Sciences de l’ingénieur en MPSI et PCSI

(1)

Sciences de l’ingénieur en MPSI et PCSI

Découverte CPGE

Vendredi 15 janvier 2016

Lycée Carnot - Dijon

Germain Gondor (Lycée Carnot, Dijon) Découverte CPGE Lycée Carnot - 15/01/2016 1 / 52

(2)

Sommaire

1 Introduction

2 Ingénierie système

3 Étude comportementale

4 Modélisation cinématique

5 Équilibre du bras

6 Un peu de cours

(3)

Introduction

Sommaire

1 Introduction Robot Magali Robot MaxPID

2 Ingénierie système

3 Étude comportementale

4 Modélisation cinématique

5 Équilibre du bras

6 Un peu de cours

(4)

Introduction Robot Magali

Robot cueilleur de fruits

(5)

Introduction Robot Magali

Robot cueilleur de fruits

(6)

Introduction Robot MaxPID

Robot didactisé MaxPID

(7)

Ingénierie système

Sommaire

1 Introduction

2 Ingénierie système

3 Étude comportementale

4 Modélisation cinématique

5 Équilibre du bras

6 Un peu de cours

(8)

Satisfaction client !

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

Étude comportementale

Sommaire

1 Introduction

2 Ingénierie système

3 Étude comportementale

Modélisation par blocs fonctionnels Expériences

Modélisation Simulations

4 Modélisation cinématique

5 Équilibre du bras

6 Un peu de cours

(15)

Étude comportementale Modélisation par blocs fonctionnels

(16)

Étude comportementale Expériences

Déplacement du bras de 60 ^◦ réglage 1

(17)

(18)

Déplacement du bras de 60 ^◦ réglage 2

(19)

(20)

Étude comportementale Modélisation

Schéma bloc

(21)

Étude comportementale Modélisation

Schéma bloc

(22)

Étude comportementale Simulations

(23)

Modélisation cinématique

Sommaire

1 Introduction

2 Ingénierie système

3 Étude comportementale

4 Modélisation cinématique Etude des liaisons Paramétrage

5 Équilibre du bras

6 Un peu de cours

(24)

Modélisation cinématique Etude des liaisons

(25)

(26)

Classes d’équivalences cinématique

Représentation spatiale (bras à 90 ^◦ )

(27)

Représentation plane (bras à 30 ^◦ )

(28)

Schéma cinématique

Le schéma ci-dessous représente le mécanisme, il ne comporte que les solides : bâti 1 , palier de vis 2 , vis 3 , écrou 4 , bras 5 .

(29)

Modélisation cinématique Paramétrage

Paramétrage

On appelle :

# »

AC = a . #» x 5 , # »

AB = b . #» y 1 , # »

BC = x . #» x 3

θ ₃₁ = ( #» x 1 , #» x 3 ) , θ ₅₁ = ( #» x 1 , #» x 5 ) , θ = ( #» x ₁ ^′ , #» x 1 ) = cste = 40 ^◦

(30)

Paramétrage

On appelle :

# »

AC = a . #» x 5 , # »

AB = b . #» y 1 , # »

BC = x . #» x 3

θ ₃₁ = ( #» x 1 , #» x 3 ) , θ ₅₁ = ( #» x 1 , #» x 5 ) , θ = ( #» x ₁ ^′ , #» x 1 ) = cste = 40 ^◦

#» x 1 est une direction liée au bâti 1

(31)

Paramétrage

On appelle :

# »

AC = a . #» x 5 , # »

AB = b . #» y 1 , # »

BC = x . #» x 3

θ ₃₁ = ( #» x 1 , #» x 3 ) , θ ₅₁ = ( #» x 1 , #» x 5 ) , θ = ( #» x ₁ ^′ , #» x 1 ) = cste = 40 ^◦

#» x 1 est une direction liée au bâti 1

(32)

Paramétrage

On appelle :

# »

AC = a . #» x 5 , # »

AB = b . #» y 1 , # »

BC = x . #» x 3

θ ₃₁ = ( #» x 1 , #» x 3 ) , θ ₅₁ = ( #» x 1 , #» x 5 ) , θ = ( #» x ₁ ^′ , #» x 1 ) = cste = 40 ^◦

#» x 1 est une direction liée au bâti 1

# » AB + # »

BC + # »

CA = b. #» y ₁ + x . x #» ₃ − a. #» x ₅ = #» 0

(33)

Paramétrage

On appelle :

# »

AC = a . #» x 5 , # »

