivement. Démontrez que :

(

2 2

)

2 2