Sciences de l’ingénieur en MPSI et PCSI

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Sciences de l’ingénieur en MPSI et PCSI

Découverte CPGE

Vendredi 13 janvier 2017

Lycée Carnot - Dijon

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Sommaire

1 Introduction

2 Approche fonctionnelle et structurelle du système

3 Approche par modélisations, simulations et expérimentations

4 Conclusions

Germain Gondor (Lycée Carnot, Dijon) Découverte CPGE Lycée Carnot - 13/01/2017 2 / 49

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Introduction

Sommaire

1 Introduction

Problématique - besoin client Approche par compétences Support de l’étude

2 Approche fonctionnelle et structurelle du système

3 Approche par modélisations, simulations et expérimentations

(4)

Introduction Problématique - besoin client

Problématique - besoin client

(5)

Introduction Approche par compétences

Approche par compétences

• décrire un système d’un point de vu global en termes de structure et fonctionnalité

• associer puis valider des critères de performances

• établir des modèles de connaissances et de comportement du système

• identifier et caractériser le système

• simuler le modèle et comparer les données simulées aux

données expérimentales

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Approche par compétences

• décrire un système d’un point de vu global en termes de structure et fonctionnalité

• associer puis valider des critères de performances

• établir des modèles de connaissances et de comportement du système

• identifier et caractériser le système

• simuler le modèle et comparer les données simulées aux données expérimentales

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Approche par compétences

• décrire un système d’un point de vu global en termes de structure et fonctionnalité

• associer puis valider des critères de performances

• établir des modèles de connaissances et de comportement du système

• identifier et caractériser le système

• simuler le modèle et comparer les données simulées aux

données expérimentales

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Approche par compétences

• décrire un système d’un point de vu global en termes de structure et fonctionnalité

• associer puis valider des critères de performances

• établir des modèles de connaissances et de comportement du système

• identifier et caractériser le système

• simuler le modèle et comparer les données simulées aux données expérimentales

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Approche par compétences

• décrire un système d’un point de vu global en termes de structure et fonctionnalité

• associer puis valider des critères de performances

• établir des modèles de connaissances et de comportement du système

• identifier et caractériser le système

• simuler le modèle et comparer les données simulées aux

données expérimentales

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Approche par compétences

• décrire un système d’un point de vu global en termes de structure et fonctionnalité

• associer puis valider des critères de performances

• établir des modèles de connaissances et de comportement du système

• identifier et caractériser le système

• simuler le modèle et comparer les données simulées aux données expérimentales

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Introduction Support de l’étude

Support de l’étude : Cordeuse de raquettes

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Approche fonctionnelle et structurelle du système

Sommaire

1 Introduction

2 Approche fonctionnelle et structurelle du système Approche fonctionnelle

Approche structurelle Approche expérimentale

3 Approche par modélisations, simulations et expérimentations

4 Conclusions

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Approche fonctionnelle et structurelle du système Approche fonctionnelle

Problème initial

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Contexte

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Attentes du client

Corder une raquette rapi- dement et de manière pré- cise

Contraintes

Régler la tension de la corde tous les dixièmes de Kgf

Coût modeste /

Respecter les normes de sé-

curité /

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Mise en tension de la corde

(17)

Prise en main

(18)

Approche fonctionnelle et structurelle du système Approche structurelle

Présentation générale du système

(19)

Ensemble des composants de la cordeuse

(20)

Description du mécanisme de mise en tension

(21)

Principe de fonctionnement

(22)

Régulation

(23)

Approche fonctionnelle et structurelle du système Approche expérimentale

Capteurs

jauges de contraintes

(24)

Capteurs

pont de Wheatstone

(25)

Expériences

Brin tendu directement

(26)

Expériences

Cordage

(27)

Expériences

Cordage

(28)

Conclusions des élèves

• Machine fidèle mais pas précise, est-ce un problème ?

• Manipulations assez proches de la réalité pour conclure en toute précision ?

• Quelles conditions de manipulations nous paraîtraient meilleures ?

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Conclusions des élèves

• Machine fidèle mais pas précise, est-ce un problème ?

• Manipulations assez proches de la réalité pour conclure en toute précision ?

• Quelles conditions de manipulations nous paraîtraient

meilleures ?

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Conclusions des élèves

• Machine fidèle mais pas précise, est-ce un problème ?

• Manipulations assez proches de la réalité pour conclure en toute précision ?

• Quelles conditions de manipulations nous paraîtraient meilleures ?

(31)

Conclusions des élèves

• Machine fidèle mais pas précise, est-ce un problème ?

• Manipulations assez proches de la réalité pour conclure en toute précision ?

• Quelles conditions de manipulations nous paraîtraient

meilleures ?