AB = b . #» y 1 , # »

BC = x . #» x 3

θ ₃₁ = ( #» x 1 , #» x 3 ) , θ ₅₁ = ( #» x 1 , #» x 5 ) , θ = ( #» x ₁ ^′ , #» x 1 ) = cste = 40 ^◦

#» x 1 est une direction liée au bâti 1

# » AB + # »

BC + # »

CA = b. #» y ₁ + x . x #» ₃ − a. #» x ₅ = #» 0

(34)

Paramétrage

On appelle :

# »

AC = a . #» x 5 , # »

AB = b . #» y 1 , # »

BC = x . #» x 3

θ ₃₁ = ( #» x 1 , #» x 3 ) , θ ₅₁ = ( #» x 1 , #» x 5 ) , θ = ( #» x ₁ ^′ , #» x 1 ) = cste = 40 ^◦

#» x 1 est une direction liée au bâti 1

# » AB + # »

BC + # »

CA = b. #» y ₁ + x . x #» ₃ − a. #» x ₅ = #» 0

b . #» y 1 + x . #» x 3 − a . #» x 5 = #» 0 ⇒

 

 

 



x . cos( θ ₃₁ ) − a . cos( θ ₅₁ ) = 0 b + x . sin(θ ₃₁ ) − a. sin(θ ₅₁ ) = 0

(35)

Paramétrage

On appelle :

# »

AC = a . #» x 5 , # »

AB = b . #» y 1 , # »

BC = x . #» x 3

θ ₃₁ = ( #» x 1 , #» x 3 ) , θ ₅₁ = ( #» x 1 , #» x 5 ) , θ = ( #» x ₁ ^′ , #» x 1 ) = cste = 40 ^◦

#» x 1 est une direction liée au bâti 1

# » AB + # »

BC + # »

CA = b. #» y ₁ + x . x #» ₃ − a. #» x ₅ = #» 0

b . #» y 1 + x . #» x 3 − a . #» x 5 = #» 0 ⇒

 

 

 



x . cos( θ ₃₁ ) − a . cos( θ ₅₁ ) = 0 b + x . sin(θ ₃₁ ) − a. sin(θ ₅₁ ) = 0

⇔

 

 

 



x . cos(θ ₃₁ ) = a. cos(θ ₅₁ ) x . sin( θ ₃₁ ) = a . sin( θ ₅₁ ) − b

(36)

Figures planes de calcul

− − → x _1p

− − → y _1p

−

→ z ₁ − − → z _1p

−

→ x ₁

−

→ y ₁

θ − →

x 1

−

→ y ₁

−

→ z ₃ → − z ₁

−

→ x ₃

−

→ y ₃

θ ₃₁

−

→ x ₁

−

→ y ₁

−

→ z 5 → − z 1

−

→ x ₅

−

→ y 5

θ ₅₁ − − →

x 1p

− − → y 1p

−

→ z ₅ − − → z _1p

−

→ x ₅

−

→ y ₅

θ ₅₁ ^′

(37)

(38)

En élevant au carré chacune des équations : x ² . cos( θ ₃₁ ) ² = a ² cos( θ ₅₁ ) ²

x ² . sin( θ ₃₁ ) ² = a ² sin( θ ₅₁ ) ² − 2 . b . a . sin( θ ₅₁ ) + b ² puis en en faisant la somme:

x ² = a ² + b ² − 2 . b . a . sin( θ ₅₁ ) = a ² + b ² − 2 . b . a . sin( θ ₅₁ ^′ − θ )

(39)

On note :

• θ ₃₄ l’angle de rotation de la vis par rapport à l’écrou ( #» z ₄ = #» z ₁ ).

• n 34 le nombre de tours de vis correspondant à θ ₃₄ .

• p le pas de la vis (lorsque la vis fait un tour l’écrou se déplace de la valeur du pas). Pour θ ₅₁ ^′ on prend θ ₃₄ , x vaut alors x ₀ .

(40)

On note :

• θ ₃₄ l’angle de rotation de la vis par rapport à l’écrou ( #» z ₄ = #» z ₁ ).

• n 34 le nombre de tours de vis correspondant à θ ₃₄ .

• p le pas de la vis (lorsque la vis fait un tour l’écrou se déplace de la valeur du pas). Pour θ ₅₁ ^′ on prend θ ₃₄ , x vaut alors x ₀ .

n ₃₄ = x 0 − x p

(41)

On note :

• θ ₃₄ l’angle de rotation de la vis par rapport à l’écrou ( #» z ₄ = #» z ₁ ).

