MPSI B DM 7 29 juin 2019
Soit g une application continue dans un segment réel [a, b] et à valeurs réelles. On se propose d'étudier l'ensemble
E = {x ∈ ]a, b[ tq ∃ξ ∈ ]x, b] tq g(x) < g(ξ)} .
Partie I
1. Déterminer E dans les cas suivants.
a. La fonction g est strictement croissante, b. a = −1 , b = 1 et g(t) = 1 − t
2.
c. a = 0 , b = 2π et g(t) = sin t . d. a = −1 , b = 1 et g(t) = −t
4+ t
2.
2. Dessiner le graphe d'une fonction g telle que E contienne un maximum local.
3. En général, une fonction strictement décroissante dans ]a, b] l'est-elle encore dans [a, b] ? Et si on suppose de plus la continuité en a ?
4. a. Montrer que E est vide si et seulement si g est décroissante dans [a, b] .
b. Soit M = sup
[a,b](g) , montrer que E =]a, b[ entraîne M ∈ {g(a), g(b)} . Illustrer les deux possibilités en dessinant un graphe. La réciproque est-elle vraie ?
Partie II
La fonction ψ est dénie dans [a, b] par
ψ(x) = sup
[x,b]
g.
1. Montrer que ψ est monotone et continue, préciser son sens de variation.
2. a. Caractériser les éléments de E à l'aide des fonctions ψ et g . b. Montrer que si x ∈ E , il existe α > 0 tel que ]x − α, x + α[⊂ E . 3. Si x ∈ E , on note
s(x) = inf {ξ ∈ ]x, b] tq g(x) < g(ξ)}
a. Montrer que s(x) > x entraine s(x) ∈ [x, b[ et g(y) ≤ g(x) pour tout y dans [x, s(x)[ .
b. Montrer que g(s(x)) = g(x) et que [x, s(x)[⊂ E .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
![Dans le cas d'une fonction continue et négative sur un intervalle [a ;b] alors : b b b ∫a f x dx](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)