Master 2 EADM 2011-2012 Capes Externe
UE 12 Epreuve sur dossier
05/09/2011
DOSSIER Geo 4
Thème : Géométrie
Outils en géométrie plane : calcul vectoriel
L’exercice proposé au candidat
On considère un triangle ABC dans le plan et on désigne par () son cercle circonscrit, O son centre, r son rayon et par G le centre de gravité de ce triangle.
Partie A : la droite d’Euler
Soit H le point défini par : OH = OA + OB + OC.
1) Montrer que : AH . BC = BH . CA = CH . AB = 0.
En déduire que H est l’orthocentre du triangle ABC.
2) En déduire que OH = 3 OG , puis que les points O, G et H sont alignés.
Partie B : le cercle d’Euler
On note A’, B’ et C’ les milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB], puis HA, HB et HC les pieds des hauteurs issues respectivement des sommets A, B et C, et enfin P, Q et R les milieux respectifs de [AH], [BH] et [CH].
Il s’agit d’établir que ces neuf points sont situés sur un même cercle appelé cercle d’Euler du triangle ABC ou cercle des neuf points.
Soit le milieu de [OH].
1) Justifier l’égalité : P = 1 2
OA .
2) Montrer que : 2 O = OA + OB + OC et en déduire que A’ = - 1 2
OA .
3) a) En déduire que P et A’ appartiennent à un même cercle (C) de centre ; donner son rayon.
b) Montrer que HA appartient aussi à (C).
4) Conclure.
Le travail à exposer devant le jury
1. Dégager les savoirs et les méthodes mis en jeu, en précisant le niveau auquel s’adresse cet énoncé.
2. Présenter une animation à l’aide d’un logiciel de géométrie.
3. Présenter la réponse à la question 3)b) de la partie B de l’exercice.
4. Proposer un exercice démontrant le résultat de la partie A, accessible à des élèves de collège.
5. Proposer deux autres exercices se rapportant au thème « Outils en géométrie plane : calcul vectoriel ».
