Master 2 EADM 2012-2013 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
20/11/2012
DOSSIER Geo 4
Thème : Outils en géométrie plane:
le calcul vectoriel
L’exercice
On considère un cercle X de centre O et de rayon r et un point P du plan. On pose d = OP.
1. Une droite passant par P coupe le cercle X en A et B. On note E le point du cercle diamétralement opposé à A.
Démontrer que PA . PB = PA . PE . En déduire que : PA . PB = d 2 – r2.
2. Application à l’étude d’une configuration.
Dans la figure ci – dessous, les droites et ’ sont orthogonales et le point I est le milieu du segment [AB’]. Démontrer que les droites (PI) et (A’B) sont orthogonales.
La réponse de deux élèves à la question 1)
Elève 1
PA . PB = PA . PE parce que E a pour projection B quand on fait la projection sur la
droite AB.
PA . PE = PA . ( PO + OE) = PA . PO + PA . OE = PO . PO + OA . OE
On a PA . PO = PO . PO par projection.
PO . PO = PO 2 = d2 et OA . OE = - OA . OA = - OA 2 = - r2 Donc on a bien d2 – r2.
Master 2 EADM 2012-2013 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
20/11/2012
Elève 2
PA . PB = PA . ( PE + EB ) = PA . PE + PA . EB , et PA . EB = 0 car le triangle
AEB est rectangle. Ce qui donne PA . PE .
PA . PE = 1
2
( ||
PA + PE ||
2 -||
PA||
2 -||
PE||
2)
Mais PA + PE = 2 PO (parallélogramme) et PA 2 + PE2 = EA2 dans le triangle PAE.
Et alors PA . PE == 1
2 (2 PO2 – EA2) = PO2 – r2 = d2 – r2.
Le travail à exposer devant le jury
1. Analysez la production de chaque élève en mettant en évidence la pertinence de sa démarche, l’origine de ses éventuelles erreurs de raisonnement et les moyens d’y remédier.
2. Proposez une solution de la question 2) comme vous l’exposeriez devant une classe de Première scientifique.
3. Présentez plusieurs exercices sur le thème « Outils en géométrie : le calcul vectoriel ».
