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Exercices sur le calcul vectoriel Première S

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Exercices sur le calcul vectoriel Première S Exercice 1 On considère les vecteurs − →

u et → −

v ci-dessous :

1. Construire le point B tel que −−→

AB = − → u + − →

v ; 2. Construire le point C tel que −−→

AC = 2 → − u − 3 − →

v ; 3. Démontrer que : −−→

BC = → − u − 4 − →

v − →

u

v

b

A Exercice 2 On donne une base ( − →

i ; → −

j ) de vecteurs. Exprimez les vecteurs suivants dans cette base :

i

j A

B

C

D

b

b b

b

1. −−→

AB = . . . 2. −−→

AC = . . . 3. −−→

B A = . . . 4. −−→

BC = . . . 5. −−→

AD = . . . 6. −−→

C D = . . .

Exercice 3 On considère un parallélogramme M N PQ .

1. Construire :

– le point R tel que −−→

Q N = −−→

N R ; – le point S tel que −−→

M S = − 4 −−→

M P ; – le point T tel que − −− →

M T = 4 −−−→

M N ; 2. Exprimez le vecteur −−→

T S en fonction des vecteurs −−→

QP et −−−→

Q M . 3. Exprimez le vecteur −−→

T R en fonction des vecteurs −−→

QP et − −−→

Q M . 4. En déduire que les vecteurs −−→

T S et −−→

T R sont colinéaires.

5. Que peut-on dire des points T,S et R ?

Exercice 4 ABC est un triangle quelconque. On définit les points M, N et P par les relations :

− −− → AM = 3

2

−−→ AC ; −−→

AN = 3 4

−−→ AB ; −−→

B P = 1 2

−−→ BC

Démontrer que les points M, N et P sont alignés.

Exercice 5 Soit ABC un triangle quelconque et G son centre de gravité. Démontrer que : G A −−→ + −−→

GB + −−→

GC = − → 0

Lycée Jean Baptiste de Baudre à AGEN

(2)

Exercices sur le calcul vectoriel Première S Exercice 6 ABC est un triangle quelconque. Les points D et E sont définis par :

−−→ AD = 2 −−→

AB + −−→

AC et −−→

B E = 1 3

−−→ BC

Démontrer que les points A, D et E sont alignés.

Exercice 7 On considère un triangle ABC quelconque. On appelle O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC , A

le milieu du segment [BC],B

le milieu du segment [AC ] et C

le milieu du segment [AB].

1. On considère le point H défini par la relation : −−→

OH = −−→

O A + −−→

OB + −−→

OC .(1) (a) Justifier que −−→

OB + −−→

OC = 2 − −− → O A

; (b) En déduire de la relation (1) que : −−→

AH = 2 − −− → O A

(c) Démontrer alors que les droites (AH ) et (BC ) sont perpendiculaires.

(d) De la même façon, en déduire que les droites (B H ) et (AC ) sont perpendiculaires.

(e) Que représente le point H pour le triangle ABC ? 2. On appelle G le centre de gravité du triangle ABC.

(a) Démontrer que : −−→

G A + −−→

GB + −−→

GC = − → 0 (b) En déduire que : 3 −−→

OG = −−→

O A + −−→

OB + −−→

OC

(c) En déduire d’après les questions précédentes que :3 −−→

OG = −−→

OH

(d) Que peut-on dire de l’orthocentre, du centre de cercle circonscrit et du centre de gravité d’un triangle ? La droite qui passe par les points O, H et G est appelée droite d’EULER du triangle.

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