Exercices supplémentaires – Géométrie plane
Partie A : Coordonnées de vecteurs, colinéarité Exercice 1
Dans un repère, on considère 6; 1, 3; 1, 15; 4 et
; 2. 1) Les points , et sont-ils alignés ? Justifier.
2) Les points , et sont-ils alignés ? Justifier.
Exercice 2
On considère 7; 6, 3; 3, 8; 1 et 4; 5. 1) Les droites et sont-elles parallèles ? Justifier.
2) On considère ; 5. Déterminer pour que et soient parallèles.
Exercice 3
est un rectangle. est le symétrique de par rapport à . est le symétrique de par rapport à . est défini par !.
1) Dans le repère "; ; #, donner les coordonnées de , , et sans justifications.
2) Calculer les coordonnées de , et .
3) Les points , et sont-ils alignés ? Justifier la réponse.
Exercice 4
On considère un triangle . est le symétrique de par rapport à . Les points et sont définis par ! et 2.
1) Dans le repère "; ; #, calculer les coordonnées de , et . 2) Démontrer que les points , et sont alignés.
Exercice 5
Dans un repère, on considère 2; 3, 3; 1 et 4; 4. 1) Calculer les coordonnées de $ tel que $ !. 2) Calculer les coordonnées de tel que !% 3) Calculer les coordonnées de & tel que & '. 4) Démontrer que $; et & sont alignés.
Exercice 6
Dans un repère orthonormé, on considère 2; 2, 3; 6 et 10; 3. 1) Déterminer les coordonnées de tel que soit un parallélogramme.
2) Calculer , et . Que peut-on en déduire pour le triangle ? 3) Calculer les coordonnées du milieu de *+.
4) Calculer les coordonnées de , tel que , - . 5) Démontrer que est le milieu de *,+.
6) Calculer les coordonnées de $ défini par 2,$ - 3$ 2$ 2 - . 7) Démontrer que , , et $ sont alignés.
Exercice 7
On considère un triangle et les points &, . et / définis par & ! ; . !% et / . 1) Exprimer &. et ./ en fonction de et .
2) Démontrer que &, . et / sont alignés.
Exercice 8
On considère un triangle et les points $, et & définis par $ ! ; !% et & '. On va démontrer de deux manières que $, et & sont alignés.
1) Dans le repère "; ; #
a. Déterminer les coordonnées de $, et &. b. Démontrer que ces trois points sont alignés.
2) A l’aide des vecteurs
a. Décomposer $ et $& avec les vecteurs et . b. Démontrer que $, et & sont alignés.
Exercice 9
On considère le triangle et les points , et tels que ; ! et 2. On va démontrer de trois manières différentes que , et sont alignés.
1) Dans le repère "; ; #
a. Déterminer les coordonnées de , et . b. Démontrer que ces points sont alignés.
2) Avec les vecteurs
a. Décomposer et à l’aide des vecteurs et . b. Démontrer que , et sont alignés.
3) Géométriquement
a. On construit la parallèle à passant par . Elle coupe *+ en un point . Démontrer que est le milieu de *+.
b. En déduire que est le milieu de *+.
c. Démontrer que est parallèle à et conclure.
Partie B : Equation de droites, vecteur directeur Exercice 1
1) Tracer la droite 1 passant par 1; 2 et de vecteur directeur 2 3 1 !4. 2) 5; 4 appartient-il à 1 ? Justifier.
Exercice 2
On considère la droite 1 d’équation 5 ! -%!.
Déterminer un vecteur directeur de 1 à coordonnées entières.
Exercice 3
On considère une droite de vecteur directeur 2 52. Déterminer son coefficient directeur.
Exercice 4
Dans chacun des cas suivants, déterminer une équation de la droite 1 passant par et de vecteur directeur 2. 1) 3; 2 et 2 21
2) 2; 2 et 2 3 0 4 3) 0; 4 et 2 2835 Exercice 5
Dans chaque cas, déterminer une équation cartésienne de la droite passant par et parallèle à 1. 1) 2; 3 et 1 6 2 5 - 2 0
2) 0; 3 et 1 6 3 - 45 5 0
Exercice 6
1) Dans un repère, placer les points 2; 4, 2; 2, 5; 0 et tel que 2. 2) Quelle est la nature du quadrilatère ? Justifier.