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Approche par modélisations, simulations et expérimentations

Sommaire

1 Introduction

2 Approche fonctionnelle et structurelle du système

3 Approche par modélisations, simulations et expérimentations Construction du modèle

Simulations numériques

Recherches des valeurs numériques Expériences

4 Conclusions

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Approche par modélisations, simulations et expérimentations Construction du modèle

Présentation

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Notations

• c m (t ) couple exercé par le moteur en N.m

• c r (t) couple résistant dû à la tension de corde ramené sur l’arbre du moteur en N.m

• f _c ^∗ (t ) la force de consigne à appliquer à la corde en N

• f c (t) force effective appliquée à la corde en N

• f r (t) force exercée par le ressort en N

• f f (t ) force de frottement dans la liaison glissière du chariot avec le bâti en N

• ω m (t) vitesse angulaire du moteur en rd/s

• ω r (t ) vitesse angulaire à la sortie du réducteur en rd/s

• u(t ) tension d’alimentation du moteur en V

• e(t) force contre-électromotrice du moteur en V

• i(t ) intensité du courant qui parcourt l’induit en A

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• x(t ) le déplacement du poussoir en m

• x r (t) l’écrasement du ressort en m

• x c (t) l’allongement de la corde en m

• f coefficient de couple de frottement visqueux ramené sur l’arbre du moteur en N.m/(rd/s)

• J inertie totale ramenée à l’arbre du moteur en kg.mš

• r rapport de réduction du réducteur (r < 1)

• d diamètre primitif du pignon de sortie du réducteur de vitesse en m

• K e coefficient de force contre électromotrice en V/(rd/s)

• K m coefficient de couple en N.m/A

• k r raideur du ressort en N/m

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Tension appliquée à la corde

Principe fondamental résultante appliqué au chariot :

f r − f c − f f = m.a avec a l’accélération du chariot et m sa masse.

si m.a = 0 et f f = 0 on a f c = f r .

F r (p) − F c (p) − F f (p) = m.A(p)

(37)

Equations de comportement du moteur

• équations mécaniques : c m (t) − c r (t ) = J dω m

dt avec c r (t ) = r . d

2 .f c (t) + f .ω m (t)

• équation électrique : u(t ) = R.i(t ) + L. di

dt + e(t)

• équations électromécaniques :

e(t) = K e .ω m (t)

(38)

Equations de comportement du moteur

• équations mécaniques :

C m (p) − C r (p) = J.p.Ω m (p) avec C r (p) = r . d

2 .F _c (p) + f .Ω _m (p)

• équation électrique :

U(p) = R.I(p) + L.p.I (p) + E (p)

• équations électromécaniques : E (p) = K e .Ω _m (p) C m (t ) = K m .I(t )

(39)

Schéma cinématique

(40)

Equations de comportement du moteur

Ce qui peut se mettre sous la forme:

C m (p) − r . d

2 .F c (p) − f .Ω m (p) = J .p.Ω m (p)

⇒

C m (p) − r . d

2 .F c (p) = (J.p + f ) .Ω m (p)

et

I(p) = 1

R + L.p [U(p) − E(p)]

(41)

Schéma bloc

+ −

U(p) 1

R + L.p ε(p)

K

_m

I(p) −

C

m

(p) + 1 f + J .p

Ω

_m

(p)

K

e

E(p)

r .d 2

F

c

(42)

Réducteur de vitesse

Ω r (p) = r .Ω m (p)

(43)

Déplacement du chariot

La chaîne roule sans glisser sur le pignon de sortie du réducteur.

x(t ) = d 2 .θ(t )

p.Θ(p) = Ω r (p) ⇒ Θ(p) = r

p .Ω m (p)

Ainsi:

X (p) = r p . d

2 .Ω m (p)

(44)

Déplacement du chariot

La chaîne roule sans glisser sur le pignon de sortie du réducteur.

x(t ) = d 2 .θ(t )

p.Θ(p) = Ω r (p) ⇒ Θ(p) = r

p .Ω m (p)

Ainsi:

X (p) = r p . d

2 .Ω m (p)

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Présentation

(46)

Relations forces-déplacements

x(t ) = x r (t ) + x c (t )

X (p) = X r (p) + X c (p)

(47)

Schéma cinématique

(48)

Relations forces-déplacements

F r (p) = k r .X r (p)

F c (p) = k c .X c (p)

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Alimentation du moteur

La carte électronique élabore la tension d’alimentation du moteur à partir de l’écart ε(t ) entre la tension de consigne u c (t ), image de la force de consigne f _c ^∗ (t ), et la tension de retour du capteur d’écrasement du ressort.

On suppose que la tension d’alimentation du moteur u m (t ) est

proportionnelle à cet écart (amplificateur correcteur équivalent à

un gain pur) : u m (t ) = K p .ε(t) avec K p sans unité.

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Schéma bloc complet de la cordeuse

K Kr F_c^∗

+− Kp ε₁(p)

+−

U(p) 1

R+L.p ε₁(p)

K_m

I(p) −

+

C_m(p) 1

f+J.p rd 2p Ωm(p)

K_e E(p)

+−

X X_c K_c F_c r.d

2

1 Kr

K

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Approche par modélisations, simulations et expérimentations Simulations numériques

Modèle théorique

(52)

Approche par modélisations, simulations et expérimentations Simulations numériques

Implémentation dans Xcos de Scilab

(53)

Approche par modélisations, simulations et expérimentations Recherches des valeurs numériques

Recherche du rapport de réduction du

réducteur

(54)

Approche par modélisations, simulations et expérimentations Recherches des valeurs numériques

Recherche de la raideur du ressort

(55)

Approche par modélisations, simulations et expérimentations Expériences

Exprérience

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Approche par modélisations, simulations et expérimentations Expériences

Comparaison

Gain (K ): 7,2

Consigne (E

₀

) : 40 daN Pulsation (Ω) : 3,3

Coefficient d’amortissement (ξ) : 0,58

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Conclusions

Sommaire

1 Introduction

2 Approche fonctionnelle et structurelle du système

3 Approche par modélisations, simulations et expérimentations

4 Conclusions

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Conclusions