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Chapitre I : CALCUL VECTORIEL, CALCUL MATRICIEL
I – Espaces vectoriels réels 1) Espaces vectoriels sur ℝ
a) Définitions
Définition 1 : Soit 𝐸 un ensemble non vide.
On dit que la loi + est une loi de composition interne sur 𝐸 si et seulement si : ∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐸 , 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐸.
On dit que la loi ⋅ est une loi de composition externe sur 𝐸 si et seulement si :
∀𝑥 ∈ 𝐸, ∀𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ⋅ 𝑥 ∈ 𝐸.
Exemple 1 : Dans ℳ (ℝ), l’addition des matrices carrées de taille 3 est une loi de composition interne et la multiplication d’une matrice par un scalaire est une loi de composition externe.
Définition 2 : On appelle espace vectoriel sur ℝ, ou plus simplement espace vectoriel, tout ensemble 𝐸 non vide, muni d’une loi de composition interne, notée +, et d’une loi de composition externe, notée ⋅ , qui vérifient :
(i) ∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐸 , 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (commutativité de +)
(ii) ∀(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ 𝐸 , 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 (associativité de +)
(iii) Il existe un élément de E noté 0 tel que : ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥 (0 est appelé élément neutre de E pour la loi +, il est unique et noté simplement 0 s’il n’y a pas d’ambiguïté de notation).
(iv) Pour tout élément 𝑥 de E, il existe un élément 𝑦 de E qui vérifie : 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 = 0 (𝑦 est unique et appelé opposé de 𝑥, il est noté – 𝑥).
(v) ∀(𝜆; 𝜇) ∈ ℝ , ∀𝑥 ∈ 𝐸, (𝜆𝜇) ⋅ 𝑥 = 𝜆 ⋅ (𝜇 ⋅ 𝑥) (vi) ∀(𝜆; 𝜇) ∈ ℝ , ∀𝑥 ∈ 𝐸, (𝜆 + 𝜇) ⋅ 𝑥 = 𝜆 ⋅ 𝑥 + 𝜇 ⋅ 𝑥 (vii) ∀𝜆 ∈ ℝ, ∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐸 , 𝜆 ⋅ (𝑥 + 𝑦) = 𝜆 ⋅ 𝑥 + 𝜆 ⋅ 𝑦 (viii) ∀𝑥 ∈ 𝐸, 1 ⋅ 𝑥 = 𝑥
Vocabulaire : Si 𝐸 est un espace vectoriel, les éléments de 𝐸 sont appelés des vecteurs, et les éléments de ℝ sont appelés des scalaires.
Remarque 1 : Le symbole ⋅ de la loi de composition externe qui se trouve entre un scalaire et un vecteur est la plupart du temps sous-entendu : dans le cas des matrices, on écrira 2𝐴 et non pas 2 ⋅ 𝐴.
Propriété 1 : Soit 𝐸 un espace vectoriel.
Pour tout réel (scalaire) 𝜆 et pour tout vecteur 𝑥 ∈ 𝐸, on a :
𝜆 ⋅ 𝑥 = 0 ⇔ 𝜆 = 0 ou 𝑥 = 0 b) Espaces vectoriels de référence
Théorème 1 : Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, l’ensemble ℝ = {(𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ), 𝑥 ∈ ℝ, 𝑥 ∈ ℝ, … , 𝑥 ∈ ℝ}
des 𝑛-uplets de réels est un espace vectoriel.
Remarque 2 : En notant 𝑥 = (𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) et 𝑦 = (𝑥 , 𝑦 , … , 𝑦 ) deux vecteurs de ℝ , les lois sur ℝ sont définies par : 𝑥 + 𝑦 = (𝑥 + 𝑦 , 𝑥 + 𝑦 , … , 𝑥 + 𝑦 ) et , pour tout 𝜆 ∈ ℝ, 𝜆𝑥 = (𝜆𝑥 , 𝜆𝑥 , … , 𝜆𝑥 ).
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Théorème 2 : Pour tout (𝑛, 𝑝) ∈ (ℕ∗) , l’ensemble ℳ , (ℝ) des matrices à coefficients réels, à 𝑛 lignes et 𝑝 colonnes est un espace vectoriel.
Remarque 3 : Les lois associées à ℳ , (ℝ) sont l’addition d’une matrice et la multiplication des matrices par un réel.