3) Déterminer les coordonnées de .
4) On considère la droite 1 d’équation 6 - 5 14 0. Vérifier que et appartiennent à 1. 5) Déterminer une équation cartésienne de .
6) Démontrer que et sont sécantes et déterminer les coordonnées de leur point d’intersection . 7) Calculer les coordonnées de $ milieu de *+ et de milieu de *+.
8) Démontrer que , $ et sont alignés.
Exercice 7
On considère quatre droites 1 : 6 - 95 - 18 0 ; 1: 4 - 65 5 0 ; 1!: 5 5 - 15 0 ; 1%: 2
√3 - √3 : 5 - 2√3 0
1) Parmi ces droites, lesquelles sont parallèles ?
2) Les droites 1 et 1 sont-elles confondues ? Même question pour 1 et 1%. Exercice 8
On considère un réel ; et la droite 1 d’équation - ;5 - 3 0.
Dans chaque cas, peut-on déterminer ; pour que la condition soit vérifiée ? Si oui, le déterminer.
1) 2 32 est un vecteur directeur de 1. 2) 2; 3 appartient à 1.
3) 1 est parallèle à la droite d’équation 3 5 0. 4) 1 est parallèle à l’axe des abscisses.
5) 1 est parallèle à l’axe des ordonnées.
6) 1 passe par l’origine du repère.
7) 1 passe par le point ,0; 1 Exercice 9
est un parallélogramme. Le point & est à l’intérieur de ce parallélogramme. Les parallèles à et passant par & coupent les côtés en , , et tels que < *+, < *+, < *+ et < *+.
On note ; 5 les coordonnées de & dans le repère "; ;#. 1) Donner les coordonnées de , , et en fonction de et 5.
2) Déterminer une condition sur et 5 pour que et soient parallèles.
3) Quel est l’ensemble des points & tels que et soient parallèles ? Exercice 10
On considère un nombre réel ; et on note 1= la droite d’équation 2; 1 ;5 - 3 - 1 0. 1) Tracer 1>, 1, 1 et 1?.
2) Montrer que toutes les droites 1= passent par un même point dont on précisera les coordonnées.
3) Existe-t-il des droites 1= passant par 1; 4 ? Si oui, lesquelles ? 4) Existe-t-il des droites 1= de vecteur directeur 2 21 ? Si oui, lesquelles ?
Correction exercices supplémentaires – Géométrie plane
Partie A : Coordonnées de vecteurs, colinéarité Exercice 1
1) 92 et 215 or 9 : 5 2 : 21 3 @ 0 donc les vecteur et ne sont pas colinéaires et les points , et ne sont pas alignés.
2) 92 et 3A
34 or 9 : 3 2 :A 0 donc les vecteurs et sont colinéaires et les points , et sont alignés.
Exercice 2
1) :3 73 6 10
3 et 6 4 - 85 - 1 12
Vérifions s’il y a colinéarité : 10 : 4 3 : 12 40 - 36 44
Les vecteurs et ne sont pas colinéaires donc et ne sont pas parallèles.
2) 6 - 84
et sont colinéaires donc 10 : 4 3 : - 8 0 B 40 - 3 - 24 0 B 3 16 B '! On doit choisir '! pour que et soient parallèles.
Exercice 3
1) 0; 0, 1; 0, 1; 1 et 0; 1.
2) est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de *+ et . 1 10 1 CD 1
5D 0E B F0 D 1
1 5D G B F D 1
5D 1G donc 1; 1
est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de *+ et . CH 0
5H 1E 0 0
1 0 B F H 0
5H 1 1G B FH 0
5H 2G donc 0; 2 ! B CI 0
5I 0E !1 00 0 B JI
5I 0!G donc
!; 0 3) 6 C 0 12 1E 1
3 et 6 3! 0
0 24 3 ! 24
Vérifions s’il y a colinéarité : 1 : 2 3 :! 2 2 0 donc et sont colinéaires et , et sont alignés.
Exercice 4
1) 0; 0, 1; 0 et 0; 1.
est le symétrique de par rapport à donc est le milieu de *+ et : CD 0
5D 1E 0 1
1 0 B F D 1
5D 1 1G B FD 1
5D 2 G et donc 1; 2 ! B CH 0
5H 0E !0 01 0 B J H 0 5H !