• n 34 le nombre de tours de vis correspondant à θ ₃₄ .

• p le pas de la vis (lorsque la vis fait un tour l’écrou se déplace de la valeur du pas). Pour θ ₅₁ ^′ on prend θ ₃₄ , x vaut alors x ₀ .

n ₃₄ = x 0 − x

p et θ ₃₄ = 2 .π. x 0 − x p

(42)

Équilibre du bras

Sommaire

1 Introduction

2 Ingénierie système

3 Étude comportementale

4 Modélisation cinématique

5 Équilibre du bras

6 Un peu de cours

(43)

Équilibre du bras

Objectifs : Calcul du couple théorique du moteur pour maintenir l’ensemble en équilibre.

Hypothèses :

• On est à l’équilibre

• On néglige l’action mécanique de la pesanteur sur

l’ensemble des pièces autres que les masses concentrées

• Toutes les liaisons sont considérées comme parfaites

• Le moteur exerce entre 4 et 3 un moment noté C m , dirigé selon #» x 1 . En D, une masse ponctuelle est accrochée (masse m, direction de la pesanteur − #» y ₀ )

(44)

Équilibre du bras

(45)

Équilibre du bras

0 1 2 3

4 Pivot (B, #»

Z

0

)

Pivot glissant (C, #»

Z

₀

) hélicoïdale

(O, #»

X

1

)

Pivot (O, #»

X

1

)

Sphérique à doigt (0, #»

X

₁

)

Gravitation

#» g = − #»

Y

₀

C #»

₄→3

= C

_m

. #»

X

₁

(46)

Équilibre du bras

( F ₁ _→ ₀

)

=

B

 

 

 



X ₁₀ L ₁₀ Y 10 M 10

Z ₁₀ 0

 

 

 

 B

₁

=

B

 



  X ₁₀ . #»

X ₁ + Y ₁₀ . #»

Y ₁ + Z ₁₀ . #»

Z ₁ L ₁₀ . #»

X ₁ + M ₁₀ . #»

Y ₁

 



  (

F ₂ _→ ₁ )

=

C

 

 

 



X ₂₁ L ₂₁ Y 21 M 21

0 0

 

 

 

 B

₁

=

C

 



 

X ₂₁ . #»

X ₁ + Y ₂₁ . #»

Y ₁ L ₂₁ . #»

X ₁ + M ₂₁ . #»

Y ₁

 



  (

F ₃ _→ ₂ )

=

O



 

 

 

 

X ₃₂ p 2.π X ₃₂ Y ₃₂ M ₃₂ Z 32 N 32



 

 

 

 

B

₁

=

O

 

 

 



X ₃₂ . #»

X ₁ + Y ₃₂ . #»

Y ₁ + Z ₃₂ . #»

Z ₁ 2 p .π X ₃₂ . #»

X ₁ + M ₃₂ . #»

Y ₁ + N ₃₂ . #»

Z (

F ₄ _→ ₃ )

=

O

 

 

 



X 43 0 Y ₄₃ M ₄₃ Z 43 N 43

 

 

 

 B

₁

=

O

 



 

X 43 . #»

X 1 + Y 43 . #»

Y 1 + Z 43 . #»

Z 1

L ₄₃ . #»

X ₁ + M ₄₃ . #»

Y ₁ + N ₄₃ . #»

Z ₁

 



  (

F ₄ _→ ₀ )

=

O

 

 

 



X ₄₀ L ₄₀ Y ₄₀ 0 Z ₄₀ 0

 

 

 

 B

₁

=

O

 



  X ₄₀ . #»

X ₁ + Y ₄₀ . #»

Y ₁ + Z ₄₀ . #»

Z ₁ L ₄₀ . #»

X ₁

 



 

(47)

Équilibre du bras

Nous avons au total 23 inconnues d’efforts dans les liaisons et une inconnue liée au couple moteur. Il nous faut donc 24 équations indépendantes pour résoudre complètement le problème. Nous pouvons obtenir 24 équations, en isolant 4 systèmes de solides indépendants et en leur appliquant le principe fondamental de la statique.