Théorème 3 : L’ensemble ℝℕ des suites numériques réelles est un espace vectoriel.
Remarque 4 : Les lois associées à ℝℕ sont définies de la façon suivante :
Si 𝑢 et 𝑣 sont deux suites de ℝℕ (de terme général respectif 𝑢 et 𝑣 ), alors 𝑢 + 𝑣 est la suite de ℝℕ dont le terme général est 𝑢 + 𝑣 et, pour tout 𝜆 ∈ ℝ, la suite 𝜆𝑢 est la suite de ℝℕ dont le terme général est 𝜆𝑢 .
Théorème 4 : Soit 𝐼 une partie de ℝ (en général un intervalle ou une réunion d’intervalles). L’ensemble 𝒜(𝐼, ℝ) des applications de 𝐼 dans ℝ est un espace vectoriel.
Remarque 5 : Les lois associées à 𝒜(𝐼, ℝ) sont définies de la façon suivante :
Si 𝑓 et 𝑔 sont deux applications de 𝒜(𝐼, ℝ), alors 𝑓 + 𝑔 est l’application de 𝒜(𝐼, ℝ) définie par : pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), et pour tout 𝜆 ∈ ℝ, 𝜆𝑓 est l’application de 𝒜(𝐼, ℝ) définie par : pour tout 𝑥 ∈ 𝐼, (𝜆𝑓)(𝑥) = 𝜆𝑓(𝑥).
Remarque 6 : L’ensemble ℝ est lui aussi un espace vectoriel. Les lois associées sont l’addition des réels et la multiplication des réels (ici la loi de composition externe est une loi interne …).
2) Sous espaces vectoriels
Définition 3 : On appelle sous-espace vectoriel de 𝑬, ou plus simplement sous-espace de 𝑬, toute partie (sous-ensemble) de 𝐸 non vide, telle que :
(i) ∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑭 , 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑭 (𝐹 est stable pour l’addition) ;
(ii) ∀𝑥 ∈ 𝑭, ∀𝜆 ∈ ℝ, 𝜆 ⋅ 𝑥 ∈ 𝑭 (𝐹 est stable pour la multiplication par un réel).
Théorème 5 : 𝐹 est un sous-espace vectoriel de 𝐸 si et seulement si : (i) 𝐹 est une partie non vide de 𝐸 ;
(ii) ∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝑭 , ∀𝜆 ∈ ℝ, 𝜆𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑭.
Propriété 2 : Les seuls sous-espaces vectoriels de ℝ sont {0} et ℝ.
Remarque 7 : Tout espace vectoriel 𝐸 a au moins deux sous-espaces vectoriels, {0 } et 𝐸.
Propriété 3 : Tout sous-espace vectoriel de 𝐸 est lui-même un espace vectoriel.
Théorème 6 : L’ensemble des fonctions polynomiales (ou polynômes) à coefficients réels, noté ℝ[𝑋], est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des applications définies sur ℝ noté 𝒜(ℝ, ℝ).
Théorème 7 : L’ensemble des fonctions polynomiales (ou polynômes) à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 𝑛 (𝑛 ∈ ℕ), noté ℝ [𝑋], est un sous-espace vectoriel de ℝ[𝑋].
3 3) Familles de vecteurs
Dans toute la suite du paragraphe I, 𝐸 désigne un espace vectoriel.
a) Combinaisons linéaires
Définition 4 : Soit 𝑛 un entier naturel et ℱ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) une famille de 𝑛 vecteurs de 𝐸. On dit qu’un vecteur 𝑢 de 𝐸 est combinaison linéaire des 𝑛 vecteurs de ℱ s’il existe 𝑛 réels 𝜆 , 𝜆 , … , 𝜆 tels que 𝑢 = 𝜆 ⋅ 𝑒 + 𝜆 ⋅ 𝑒 + ⋯ + 𝜆 ⋅ 𝑒 = 𝜆 ⋅ 𝑒
Remarque 8 :
(i) Les 𝜆 sont appelés les coefficients de la combinaison linéaire.
(ii) Le vecteur nul est combinaison linéaire de n’importe quel vecteur.
Exemple 2 :
(i) Dans l’ensemble ℝ :
(2; 1) − 2(1; 1) + (1; −2) = (1; −3) donc le vecteur (1; −3) est combinaison linéaire de la famille (2; 1), (1; 1), (1; −2) : les coefficients de la CL sont alors 1, -2 et 1.
