Calcul vectoriel

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Calcul vectoriel

1) NOTION DE SCALAIRE. ... 1

2) DÉFINITION D’UN VECTEUR. ... 1

Une direction ... 1

Un sens ... 1

Une norme (ou intensité, module). ... 1

3) NOTION DE BASE ET REPÈRE ORTHONORMÉS DIRECTS. ... 2

31) B

ASE ORTHONORMÉE DIRECTE

. ... 2

32) R

EPÈRE ORTHONORMÉ DIRECT

. ... 2

4) COMPOSANTES D’UN VECTEUR. ... 2

5) NORME D’UN VECTEUR. ... 2

6) PROJECTION D’UN VECTEUR DANS LE PLAN. ... 3

7) OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS. ... 3

71) S

OMME

. ... 3

72) P

RODUIT SCALAIRE

. ... 3

73) P

RODUIT VECTORIEL

. ... 3

74) P

RODUIT MIXTE

. ... 4

Objectif : La notion de vecteur est omniprésente dans le cours de mécanique, pour modéliser par exemple les vitesses en cinématique ou les forces en statique. Aussi est-il nécessaire de faire quelques rappels utiles.

1) Notion de scalaire.

Les scalaires sont des nombres positifs, négatifs ou nul, utilisés pour représenter des quantités diverses : temps, température, masse, énergie,...

Par exemple : une hauteur de 20 m, un volume de 18 m³, une puissance de 200 MW,...

2) Définition d’un vecteur.

Un vecteur est une grandeur définie par :

Une direction

Droite qui porte le vecteur

Un sens

Orientation origine-extrémité du vecteur, symbolisé par une flèche

Une norme (ou intensité, module).

Valeur de la grandeur mesurée par le vecteur, notée V V

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3) Notion de base et repère orthonormés directs.

31) Base orthonormée directe.

Une base orthonormée est constituée de trois vecteurs, perpendiculaires entre eux et de norme (longueur) unitaire x  y  z 1.

Pour que cette base soit directe, on trace d’abord les deux premiers vecteurs x et y formant le plan ( , )x y , puis le 3^ème vecteur z perpendiculairement au plan ( , )x y et dont le sens est déterminé par la règle :

- des trois doigts de la main droite, - du tire-bouchon,

- de la vis.

On note la base B x y z( , , ) et on la représente par

32) Repère orthonormé direct.

Un repère est constitué : - d’une base

- d’un point donné, origine du repère.

Remarque : Par défaut, lorsque nous n’explicitons pas la base ou le repère, nous supposons qu’ils sont orthonormés directs.

4) Composantes d’un vecteur.

Dans une base B x y z( , , ) de l’espace vectoriel, il existe 3 réels x, y et z, appelés composantes de V , tels

que l’on puisse écrire de façon unique : . . .

B

x

V x x y y z z y

z

    .

NB : il ne faut pas confondre : • x la composante du vecteur V suivant la direction x,

• x, le vecteur unitaire de la base B suivant la direction x.

5) Norme d’un vecteur.

Dans une base B, la norme (notée V ) d’un vecteur

B

x

V y

z

 peut se calculer par : V  x²y²z² x

z y

Notation : R O x y z( , , , )

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6) Projection d’un vecteur dans le plan.

1) Les textes des énoncés nous donnent des informations. Mais nous ne tiendrons JAMAIS COMPTE : - du schéma réalisé dans une position particulière…

- de la valeur algébrique des angles (120°, -36°, 85°…).

2) Nous réaliserons des figures planes avec un angle dans le sens trigonométrique autour de +15°.

Pour réaliser ces figures planes, nous commencerons toujours par tracer le vecteur commun aux 2 bases, puis nous placerons les autres vecteurs de façon à obtenir des trièdres directs.

3) Nous nous retrouverons donc avec une figure de ce type où seulement 4 projections sont à connaître :

Nous pouvons vérifier facilement que nos projections fonctionnent pour toutes les valeurs algébriques de . Prenons par exemple les cas particuliers où   0 , 90 , 180 et 90.

7) Opérations sur les vecteurs.

Soient deux vecteurs : Ax_A.xy_A.yz z_A. et Bx x_B. y_B.yz z_B. ,

71) Somme.

( _{A B}). ( _{A B}). ( _{A B}).

SA B x x x y y y z z z

72) Produit scalaire. 73) Produit vectoriel.

Définition

Le produit scalaire des 2 vecteurs A et B est : un scalaire, noté .A B, tel que :

. . .cos( , )

A B A B A B

(Ce nombre peut être positif ou négatif).

Le produit vectoriel des 2 vecteurs A et B est : un vecteur, noté AB :

- de direction perpendiculaire au plan ( , )A B - de sens tel que le trièdre ( , ,A B AB) soit

direct (règle des 3 doigts de la main droite) - de norme AB  A. B . sin( , )A B

Remarque

0

. 0 0

cos( . ) 0 soit A

A B soit B

soit A B A B

 

  

   



0

0 0

sin( . ) 0 / /

soit A

A B soit B

soit A B A B

 

   

  



Propriétés A B. B A.

.( ) . .

A BC A BAC

A   B B A

( )

A BC A  B A C Autre Si A et B sont écrits dans la même base,

Alors A B. x_A.x_B y_A.y_B z z_A. _B

Double produit vectoriel (formule de Gibbs) :

( ) ( . ) ( . )

A BC  B AC  C A B

A B

S

y1

x1

0 1

z z





x0 y0

1 cos . 0 sin . 0

x  x  y x₀ cos .x₁sin .y₁

1 sin . 0 cos . 0

y   x  y y₀ sin .x₁cos .y₁

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Pour déterminer un produit scalaire ou un produit vectoriel, 3 cas sont envisageables :

Exemples pour le produit scalaire. Exemples pour le produit vectoriel.

1^re cas : si les 2 vecteurs sont dans la même base.

Ex : x₁₇ et z₁₇

3. 3 0 x y 

3. 3 0 y z 

3. 3 0 z x 

3. 3 3. 3 3. 3 1 x x y y z z 

L’ordre des vecteurs dans une base directe est x, y, z, x, y, z…

Ainsi dans le sens direct, on a :

3 3 3

x y z

3 3 3

y z x

3 3 3

z x y

Et dans le sens indirect (horaire) :

3 3 3

z y  x

3 3 3

y x  z

3 3 3

x z  y

3 3 3 3 3 3 0

x x y y z z 

2^ème cas : si les 2 vecteurs sont définis dans la même figure plane.

Ex :

y1

x1

0 1

z z





x0 y0

0. 1 cos x x  

1. 0 cos x x  

0. 1 cos( ) x y 2

  

0. 1 cos( ) y x 2

  

0. 1 cos y y  

0 1 sin . 0

x x   z

1 0 sin . 0

x x   z

0 1 sin( ). 0

x y 2 z

    

0 1 sin( ). 0

y x 2 z

    

0 1 sin . 0

y y  z

3^ème cas : si les 2 vecteurs sont :

- ni de la même base ; - et ni définis dans la même

figure plane.

Ex : x₁₇ et z₁₄

Il faut projeter un des 2 vecteurs pour retomber dans l’un des 2 cas précédents.

NB : C’est la SEULE et UNIQUE fois que l’on projette en Mécanique…

74) Produit mixte.

Définition : Le produit mixte des 3 vecteurs A, B et C est le scalaire, noté ( , , )A B C , tel que : ( , , )A B C (AB C). A B.( C)

Propriétés : Changement de signe si l’on permute 2 vecteurs : ( , , )A B C  ( , , )B A C Permutation circulaire : ( , , )A B C ( , , )B C A ( , , )C A B