1. Déterminer E dans les cas suivants.

MPSI B DM 7 29 juin 2019

Soit g une application continue dans un segment réel [a, b] et à valeurs réelles. On se propose d'étudier l'ensemble

E = {x ∈ ]a, b[ tq ∃ξ ∈ ]x, b] tq g(x) < g(ξ)} .

Partie I

1. Déterminer E dans les cas suivants.

a. La fonction g est strictement croissante, b. a = −1 , b = 1 et g(t) = 1 − t

.

c. a = 0 , b = 2π et g(t) = sin t . d. a = −1 , b = 1 et g(t) = −t

+ t

.

2. Dessiner le graphe d'une fonction g telle que E contienne un maximum local.

3. En général, une fonction strictement décroissante dans ]a, b] l'est-elle encore dans [a, b] ? Et si on suppose de plus la continuité en a ?

4. a. Montrer que E est vide si et seulement si g est décroissante dans [a, b] .

b. Soit M = sup

(g) , montrer que E =]a, b[ entraîne M ∈ {g(a), g(b)} . Illustrer les deux possibilités en dessinant un graphe. La réciproque est-elle vraie ?

Partie II

La fonction ψ est dénie dans [a, b] par

ψ(x) = sup

[x,b]

g.

1. Montrer que ψ est monotone et continue, préciser son sens de variation.

2. a. Caractériser les éléments de E à l'aide des fonctions ψ et g . b. Montrer que si x ∈ E , il existe α > 0 tel que ]x − α, x + α[⊂ E . 3. Si x ∈ E , on note

s(x) = inf {ξ ∈ ]x, b] tq g(x) < g(ξ)}

a. Montrer que s(x) > x entraine s(x) ∈ [x, b[ et g(y) ≤ g(x) pour tout y dans [x, s(x)[ .

b. Montrer que g(s(x)) = g(x) et que [x, s(x)[⊂ E .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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