On peut exprimer ce même vecteur (1; −3) à l’aide d’une autre CL :
(1; −3) = −2(2; 1) + 3(1; 1) + 2(1; −2) : les coefficients sont alors -2, 3 et 2.
(ii) Dans l’ensemble ℳ (ℝ) : Le vecteur 1 2
3 4 est CL de la famille 1 0
0 0 , 0 1
0 2 , 0 0
1 0 , en effet : 1 2
3 4 = 1 0
0 0 + 2 0 1
0 2 + 3 0 0 1 0
b) Familles génératrices
Définition 5 : Soit ℱ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) une famille de 𝑛 vecteurs de 𝐸. On dit que ℱ est une famille génératrice de 𝑬 si tout vecteur de 𝐸 s’écrit comme combinaison linéaire de vecteurs de ℱ.
Autrement dit :
ℱ est une famille génératrice de 𝐸 si, pour tout vecteur 𝑢 ∈ 𝐸, il existe 𝑛 réels 𝜆 , 𝜆 , … , 𝜆 tels que 𝑢 = 𝜆 ⋅ 𝑒 + 𝜆 ⋅ 𝑒 + ⋯ + 𝜆 ⋅ 𝑒 = 𝜆 ⋅ 𝑒
Théorème 8 : Soit ℱ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) une famille de 𝑛 vecteurs de 𝐸. L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires de vecteurs de ℱ est un sous-espace vectoriel de 𝐸 appelé sous-espace vectoriel engendré par ℱ et noté : Vect (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ).
Remarque 9 :
(i) Ce théorème apporte une nouvelle méthode pour justifier qu’un ensemble est un sous-espace vectoriel et donc un espace vectoriel.
(ii) La famille ℱ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) est une famille génératrice de Vect (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ).
4 Propriété 4 : Propriétés des familles génératrices
(i) Si 𝐹 = Vect (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 , 𝑒 ) et si 𝑒 est combinaison linéaire des vecteurs 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 alors 𝐹 = Vect (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) et en particulier : Vect (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 , 0 ) = Vect (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ).
(ii) Si 𝐹 = Vect (𝛼 𝑒 , 𝛼 𝑒 , … , 𝛼 𝑒 ) et si les réels 𝛼 , 𝛼 , … , 𝛼 sont tous non nuls, alors 𝐹 = Vect (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ).
Attention : Ne pas confondre les notations 𝐹 (qui désigne un espace vectoriel) et ℱ (qui désigne une famille de vecteurs) !!!
Exemple 3 : Simplifier l’écriture de 𝐹, sous-espace vectoriel de ℳ (ℝ), défini par : 𝐹 = Vect 1 0
0 0 , 0 2
0 2 , 0 0
1 0 , 1 0
0 0 , 1 0
1 0 , 0 0
0 0 , 1 −1 0 −1 c) Familles libres – Familles liées
Définition 6 : Soit ℱ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) une famille de 𝑛 vecteurs de 𝐸. On dit que ℱ est une famille libre de 𝑬 ou que les vecteurs 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 sont linéairement indépendants, si toute combinaison linéaire nulle de 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ne peut s’écrire qu’avec des réels tous nuls.
Autrement dit :
ℱ est une famille libre de 𝐸 ssi 𝜆 ⋅ 𝑒 = 0 ⇒ ∀𝑖 ∈ ⟦1; 𝑛⟧, 𝜆 = 0.
Définition 7 : Une famille liée est une famille qui n’est pas libre.
Exemple 4 :
(i) Etudions la famille de vecteurs de ℝ : (2; 1), (1; 1), (1; −2) On observe que : −3(2; 1) + 5(1; 1) + (1; −2) = (0; 0)
Il existe donc une CL nulle dont les coefficients ne sont pas tous nuls, la famille (2; 1), (1; 1), (1; −2) est donc liée.
