Révisions : calcul vectoriel
1. On donne 3 points 2,3 ; 5, 1 et 2,6 dans un repère orthonormé.
Calcule : = Milieu de :
2. On donne dans un repère orthonormé du plan les points suivants : 3 ; 2 ; 4 ; 0 ; 3 ; 1 et 3 ; 4 . Calcule les composantes des vecteurs suivants :
ab c d
3. Calcule les composantes du vecteur sachant que est milieu de et est milieu de et que 2 ; 1 ; 0 ; 1 ; 3 ; 0 et 4 ; 4 .
Dans le repère , , ci-contre : a) Détermine les composantes
des vecteurs représentés, b) Représente les vecteurs ! 12 ,
" 01 , # 23 et $ % 21/2'.
4. Dans un repère orthonormé du plan, on donne les coordonnées de 4 sommets d’un quadrilatère : 2,0 , 2,7 , 10,8 et 6,1 . Prouve, au moyen du calcul vectoriel, que le quadrilatère
est un parallélogramme.
Puis, calcule son périmètre.
5. Dans un repère orthonormé du plan,
on donne les coordonnées de 4 sommets d’un quadrilatère : 0,1 , 2, 1 , 3, 8 et 3, 2 . Prouve, grâce au calcul vectoriel, que est un trapèze.
6. Les trois points 30, 1452 , 10,548 et 27,1398 sont-ils alignés ?
7. Simplifie au maximum l’écriture des vecteurs suivants : a) AC+BA+2CB=
b) 2AC−CB+BA−AB=
8. On donne le parallélogramme et ses diagonales qui se coupent en +. Représente le parallélogramme puis détermine un représentant des sommes de vecteurs qui suivent :
1) DA+BC = 2) AE−BC = 3) −DA+DC =
4) + + , 5) -. , 6) ,
9. Dans un repère, on donne les points 2 ; 0), (−1 ; 3) et (1,5). Détermine les coordonnées des points :
1) pour que soit un parallélogramme. Détermine alors son périmètre.
2) + d’abscisse -4 pour que , et + soient alignés.
3) / pour que / = 3.
4) 1 pout que = −2. 1 5) 2 pour que + = 2
10.Traduis les énoncés suivants grâce à une égalité vectorielle. Représente la situation : a) Les points , 4 et 5 sont alignés
b) 4 et 56 sont parallèles
c) 7 4 est un parallélogramme d) est le milieu du segment [ ]
e) ’ est le symétrique de par rapport à 9
11.Démontre, au moyen du calcul vectoriel en justifiant tes étapes, que tout quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme.
12.Soit un triangle . Construis les points et 7 tels que =.: et 7 = .: . Démontre que les droites 7 et sont parallèles.
13.Si est un parallélogramme et si ses diagonales se coupent en le point +, démontre que + =;<=>;
. .
14.Dans un repère orthonormé, si ! 3−12 , " %.?
@' et que ! // ", que doit valoir le paramètre @ ?
15.Dans un repère orthonormé, on considère (1 ; 4), (2 ; −3), (−1 ; 0), (A ; 23). a) Quelles doivent être les coordonnées de + si + = 2 −
b) Que doit valoir le paramètre A pour que , et soient alignés ?
16.Construis les vecteurs suivants :
a) @ + B b) B − @
b→
a→ b→
a→
c) ! = B −-.@ e) # = 3C − @ − 2B d) " = 3@ − 2B + 2C f) $ =.:@ −:.B
17.Complète et justifie les étapes de la démonstration :
« Soit , un quadrilatère quelconque. On note /, le milieu de [ ], 1, celui de [ ], 2, celui de [ ] et D, celui de [ ]. Démontre que /12D est un parallélogramme.»
Hypothèses : Thèse : Schéma :
Démonstration : D/ = D + / =-. + / =-. +-.
=-.( + ) =-.
=-.( + ) =-. +-. = 2 + 1
= 21 Donc /12D est un parallélogramme.
b→
a→
c→
b→
a→
c→
Solutions
Ex.1 :
E E = √65 3
7 Milieu de : 9
0,2
Ex.2 : a) 13
7 b) 12
11 c) % 1617/3' d) % 1433/2' Ex.3 : 1 ; 1 -
.; 2 G :.
3H
Ex.4 : @ 30 , B 42 , C 22 et A % 43/2' Ex.5 :
C’est un parallélogramme car , , 47 . Son périmètre vaut 4√65.
Ex.6 :
Il faut vérifier que 2 des 4 vecteurs sont parallèles c’est-à-dire qu’ils ont des composantes multiples.
Ici, 2
2 et 6
6 sont colinéaires donc il s’agit bien d’un trapèze.
Ex.7 :
Trois points sont alignés si les vecteurs et sont colinéaires.
Or 40
2000 et 57
2850 , donc , 1,425 . Ex. 8 : a) b) 3
Ex.9 : 1) 0 2) + 3) 4) 5) I
J 6) Ex.10 :
a) 4 ; 2 et périmètre = 10√2 c) / 7 ; 9 e) 2 5 ; 11
b) + 4 ; 6 d) 1 1 ; 1
Ex.11 :
a) ∃ L ∈ NO: 4 , L. 5 c) 7 , 4 e) ′9 , 9 b) ∃ L ∈ NO: 4 , L. 56 d) ,
Ex.12 :
Hypothèses : ABCD = quadrilatère Thèse : ABCD = parallélogramme
M = milieu de [AC] ⇔ ,
M = milieu de [BD]
Démonstration : , 3 par la relation de Chasles , 3 car M est le milieu de [AC]
, 3 car M est le milieu de [BD]
, par la relation de Chasles
Ex.13 :Hypothèses : ABC = triangle Thèse : MN // BC ⇔ 7 = L.
= .: 7 = .:
Démonstration : 7 = + 7par la relation de Chasles
= − + 7 par définition des vecteurs opposés
= −.: +.: par hypothèse
=.:(− + ) par mise en évidence
=.:( + ) par définition des vecteurs opposés
=.: par la relation de Chasles Ex.14 :
Hypothèses : ABCD = parallélogramme Thèse : + =;<=>;
{ }
E =AC∩BD .Démonstration : ;<=>;
. =;<S;>
. par définition des vecteurs opposés =;T. par la règle du parallélogramme
= + car E est le milieu de [BD] car les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu Ex.15 : @ ==U?
Ex.16 : a) +(−6 ; 17) b) A =.-. Ex.17 :
Ex.18 :
Par la relation de Chasles I est le milieu de [AD]
F est le milieu de [AB]
Par la mise en évidence Par la relation de Chasles Par la relation de Chasles Par la distribution
H est milieu de [DC] et G milieu de [CB]
Par la relation de Chasles Parallélogramme car D/ = 21