G donc 0;! 2 B CI 1
5I 0E 2 0 1
0 0 B FI 1 2
5I 0 G B FI 3
5I 0G donc 3; 0 2) 630 1
!
2 4 3 1
4 et 6 33 0
0 !4 3 3 !4 Vérifions s’il y a colinéarité : 1 : ! : 3 !-! 0 Donc et sont colinéaires et , et sont alignés.
Exercice 5
1) $ ! B CK- 2
5K 3E !4 - 24 3 B L
K- 2 !: 6
5K 3 !: 1G B JK 9 2
5K !- 3G B JK 11 5K !
G donc
$ 11;!
2) !% B CM- 2
5M 3E !% 3 - 21 3 B L
M- 2 !%: 5
5M 3 !%: 4G B J M % 2
5M 3 - 3G B JM A% 5M 0G donc A%; 0
3) & ' B CN 3
5N- 1E '4 34 - 1 B L
N 3 '
5N- 1 'G B LN O'
5N 'G donc & O' ; ' 4) $ 6 PA%- 11
0 !Q P
%
!Q et & 6 PO' A% ' 0Q P
A
'Q Vérifions s’il y a colinéarité :
% : ' ! :A %-% 0
Donc les vecteurs $ et & sont colinéaires et les points $, et & sont alignés.
Exercice 6
1) est un parallélogramme B B 3 26 2 C10 R
3 5RE B F5 10 8 3 5RRG B FR 15
5R 5G donc 15; 5
2) S3 2- 6 2 √25 - 64 √89 S10 2- 3 2 √64 - 25 √89
S10 - 3- 3 - 6 √169 - 9 √178 On remarque que donc est isocèle en .
De plus, 178 et - 89 - 89 178 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, est rectangle en . Finalement est rectangle isocèle en .
3) T UVWU X ?!W> A et 5T ?'?! O donc A
; O 4) , - B CY- 3
5Y- 6E 15 10 5 - 3 - P
2 A
2 -OQ B LY- 3 5 !
5Y- 6 8 -!G B LY A 3 5Y O
6G B LY 5Y A
G
donc , ;A 5) 6 P
A 2
O 2Q P
!
!Q et , 6 P2 2 AQ P
!
!Q donc , et est bien le milieu de *,+
6) 2,$ - 3$ 2$ 2 - B 2 PK
5KAQ - 3 CK 10
5K- 3 E 2 CK 2
5K 2E 2 2 10
2 - 3 - 15 10 5 - 3
B Z2 CK1
2E - 3K 10 2K 2 2 : 8 - 5 2 C5K17
2 E - 35K- 3 25K 2 2 : 5 - 8 G B F2K 1 - 3K 30 2K- 4 11 25K 17 - 35K- 9 25K- 4 18 G B F3K 16
35K 22G B LK '
!
5K
!
G donc $ '! ;!
7) , 6 P
15
A
5Q PO
A
Q et $ 6 P
'
! 15
! 5Q PO!
A
!
Q Vérifions s’il y a colinéarité : O :A! A : O! >!' ->!' 0 Donc , et $ sont colinéaires et , , et $ sont alignés.
Exercice 7
1) &. & - . ! -!% et
./ . - - / 34 - - 12 14 - 12 - 12 14 - 12 2) On a 3./ &. donc &. et ./ sont colinéaires et les points &, . et / sont alignés.
Exercice 8 1)
a. $ 0; ! ; !%; 0 Pour les coordonnées de & :
&
' B CN 1
5N E '11 B L N
'
5N '
G donc & ';'
b. $ P
!
%!
Q et $& P
'
'-!Q soit $& P
'
!
Q Vérifions s’il y a colinéarité :
!
%:!!:' 0 donc $ et $& sont colinéaires et $, et & sont alignés.
2)
a. $ $ - ! -!%
$&
$ - - & 32 - - 16 " - # 56 - 53
b. On observe que $ >O $& donc $ et $& sont colinéaires et $, et & sont alignés.
Exercice 9 1)
a. 0; ;
!; 0 2 B CH 1
5H E 2 11 B FH 1
5H 2 G donc 1; 2 b. P !