(ii) Etudions la famille de vecteurs de ℳ (ℝ) 1 0
0 0 , 0 1
0 2 , 0 0 1 0
𝛼 1 0
0 0 + 𝛼 0 1
0 2 + 𝛼 0 0
1 0 = 0 0 0 0
⇒ 𝛼 0
0 0 + 0 𝛼
0 2𝛼 + 0 0
𝛼 0 = 0 0
0 0
⇒ 𝛼 𝛼
𝛼 2𝛼 = 0 0
0 0
⇒ 𝛼 = 0 𝛼 = 0 𝛼 = 0
La seule CL nulle est celle dont tous les coefficients sont nuls : la famille 1 0
0 0 , 0 1
0 2 , 0 0 1 0 est donc libre.
(iii) Etudier la famille de ℝ : (1,1,1), (2,1,3)
(iv) Etudier la famille de vecteurs de ℳ (ℝ) : 1 −1
0 2 , 0 1
1 3 , 2 −3
−1 1
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Propriété 5 : Si ℱ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) est une famille libre, alors toute sous-famille de ℱ est une famille libre.
Propriété 6 : Propriétés des familles liées
(i) Une famille de vecteurs de 𝐸 est liée si et seulement si au moins un des vecteurs de la famille est combinaison linéaire des autres.
(ii) Toute famille contenant le vecteur nul est liée.
(iii) Toute famille de vecteurs de 𝐸 contenant une famille liée est liée.
Propriété 7 : Cas particuliers
(i) Soit 𝑢 un vecteur de 𝐸. La famille (𝑢) est liée si et seulement si 𝑢 = 0 . Conséquence : La famille (𝑢) est libre si et seulement si 𝑢 ≠ 0 .
(ii) Soient 𝑢 et 𝑣 deux vecteurs de 𝐸. La famille (𝑢, 𝑣) est liée si et seulement si 𝑢 et 𝑣 sont multiples l’un de l’autre (on dit aussi colinéaires).
Conséquence : La famille (𝑢, 𝑣) est libre si et seulement si 𝑢 et 𝑣 ne sont pas colinéaires.
d) bases
Définition 8 : Soit ℬ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) une famille de 𝑛 vecteurs de 𝐸. On dit que ℬ est une base de 𝑬 si ℬ est à la fois libre et génératrice de 𝐸.
Théorème 9 : La famille ℬ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) est une base de 𝐸 si et seulement si, pour tout vecteur 𝑢 de 𝐸, il existe un unique 𝑛-uplet (𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) d’éléments de ℝ tel que :
𝑢 = 𝑥 𝑒
Remarque 10 : Les réels 𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 sont appelés les coordonnées du vecteur 𝑢 dans la base ℬ.
Exemple 5 : Déterminer une base de l’ensemble 𝐸 = {(𝑥; 𝑦; 𝑧) ∈ ℝ / 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0}
4) Espace vectoriel de dimension finie a) Dimension d’un espace vectoriel
Théorème 10 (admis) : Théorème de la dimension
Si l’espace vectoriel 𝐸 admet une base constituée de 𝑛 vecteurs (𝑛 ∈ ℕ∗), alors toutes les bases de E ont elles aussi 𝑛 vecteurs.
Définition 9 : Le nombre 𝑛 de vecteurs, commun à toutes les bases de 𝐸 est appelé dimension de 𝐸 et noté dim 𝐸. On dit que 𝐸 est de dimension 𝒏 ou plus généralement de dimension finie.
Convention : Si 𝐸 = {0 } alors dim 𝐸 = 0.
Remarque 11 :
(i) Un espace vectoriel de dimension 1 est appelé droite vectorielle ou plus simplement droite.
(ii) Un espace vectoriel de dimension 2 est appelé plan vectoriel ou plus simplement plan.
6 b) Dimension des espaces vectoriels de référence
Théorème 11 : Pour tout 𝑛 ∈ ℕ∗, l’ensemble ℝ des 𝑛-uplets de réels est un espace vectoriel de dimension finie et dim ℝ = 𝑛. En notant 𝑒 = (1,0,0, … ,0), 𝑒 = (0,1,0, … ,0), … , 𝑒 = (0,0, … ,0,1), la famille (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) ainsi définie est une base de ℝ appelée base canonique de ℝ .
Théorème 12 : Pour tout (𝑛, 𝑝) ∈ (ℕ∗) , l’ensemble ℳ , (ℝ) est un espace vectoriel de dimension finie et dim ℳ , (ℝ) = 𝑛 × 𝑝. En notant, pour tout 𝑖 ∈ ⟦1, 𝑛⟧ et pour tout 𝑗 ∈ ⟦1, 𝑝⟧ , 𝐸 la matrice
constituée de 0 sauf celui de la 𝑖ème ligne et 𝑗ème colonne qui vaut 1, la famille 𝐸
, ainsi définie est une base de ℳ , (ℝ) appelée base canonique de ℳ , (ℝ).