(48)

Équilibre du bras

−

→ x 0

−

→ y ₀

−

→ z ₁ → − z ₀

−

→ x ₁

−

→ y ₁

α → −

x 0

−

→ y ₀

−

→ z ₂ → − z ₀

−

→ x ₂

−

→ y ₂

θ

−

→ x ₁

−

→ y ₁

−

→ z ₂ → − z ₁

−

→ x ₂

−

→ y ₂

θ − α

(49)

Équilibre du bras

On isole la pièce 1

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 1

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₀ → 1)

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₂ → 1)

◮

Action mécanique de la gravitation : (

F _g→ ₁ )

= D

n − m . g . #» y 0 o

◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 1 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x ₀ , #» y ₀ , #» z ₀ ):

( F ₀ _→ ₁

) +

( F ₂ _→ ₁

) +

( F _g→ ₁

)

= (

0 )

(50)

Équilibre du bras

Exprimons alors cette égalité au point B:

( F

_g_→₁

)

=

D

− m . g . #»

Y 0

=

B

 

 



 

 

− m.g. #»

Y ₀

# » BD ∧

− m . g . #»

Y ₀

 

 



 

 

=

B

 

 



 

 

− m.g. #»

Y L . #»

X ₂ ∧

− m . g

( F

₂_→₁

)

=

C

( X

21

. #»

X

1

+ Y

21

. #»

Y

1

L

21

. #»

X

1

+ M

21

. #»

Y

1

)

=

B

 

 

 

 



X

21

. #»

X

1

+ Y

21

. #»

Y

1

L

₂₁

. #»

X

₁

+ M

₂₁

. #»

Y

₁

+ # »

|{z} BC

l.#»

X2

∧ X

₂₁

. #»

X

( F

₂_→₁

)

=

B

( X

21

. #»

X

1

+ Y

21

. #»

Y

1

L

21

. #»

X

1

+ M

21

. #»

Y

1

+ l. ( − X

21

. sin(θ − α) + Y

21

. cos(θ − α)) #»

Z

0

(51)

Équilibre du bras

ce qui nous conduit au système:

 

 

 

 



X 10 = X 21 − m . g . sin( α ) Y 10 = Y 21 − m . g . cos( α )

0 = Z 21

L 10 = L 21

M 10 = M 21

0 = l . ( − X 21 . sin( θ − α ) + Y 21 . cos( θ − α )) − m . g . L

(52)

Équilibre du bras

On isole la pièce 2

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 2

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₁ → 2)

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₃ → 2)

◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 2 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x ₀ , #» y ₀ , #» z ₀ ):

( F ₃ _→ ₂

) +

( F ₁ _→ ₂

)

= (

0 )

⇒ (

F ₃ _→ ₂ )

= (

F ₂ _→ ₁ )

(53)

Équilibre du bras

Exprimons alors cette égalité au point O:

( F

₂_→₁

)

=

C

( X

₂₁

. #»

X

₁

+ Y

₂₁

. #»

Y

₁

L

21

. #»

X

1

+ M

21

. #»

Y

1

)

=

O

 

 

 

 



X

21

. #»

X

1

+ Y

21

. #»

Y

1

L

₂₁

. #»

X

₁

+ M

₂₁

. #»

Y

₁

+ # »

|{z} OC

λ.#»

X1

∧ X

₂₁

. #»

X

( F

₂_→₁

)

=

O

( X

₂₁

. #»

X

₁

+ Y

₂₁

. #»

Y

₁

L

₂₁

. #»

X

₁

+ M

₂₁

. #»

Y

₁

+ λ.Y

₂₁

#»

Z

₀

)

ce qui nous conduit au système:



 



 



X

₃₂

= X

₂₁

Y

32

= Y

21

Z

₃₂

= Z

₂₁

2.π p .X

₃₂

= L

₂₁

M

₃₂

= M

₂₁

N

32

= λ.Y

21

(54)

Équilibre du bras

On isole la pièce 3

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3

(55)

Équilibre du bras

On isole la pièce 3

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₄ → 3)

(56)

Équilibre du bras

On isole la pièce 3

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₄ → 3)

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₂ → 3)

(57)

Équilibre du bras

On isole la pièce 3

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₄ → 3)

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₂ → 3)

◮

Le couple moteur

 

 

 

 F _C

_m

 

 

 



=

O

 



 

#» 0 C m #»

X ₁

 



 

(58)

Équilibre du bras

On isole la pièce 3

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₄ → 3)

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₂ → 3)

◮

Le couple moteur

 

 

 

 F _C

_m

 

 

 



=

O

 



 

#» 0 C m #»

X ₁

 



 

◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 3 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x

₀

, #» y

₀

, #» z

₀

):

( F

₄_→₃

) +

( F

₂_→₃

) +

 

 

 



F #»