Q et 31
!
4 Vérifions s’il y a colinéarité :
!:! : 1 0 Donc et sont colinéaires et , et sont alignés.
2)
a. - -!
- - 12 - - 2" - # - 32
b. On remarque que 3 donc et sont colinéaires et , et sont alignés.
3)
a. Dans le triangle , la droite passe par le milieu de *+ et est parallèle à donc elle coupe le troisième côté *+ en son milieu d’après le théorème des milieux. Or cette intersection est en . Donc est le milieu de *+.
b. Nous savons que ! et donc ! et alors !. On a donc bien que est le milieu de *+.
c. Dans le triangle , passe par le milieu de *+ et *+ donc elle est parallèle au troisième côté d’après le théorème des milieux.
2 3 4 5 6 -1
-2
2 3
-1 -2 -3 -4
0 1
1 Au→
B
Finalement, est parallèle à par construction et à donc et sont parallèles également et comme elles ont un point commun, on a démontré que , et sont alignés.
Partie B : Equation de droites, vecteur directeur Exercice 1
1) La droite 1 passe par 1; 2 et tel que 32 et alors a pour coordonnées 4; 4
2) 6 5 - 14 2 6 6
et 2 ne sont clairement pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles donc n’appartient pas à 1.
Exercice 2
0;%! et 1;! appartiennent à 1 donc 3 1
!4 est un vecteur
directeur de 1. Ses coordonnées ne sont pas entières. Par contre 3, qui a pour coordonnées 32 a des coordonnées entières et dirige également 1.
Exercice 3
On considère un point [; \ de la droite. Alors [ - 5; \ 2 appartient également à la droite. Le coefficient directeur de la droite est alors ]??]
^W?^ ou encore Exercice 4
1) La droite de vecteur directeur 2 [\ admet pour équation cartésienne : \ - [5 - _ 0. Dans notre cas, nous avons donc - 25 - _ 0 comme équation cartésienne.
De plus, la droite passe par donc ses coordonnées vérifient l’équation et on obtient : 3 - 4 - _ 0 ou encore _ 1. Une équation de la droite 1 est alors - 25 1 0
2) On considère &; 5 un point de 1. Alors & C - 25 2E et 2 3 0
4 sont colinéaires et leurs coordonnées sont proportionnelles. On a donc - 2 0 0 ou encore 2
Remarque : la droite 1 est parallèle à l’axe des ordonnées.
3) On considère un point &; 5 appartenant à 1. Alors & 5 - 4 et 2 2835 sont colinéaires et donc 35 285 - 4 0 ce qui donne 35 285 112 0 ou encore en simplifiant par 7 : 5 45 16 0
Exercice 5
1) Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur et donc admettent les mêmes vecteurs directeurs.
Une équation de la droite parallèle à 1 est donc 2 5 - _ 0. Or cette droite passe par donc ses coordonnées vérifient l’équation et 4 - 3 - _ 0 ou encore _ 7. Une équation de la droite cherchée est 2 5 7 0
2) Une équation de la droite cherchée est 3 - 45 - _ 0. A l’aide des coordonnées de , on obtient : 12 - _ 0 ou encore _ 12. Donc on obtient : 3 - 45 - 12 0
Exercice 6
1) Voir ci-dessous
2) 2 donc a ses côtés et parallèles et donc est un trapèze.
2 3 -1
-2 -3 -4 -5
2 3 4 5 6 7 8
-1 -2 -3 -4
0 1
1 y
A
B
C
D E
K
L
3) 2 B CR- 5
5R E 2 42 B FR- 5 2 : 4 5R 2 : 2G B F R 3
5R 4G donc 3; 4
4) Pour : 6 : 2 - 2 14 12 - 2 14 0 donc < 1 Pour : 6 : 3 4 14 18 4 14 0 donc < 1
5) 34 est un vecteur directeur de donc une équation cartésienne de est 4 35 - _ 0.
Comme cette droite passe par , nous avons 4 : 2 3 : 4 - _ 0 ou encore _ 20.