Cas particulier : L’ensemble ℳ (ℝ) des matrices carrées de taille 𝑛 est de dimension 𝑛 .
Théorème 13 : L’ensemble ℝ [𝑋], est un espace vectoriel de dimension finie et dim ℝ [𝑋] = 𝑛 + 1. En notant, pour tout 𝑘 ∈ ⟦0, 𝑛⟧, 𝑒 la fonction définie sur ℝ par 𝑒 (𝑥) = 𝑥 , la famille (𝑒 , 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) ainsi définie est une base de ℝ [𝑋], appelée base canonique de ℝ [𝑋].
Remarque 12 : La fonction 𝑒 est la fonction constante égale à 1.
c) Familles de vecteurs en dimension finie
Théorème 14 (admis) : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension 𝑛.
(i) Une famille libre de 𝐸 possède au plus 𝒏 vecteurs.
(ii) Une famille libre de 𝒏 vecteurs de 𝑬 est une base de 𝑬.
(iii) Une famille génératrice de 𝐸 possède au moins 𝒏 vecteurs.
(iv) Une famille génératrice formée de 𝒏 vecteurs de 𝑬 est une base de 𝑬.
Remarque 13 :
(i) Une famille qui contient plus de 𝑛 vecteurs de 𝐸 est donc forcément liée.
(ii) Ce théorème permet de démontrer qu’une famille de 𝑛 vecteurs de 𝐸 est une base de 𝐸 en justifiant seulement qu’elle est libre ou génératrice.
Exemple 6 :
Soit (𝑓 , 𝑓 , 𝑓 , 𝑓 ) la famille de ℝ [𝑋] définie par :
𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2)(𝑥 − 3); 𝑓 (𝑥) = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 − 3); 𝑓 (𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 3) et 𝑓 (𝑥) = 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
Montrer que cette famille est une base de ℝ [𝑋].
d) Sous-espaces vectoriels en dimension finie
Propriété 8 (admise) : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension finie.
Tout sous-espace vectoriel 𝐹 de 𝐸 est aussi de dimension finie et dim 𝐹 ≤ dim 𝐸.
Théorème 15 (admis) : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension finie.
Si 𝐹 est un sous-espace vectoriel de 𝐸 tel que dim 𝐹 = dim 𝐸 alors 𝐹 = 𝐸.
Exemple 7 : On sait que dim ℳ (ℝ) = 𝑛 . Déterminer la dimension de l’ensemble des matrices diagonales de taille 𝑛, TS de taille 𝑛, symétriques de taille 𝑛 et antisymétriques de taille 𝑛.
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5) Rang d’une famille de vecteurs – Rang d’une matrice
Définition 10 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension finie et 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 une famille de 𝑝 vecteurs de 𝐸 (𝑝 ∈ ℕ∗). On appelle rang de la famille 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 , et on note rg(𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ), la dimension de Vect(𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ).
Conséquence de la définition : Le rang de la famille 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 est le cardinal de la plus grande famille libre contenue dans 𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 .
Exemple 7 : En reprenant l’exemple 3, étudier le rang de la famille : 1 0
0 0 , 0 2
0 2 , 0 0
1 0 , 1 0
0 0 , 1 0
1 0 , 0 0
0 0 , 1 −1 0 −1
Définition 11 : Le rang d’une matrice 𝐴 de ℳ , (ℝ) est égal au rang de la famille de ses vecteurs colonnes dans ℳ , (ℝ). On le note rg(𝐴).
Exemple 8 : Etudier le rang des matrices 𝐴 et 𝐵 suivantes : 𝐴 =
2 1 1 1 0 1 3 2 1
et 𝐵 = 2 1 0 1 0 1 3 2 1
Propriété 9 (admise) : Pour toute matrice 𝐴 de ℳ , (ℝ), rg 𝐴 = rg(𝐴) Théorème 16 : Pour toute matrice 𝐴 de ℳ , (ℝ), rg(𝐴) = 0 ⇔ 𝐴 = 0.