_C_m

 

 

 

 = (

0 )

(59)

Équilibre du bras

On isole la pièce 3

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 3

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₄ → 3)

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₂ → 3)

◮

Le couple moteur

 

 

 

 F _C

_m

 

 

 



=

O

 



 

#» 0 C m #»

X ₁

 



 

◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 3 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x

₀

, #» y

₀

, #» z

₀

):

( F

₄_→₃

) +

( F

₂_→₃

) +

 

 

 



F #»

_C_m

 

 

 

 = (

0 )

◦ Exprimons alors cette égalité au point O:

ce qui nous conduit au système:

 

 

 

 

X

₄₃

= X

₃₂

Y

43

= Y

32

Z

₄₃

= Z

₃₂

C

m

= p

2.π X

32

(60)

Équilibre du bras

On isole la pièce 4

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4

(61)

Équilibre du bras

On isole la pièce 4

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₀ → 4)

(62)

Équilibre du bras

On isole la pièce 4

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₀ → 4)

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₃ → 4)

(63)

Équilibre du bras

On isole la pièce 4

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₀ → 4)

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₃ → 4)

◮

Le couple moteur −

 

 

 

 F _C

_m

 

 

 



=

O

 



 

#» 0

− C m #»

X ₁

 



 

(64)

Équilibre du bras

On isole la pièce 4

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₀ → 4)

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₃ → 4)

◮

Le couple moteur −

 

 

 

 F _C

_m

 

 

 



=

O

 



 

#» 0

− C m #»

X ₁

 



 

◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 4 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x

0

, #» y

0

, #» z

0

):

( F

_0→4

) +

( F

_3→4

)

−

 

 

 

 F

_C

m

 

 

 

 = (

0 )

( F

_4→0

) +

( F

_4→3

) +



 



 

 F

_C

m



 



 

 = (

0 )

(65)

Équilibre du bras

On isole la pièce 4

◦ On fait le bilan des actions mécaniques exercées sur 4

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₀ → 4)

◮

Efforts de liaisons #»

F ₍₃ → 4)

◮

Le couple moteur −

 

 

 

 F _C

_m

 

 

 



=

O

 



 

#» 0

− C m #»

X ₁

 



 

◦ D’après le principe fondamental de la statique appliqué à 4 dans le repère supposé galiléen R (O, #» x

0

, #» y

0

, #» z

0

):

( F

_0→4

) +

( F

_3→4

)

−

 

 

 

 F

_C

m

 

 

 

 = (

0 )

( F

_4→0

) +

( F

_4→3

) +



 



 

 F

_C

m



 



 

 = (

0 )

◦ Exprimons alors cette égalité au point O:

ce qui nous conduit au système:



 

 

 

 

X

₄₀

+ X

₄₃

= 0 Y

40

+ Y

43

= 0 Z

40

+ Z

43

= 0 L

40

+ C

_m

= 0 M

43

= 0 N

43

= 0

(66)

Équilibre du bras

Nous obtenons alors un système de 24 équations à 24

inconnues. Le rang du système est a priori de 24. Le système est donc isostatique: tous les actions mécaniques sont donc déterminables. Reprenons le système global:

 

 

 

 



X ₁₀ = X ₂₁ − m . g . sin( α ) Y ₁₀ = Y ₂₁ − m . g . cos( α )

0 = Z ₂₁ L ₁₀ = L ₂₁ M ₁₀ = M ₂₁

0 = l .

− X 21 . sin( θ − α ) +Y 21 . cos( θ − α )

− m.g.L

 

 



 

 

X ₃₂ = X ₂₁ Y ₃₂ = Y ₂₁ Z ₃₂ = Z ₂₁ 2 p .π .X ₃₂ = L ₂₁ M ₃₂ = M ₂₁

N ₃₂ = λ.Y ₂₁

(67)

Équilibre du bras

 

 



 

 

X ₄₃ = X ₃₂ Y ₄₃ = Y ₃₂ Z ₄₃ = Z ₃₂ C m = p

2 .π X ₃₂ M ₄₃ = M ₃₂

N ₄₃ = N ₃₂

 

 

 

 



X 40 + X 43 = 0 Y 40 + Y 43 = 0 Z 40 + Z 43 = 0 L 40 + C m = 0 M 43 = 0 N 43 = 0

(68)

Équilibre du bras

On rappelle que le but est de trouver le couple moteur C _m en fonction des masses m et des angles α et θ .

Sciences de l’ingénieur en MPSI et PCSI