Exercice 1
On donne le nombre complexe : j=−1 2+i·
√3 2
1. Résoudre dans l’ensemble C des nombres complexes l’équation :
z2+z+ 1 = 0
2. Démontrer les égalités suivantes : a. j3= 1 b. j2=−1−j
3. On suppose l’existence de trois nombres complexesa, b etc vérifiant l’égalité :
a+j·b+j2·c= 0
a. Démontrer l’égalité : a−c=j·( c−b) b. Démontrer l’égalité : a−b=j2·(
b−c)
Correction 1
1. Le polynômez2+z+1admet pour discriminant :
∆ =b2−4·a·c= 12−4×1×1 = 1−4 =−3
Le discriminant étant strictement négatif, ce polynôme admet les racines complexes suivantes :
z1=−b−i·√
−∆ 2·a
=−1−i·»
−(−3) 2×1
=−1−i·√ 3 2
=−1 2−
√3 2 ·i
z2= −b+ i·√
−∆ 2·a
= −1 + i·»
−(−3) 2×1
= −1 + i·√ 3 2
=−1 2 +
√3 2 ·i 2. a. On a :
j3= (−1
2+ i·
√3 2
)3
= (−1
2+ i·
√3 2
)2
·(
−1 2+ i·
√3 2
)
= [(−1
2 )2
+ 2·(
−1 2
)·
√3 2 ·i +
( i·
√3 2
)2]
·(
−1 2 + i·
√3 2
)
= (1
4 −
√3
2 ·i + i2·3 4
)·(
−1 2+ i·
√3 2
)
= (1
4 −
√3 2 ·i−3
4 )·(
−1 2+ i·
√3 2
)
= (−1
2 −
√3 2 ·i
)·(
−1 2 + i·
√3 2
)
= 1 4 −i·
√3 4 +
√3 4 ·i−3
4·i2= 1 4+3
4 = 1 b. D’après la question 1. , on a :
j2+j+ 1 = 0 j2=−1−j 3. a. a+j·b+j2·c= 0
D’après la question 2. b. : a+j·b+(
−1−j)
·c= 0 a+j·b−c−j·c= 0
a−c=−j·b+j·c a−c=j·(
c−b) b. On a :
a+j·b+j2·c= 0 j·(
a+j·b+j2·c)
=j×0 j·a+j2·b+j3·c= 0 D’après la question 2. a. :
j·a+(
−1−j)
·b+ 1·c= 0 j·a−b−j·b+c= 0
j·a−j·b=b−c j·(
a−b)
=b−c j3·(
a−b)
=j2·( b−c) D’après les questions 2. b. :
a−b=j2·( b−c)
ex. 1
c6794.pdf
https ://chingatome.fr