II – Généralités sur les applications linéaires
Dans ce paragraphe, les lettres 𝐸 et 𝐹 désignent deux espaces vectoriels réels.
1) Définition et propriétés Définition 12 :
1) On appelle application linéaire de 𝑬 dans 𝑭, toute application 𝑓 définie sur 𝐸 à valeurs dans 𝐹 telle que :
(i) ∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐸 , 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦) (ii) ∀𝑥 ∈ 𝐸, ∀𝜆 ∈ ℝ, 𝑓(𝜆𝑥) = 𝜆𝑓(𝑥)
L’ensemble des applications linéaires de 𝐸 dans 𝐹 se note ℒ(𝐸, 𝐹).
2) On appelle endomorphisme de 𝑬, toute application linéaire de 𝐸 dans 𝐸 L’ensemble des endomorphismes de 𝐸 se note ℒ(𝐸).
Propriété 10 : 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹 si, et seulement si :
∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐸 , ∀(𝜆, 𝜇) ∈ ℝ , 𝑓(𝜆𝑥 + 𝜇𝑦) = 𝜆𝑓(𝑥) + 𝜇𝑓(𝑦) Propriété 11 : 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹 si, et seulement si :
∀(𝑥; 𝑦) ∈ 𝐸 , ∀𝜆 ∈ ℝ, 𝑓(𝜆𝑥 + 𝑦) = 𝜆𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦)
8 Exemple 9 :
1) L’application identité de 𝐸 notée 𝐼𝑑 : 𝑥 ↦ 𝑥 est un endomorphisme de 𝐸.
2) L’application 𝑓: 𝐸 → 𝐹
𝑥 ↦ 0 est une application linéaire.
3) L’application 𝑔, qui à toute fonction polynomiale 𝑃 de ℝ [𝑋] associe le réel ∫ 𝑃(𝑡)𝑑𝑡 (où 𝑎 et 𝑏 sont des réels), est une application linéaire de ℝ [𝑋] dans ℝ.
4) L’application ℎ, qui à toute fonction polynomiale 𝑃 de ℝ [𝑋] associe la fonction polynomiale 𝑃’, est une application linéaire de ℝ [𝑋] dans ℝ [𝑋].
Propriété 12 : Si 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹 alors : (i) 𝑓(0 ) = 0
(ii) ∀𝑥 ∈ 𝐸, 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥)
(iii) ∀(𝑥 , 𝑥 , … , 𝑥 ) ∈ 𝐸 , ∀(𝜆 , 𝜆 , … , 𝜆 ) ∈ ℝ , 𝑓 𝜆 𝑥 = 𝜆 𝑓(𝑥 )
2) Opérations sur les applications linéaires
Lois sur ℒ(𝐸, 𝐹) : L’addition des applications de ℒ(𝐸, 𝐹) et la multiplication d’une application de ℒ(𝐸, 𝐹) par un scalaire se définissent de la façon suivante :
Pour toutes applications linéaires 𝑓 et 𝑔 de ℒ(𝐸, 𝐹), 𝑓 + 𝑔 est l’application linéaire de ℒ(𝐸, 𝐹) définie, pour tout vecteur 𝑥 de 𝐸, par (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) et, pour tout réel 𝜆, 𝜆𝑓 est l’application linéaire de ℒ(𝐸, 𝐹) définie, pour tout vecteur 𝑥 de 𝐸, par (𝜆𝑓)(𝑥) = 𝜆𝑓(𝑥).
Propriété 13 : ℒ(𝐸, 𝐹) et en particulier ℒ(𝐸) sont des espaces vectoriels réels.
Propriété 14 : Si 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹 et si 𝑔 est une application linéaire de 𝐹 dans 𝐺 (espace vectoriel), alors 𝑔 ∘ 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐺.
En particulier, la composée de deux endomorphismes de 𝐸 est un endomorphisme de 𝐸.
Définition 13 : Soit 𝑓 un endomorphisme de 𝐸.
Par convention, on pose 𝑓 = 𝐼𝑑 et, pour tout entier naturel 𝑝 non nul, on définit l’endomorphisme 𝑓 par la relation de récurrence : 𝑓 = 𝑓 ∘ 𝑓.
