Exercices sur le calcul vectoriel Première S

Exercices sur le calcul vectoriel Première S Exercice 1 On considère les vecteurs − →

u et → −

v ci-dessous :

1. Voir graphique 2. Voir graphique

3. D’après la relation de Chasles :

−−→ BC = −−→ B A + −−→ AC = − − → u − → − v + 2 − → u −3 − → v − → u − 4 → − v . − → u B

C

−

→ v

b

A Exercice 2 On donne une base ( − →

i ; → −

j ) de vecteurs. Exprimez les vecteurs suivants dans cette base :

−

→ i

−

→ j A

B

C

D

b

b b

b

1. −−→

AB = − − → i + 5 → −

j 2. −−→

AC = 11 → − i + 9 − →

j 3. −−→

B A = − → i − 5 → −

j 4. −−→

BC = 12 − → i + 4 → −

j 5. −−→

AD = 5 → − i + 4 − →

j 6. −−→

C D = − 6 → − i − 5 − →

j

Exercice 3 On considère un parallélogramme M N PQ . 1. Construire :

b

M

b

N

b

Q

b

P

b

R

b

S

b

T

2. −−→

T S = − −− → T M + −−→

M S = − 4 −−−→

M N + 4 −−→

P M = − 4 −−→

QP + 4( −−→

PQ + −−−→

Q M ) = − 8 −−→

QP + 4 −−−→

Q M .

3. −−→ T R = −−→ T N + −−→ N R = − 3 −−−→ M N + −−→ Q N = − 3 −−−→ M N + QP −−→ + −−→ P N = − 3 −−→ QP + −−→ QP + −−−→ Q M = 2 QP −−→ + Q M −−−→ . 4. Des questions précédentes, on remarque que −−→

T S = 4 −−→

T R . Donc ces vecteurs sont colinéaires.Nous aurions pu de même effectuer le produit en croix des coordonnées de ces deux vecteurs exprimées dans la base ( −−→

QP , − −−→

Q M ) pour démontrer la colinéarité.

5. Les points T, S et R sont donc alignés.

Exercice 4 ABC est un triangle quelconque. On définit les points M, N et P par les relations : L’idée générale est de choisir une base, ( −−→

AC , −−→

AB ) par exemple et d’exprimer les vecteurs −−−→

M N et −−→

M P , par exemple, en

Lycée Jean Baptiste de Baudre à AGEN

Exercices sur le calcul vectoriel Première S fonction des vecteurs de bases.On a alors, avec la relation de Chasles et les relations données dans l’exercice :

−−−→ M N = − M A −− → + −−→ AN = − 3 2

−−→ AC + 3 4

−−→ AB ;

−−→ M P = − −− → M A + −−→

AB + −−→

B P = − 3 2

−−→ AC + −−→

AB + 1 2

−−→ BC = − 3 2

−−→ AC + −−→

AB + 1 2 ( −−→

B A + −−→

AC ) = − −−→

AC + 1 2

−−→ AB . Ainsi les coordonnées des vecteurs −−−→

M N et −−→

M P sont dans la base ( −−→

AC , −−→

AB ) :







− 3 3 2 4





 et





− 1 1 2





Le produit en croix de ces coordonnées est nul, ce qui démontre la proportionnalité de ces coordonnées. En d’autres termes, les vecteurs −−−→

M N et −−→

M P sont colinéaires et les points M , N et P sont alignés.

On appelle A ^′ le milieu de [BC ]. Alors :

−−→ G A + −−→

GB + −−→

GC = −−→

G A + −−→

G A ^′ + −−→

A ^′ B + −−→

G A ^′ + −−→

A ^′ C = −−→

G A + 2 −−→

G A ^′ car −−→

A ^′ B = − −−→

A ^′ C . Or G est le centre de gravité du triangle donc :

−−→ AG = 2 3

−−→ A A ^′ soit ce qui revient au même : −−→

AG = 2 −−→

G A ^′ D’où : −−→

G A + −−→

GB + −−→

GC = → − 0 Dans la base ( −−→

AB , −−→

AC ), on a :

−−→ AD = 2 −−→

AB + −−→

AC d’une part et −−→

AE = −−→

AB + −−→

B E = −−→

AB + 1 3

−−→ BC = −−→

AB + 1 3 ( −−→

B A + −−→

AC ) = 2 3

−−→ AB + 1 3

−−→ AC d’autre part.

Donc cette décomposition montre que −−→

AE = 1 3

−−→ AD .

Les vecteurs sont donc colinéaires et les points A,E et D alignés.

Exercice 5 On considère un triangle ABC quelconque. On appelle O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC , A ^′ le milieu du segment [BC],B ^′ le milieu du segment [AC ] et C ^′ le milieu du segment [AB].

1. On considère le point H défini par la relation : −−→

OH = −−→

O A + −−→

OB + −−→

OC .(1) (a) −−→

OB + −−→

OC = − −− → O A ^′ + −−→

A ^′ B + − −− → O A ^′ + −−→

A ^′ C = 2 × − −− →

O A ^′ car A ^′ est le milieu de [BC ].

(b) On a :

OH −−→ = −−→

O A + −−→

OB + −−→

−−→ OC O A + −−→

AH = −−→

O A + 2 − −− → O A ^′ donc −−→

AH = 2 − −− → O A ^′ (c) La relation précédente prouve la colinéarité des vecteurs −−→

AH et − −− →

O A ^′ donc le parallélisme des droites (AH ) et (O A ^′ ). Or (O A ^′ ) est la médiatrice de [BC ], donc est perpendiculaire à [BC]. Donc (AH ) est perpendiculaire à (BC).

(d) En utilisant les milieux B ^′ et C ^′ des segments [AC] et [ AB] et en adaptant les questions précédentes, on arrive aux conclusions souhaitées.

(e) On remarque que le point H appartient aux trois hauteurs du triangle ; ce point étant unique,H est l’ortho- centre de ce triangle.

2. On appelle G le centre de gravité du triangle ABC.

Lycée Jean Baptiste de Baudre à AGEN

Exercices sur le calcul vectoriel Première S (a) Voir exercice précédent

(b) Avec la relation de Chasles :

−−→ G A + −−→

GB + −−→

GC = → −

−−→ 0 GO + −−→

O A + −−→

GO + −−→

OB + −−→

GO + −−→

OC = − →

0 d’où 3 −−→

OG = −−→

O A + −−→

OB + −−→

OC (c) On a d’une part −−→

OH = −−→

O A + −−→

OB + −−→

OC et d’autre part −−→

OH = 3 −−→

OG . D’où par transitivité : 3 −−→

OG = −−→

OH (d) La colinéarité des vecteurs −−→

OG et −−→

OH permet de conclure sur l’alignement des points O, H et G.

La droite qui passe par les points O, H et G est appelée droite d’EULER du triangle.

Lycée Jean Baptiste de Baudre à AGEN