Geo 6 Outils Calcul vectoriel

Master 1 MEEF 2^nd degré 2013-2014 Capes Externe

UE 2 Epreuve sur dossier

04/12/2013

DOSSIER Geo 6

Thème : Outils en géométrie plane:

le calcul vectoriel

L’exercice

On considère un cercle X de centre O et de rayon r et un point P du plan. On pose d = OP.

1. Une droite Δ passant par P coupe le cercle X en A et B. On note E le point du cercle diamétralement opposé à A.

Démontrer que ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}PB = ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}PE . En déduire que : ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}PB = d² – r².

2. Application à l’étude d’une configuration.

Dans la figure ci – dessous, les droites Δ et Δ’ sont orthogonales et le point I est le milieu du segment [AB’]. Démontrer que les droites (PI) et (A’B) sont orthogonales.

La réponse de deux élèves à la question 1)

Elève 1

⎯ ⎯ →

PA . ^{⎯ ⎯ →}PB = ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}PE parce que E a pour projection B quand on fait la projection sur la droite AB.

⎯ ⎯ →

PA . ^{⎯ ⎯ →}PE = ^{⎯ ⎯ →}PA . (^{⎯ ⎯ →}PO + ^{⎯ ⎯ →}OE ) = ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}PO + ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}OE = ^{⎯ ⎯ →}PO . ^{⎯ ⎯ →}PO +

⎯ ⎯ →

OA . ^{⎯ ⎯ →}OE

On a ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}PO = ^{⎯ ⎯ →}PO . ^{⎯ ⎯ →}PO par projection.

⎯ ⎯ →

PO . ^{⎯ ⎯ →}PO = PO² = d² et ^{⎯ ⎯ →}OA . ^{⎯ ⎯ →}OE = - ^{⎯ ⎯ →}OA . ^{⎯ ⎯ →}OA = - OA² = - r² Donc on a bien d² – r².

Master 1 MEEF 2^nd degré 2013-2014 Capes Externe

UE 2 Epreuve sur dossier

04/12/2013

Elève 2

⎯ ⎯ →

PA . ^{⎯ ⎯ →}PB = ^{⎯ ⎯ →}PA . (^{⎯ ⎯ →}PE + ^{⎯ ⎯ →}EB ) = ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}PE + ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}EB , et ^{⎯ ⎯ →}PA . EB = 0 ^{⎯⎯→}

car le triangle AEB est rectangle. Ce qui donne ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}PE .

⎯ ⎯ →

PA . ^{⎯ ⎯ →}PE = 1

2

(

)

Mais ^{⎯ ⎯ →}PA + ^{⎯ ⎯ →}PE = 2 ^{⎯ ⎯ →}PO (parallélogramme) et PA² + PE² = EA² dans le triangle PAE.

Et alors ^{⎯ ⎯ →}PA . ^{⎯ ⎯ →}PE == 1

2 (2 PO² – EA²) = PO² – r² = d² – r².

Le travail à exposer devant le jury

1. Analysez la production de chaque élève en mettant en évidence la pertinence de sa démarche, l’origine de ses éventuelles erreurs de raisonnement et les moyens d’y remédier.

2. Présenter, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, une animation permettant d’illustrer la la question 2. Indiquer en quoi l’utilisation d’un tel logiciel présente des avantages dans cet exercice.

3. Proposez une solution de la question 2) comme vous l’exposeriez devant une classe de Première scientifique.

4. Présentez plusieurs exercices sur le thème « Outils en géométrie : le calcul vectoriel ».