Une équation de est alors 4 35 - 20 0 6) Intersection de et :
F 6 - 5 14 04 35 - 20 0G B F 5 14 6
4 314 6 - 20 0G B `5 14 622 22 G B `5 8 1G
Donc et sont bien sécantes en un point de coordonnées 1; 8
7) Coordonnées de $ : K UaWUV
0 et 5K baWbV
3 donc
$0; 3
De la même manière, on a 1; 2
8) $ 15 et 210 On a clairement 2$ donc et $ sont colinéaires et les points , $ et sont alignés.
Exercice 7
1) 2 9 6 dirige 1 ; 2 6 4 dirige 1 ; 2 15! dirige 1! et 2 c% √3
√! d dirige 1%.
Nous avons clairement 2 32 avec 2 32 et 2 22 donc 2 et 2 sont colinéaires et 1 et 1 sont parallèles.
Par contre 2 et 2! ne sont pas colinéaires donc 1! n’est pas parallèles à 1 et 1.
Pour 1%, étudions la colinéarité de 2% et 2 6 3 :√! - 2√3 '√!! - 2√3 2√3 - 2√3 0 Donc 2% et 2 sont colinéaires et 1% est alors parallèle à 1 et 1.
2) 3; 0 < 1 Vérifions si appartient également à 1 : 12 - 0 5 @ 0 donc e 1 donc 1 et 1 sont strictement parallèles et pas confondues.
Vérifions ensuite si appartient à 1% : √!' - 2√3 '√!! - 2√3 0 donc appartient bien à 1%. Nous avons donc que 1 et 1% sont confondues.
Exercice 8
1) Un vecteur directeur de 1 est f ;1 .
2 dirige 1 B 2 et f colinéaires B 3 - 2; 0 B ; ! 2 32 dirige 1 si et seulement si ; a pour valeur !.
2) < 1 B 2 - 3; - 3 0 B ; !
2 3 -1
-2 -3 -4
2 3 4 5
-1 -2 -3
0 1
1 A
3) 1 est parallèle à la droite d’équation 3 5 0 qui admet f 13 comme vecteur directeur. Donc une équation de 1 est 3 5 - _ 0. En divisant par 3 (pour obtenir un coefficient 1 devant ), on a
!5 -g! 0. Par identification avec l’équation de 1 donnée dans l’énoncé, on a ; ! et _ 9.
4) 1 est parallèle à l’axe des abscisses si et seulement si elle admet une équation réduite de la forme 5 _ . Ceci n’est pas possible car l’équation cartésienne de 1 contient des .
5) 1 est parallèle à l’axe des ordonnées si et seulement si elle admet une équation réduite de la forme _. Ceci n’est possible que si ; 0
6) h0; 0 < 1 B 3 0
Cette dernière égalité est fausse donc 1 ne peut jamais passer par l’origine du repère.
7) ,0; 1 < 1 B ; - 3 0 B ; 3 Exercice 9
1) 0; 5 ; 1 1; 5 et ; 0
2) et parallèles B 1 5 et C 15 E colinéaires B 5 11 5 0 B 5 5 1 - 5 0 B 5 - 1 0 B - 5 1
3) et sont parallèles si et seulement si - 5 1, autrement dit si et seulement si les coordonnées de & vérifient l’équation - 5 1. Or cette équation est celle de la droite . Finalement et sont parallèles si et seulement si & < *+.
Exercice 10
1) 1> : 2 - 1 0 ou encore (en noir) 1 : 4 5 - 1 0 ou encore 5 4 - 1 (en rouge) 16 6 25 - 1 0 ou encore 5 3 - (en bleu) 1?: 5 - 1 0 ou encore 5 1 (en rose)
2) Graphiquement, les quatre droites 1= tracées passent par
; 1. Vérifions si c’est le cas pour toute valeur de ; :
2; 1 : C1
2E ; : 1 - 3 : C1
2E - 1 ; -1
2 - ; 3
2 - 1 0 Donc, pour tout ; < i, 1= passe par
; 1
3) 1; 4 < 1= B 2; 1 : 1 4; 3 1 0 B 6; 3 0 B ; appartient à 1= si et seulement si ; .
4) Une équation cartésienne de 1= est
2; - 2 ;5 - 1 0. Un vecteur directeur de 1= est donc 2=
;2; - 2.
2 dirige 1= B 2 et 2= colinéaires B 22; - 2 - ; 0 B ; 4
5 Donc, pour ; %, 2 dirige 1=.
