Master MEEF Maths Capes Externe
UE 2 ORAL 2
2015-2016
L’exercice La droite d’Euler.
𝐴𝐵𝐶 est un triangle. 𝐴’, 𝐵’, 𝐶’ sont les milieux des côtés respectifs [𝐵𝐶] , [𝐴𝐶], [𝐴𝐵].
𝑂 est le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
1. On note 𝐻 le point défini par 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .
a. Faire une figure à la main ou avec un logiciel de géométrie dynamique . b. Démontrer que 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑂𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
c. En déduire que la droite (𝐴𝐻) est perpendiculaire à (𝐵𝐶).
d. Quelles autres relations peut-on écrire ?
e. Quelle propriété des trois hauteurs d’un triangle vient-on démontrer ? 2. Soit le point 𝐺 défini par 𝐺𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ .
a. Démontrer que 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = 2
3 𝐴𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
b. En déduire que les points 𝐴, 𝐺 , 𝐴’ sont alignés.
c Quelles autres relations peut-on écrire ?
d. Quelle propriété des trois médianes d’un triangle vient-on démontrer ? 3. Démontrer que les points 𝑂, 𝐺 , 𝐻 sont alignés.
Les réponses de trois élèves de première S à la question1.b .
Elève 1.
𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ donc d’après Chasles : 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
Alors 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Je ne vois pas comment continuer.
Elève 2
𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ donc avec la relation de Chasles 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐴’⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴′𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴’𝐵′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴’𝐶′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
Comme 𝐴’ est le milieu de [𝐵𝐶] alors 𝐴’𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴’𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ et donc 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴′ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 𝑂𝐴′𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗
Je ne sais pas continuer.
Elève 3
Si 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑂𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ alors 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑂𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ d’où 𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑂𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et donc 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑂𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ce qui donne 𝑂𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑂𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴′𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 𝑂𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
En simplifiant par 2 𝑂𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ j’obtiens 𝐴′𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴′𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0⃗ . C’est vrai parce que 𝐴’ est le milieu de [𝐵𝐶].
Dossier Geo 6 Thème . Outils en géométrie plane : le calcul
vectoriel .
Le travail à exposer devant le jury.
1- Présentez, à l’aide d’un logiciel de géométrie dynamique, une animation permettant d’illustrer cet exercice.
2- Analysez les réponses de ces élèves en mettant en évidence leurs réussites et leurs éventuelles erreurs.
3-. Présentez la correction de cet exercice telle que vous l’exposeriez devant une classe de première S.
4- Quelle suite pourriez-vous envisager de donner à cet exercice ?
5- Proposez deux ou trois exercices sur le thème Outils en géométrie plane : le calcul vectoriel. Vous prendrez soin de motiver votre choix.