Ainsi : 𝑓 = 𝑓 ∘ 𝑓 ∘ … ∘ 𝑓
3) Isomorphisme – Automorphisme Définition 14 :
1) On appelle isomorphisme de 𝑬 dans 𝑭 toute application linéaire bijective de 𝐸 dans 𝐹.
2) On appelle automorphisme de 𝑬 toute application linéaire bijective de 𝐸 dans 𝑬, ou plus simplement tout endomorphisme bijectif de 𝑬.
Propriété 15 :
1) Si 𝑓 est un automorphisme de 𝐸, alors 𝑓 est aussi un automorphisme de 𝐸.
2) La composée de deux automorphismes 𝑓 et 𝑔 de 𝐸 est un automorphisme de 𝐸 et : (𝑔 ∘ 𝑓) = 𝑓 ∘ 𝑔
9 4) Noyau et image d’une application linéaire
Définition 15 : Soit 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹.
On appelle noyau de 𝑓, noté Ker𝑓, le sous-ensemble de 𝑬 défini par : Ker𝑓 = {𝑥 ∈ 𝐸/𝑓(𝑥) = 0 }
Remarque 14 :
(i) Ker𝑓 est l’ensemble des antécédents dans 𝐸 du vecteur nul 0 .
(ii) 𝑓 étant une application linéaire, 𝑓(0 ) = 0 (d’après la propriété 12) donc 0 ∈ Ker𝑓.
Ainsi Ker𝑓 n’est pas vide.
Propriété 16 : Soit 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹. Ker𝑓 est un sous-espace vectoriel de 𝑬.
Théorème 17 : Une application linéaire 𝑓 de 𝐸 dans 𝐹 est injective si, et seulement si : Ker𝑓 = {0 }.
Définition 16 : Soit 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹.
On appelle image de 𝑓, noté Im𝑓, le sous-ensemble de 𝑭 défini par :
Im𝑓 = {𝑦 ∈ 𝐹/∃𝑥 ∈ 𝐸, 𝑦 = 𝑓(𝑥)} = {𝑓(𝑥)/𝑥 ∈ 𝐸}
Remarque 15 :
(i) Im𝑓 est l’ensemble des vecteurs de 𝐹 qui ont un antécédent dans 𝐸.
(ii) 𝑓 étant une application linéaire, 0 = 𝑓(0 ) (toujours d’après la propriété 12) donc 0 ∈ Im𝑓.
Ainsi Im𝑓 n’est pas vide.
Propriété 17 : Soit 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹. Im𝑓 est un sous-espace vectoriel de 𝑭.
Théorème 18 : Une application linéaire 𝑓 de 𝐸 dans 𝐹 est surjective si, et seulement si : Im𝑓 = 𝐹.
III – Applications linéaires en dimension finie
Dans tout le paragraphe, les espaces vectoriels considérés sont de dimension finie.
1) Théorème du rang
a) Caractérisation des applications linéaires
Propriété 18 : Soient 𝐸 et 𝐹 deux espaces vectoriels et ℬ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) une base de 𝐸 Toute application linéaire 𝑓 de 𝐸 dans 𝐹 est parfaitement définie par la donnée des vecteurs 𝑓(𝑒 ), 𝑓(𝑒 ), … , 𝑓(𝑒 ).
Remarque 16 : On en déduit que si 𝑓 et 𝑔 sont deux applications linéaires de 𝐸 dans 𝐹 telles que, pour tout 𝑖 ∈ ⟦1; 𝑛⟧, 𝑓(𝑒 ) = 𝑔(𝑒 ) , alors 𝑓 = 𝑔.
Propriété 19 : Soit 𝑓 une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹 et ℬ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) une base de 𝐸.
L’image par 𝑓 de la base ℬ est une famille génératrice de Im𝑓.
Autrement dit : 𝐈𝐦𝒇 = 𝐕𝐞𝐜𝐭(𝒇(𝒆𝟏), 𝒇(𝒆𝟐), … , 𝒇(𝒆𝒏)).
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Propriété 20 : Soient 𝐸 et 𝐹 deux espaces vectoriels de dimension finie et 𝑓 une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹.
𝑓 est bijective si, et seulement si l’image par 𝑓 d’une base de 𝐸 est une base de 𝐹.
Théorème 19 : Soient 𝐸 et 𝐹 deux espaces vectoriels de dimension finie.
S’il existe un isomorphisme de 𝐸 vers 𝐹, alors dim 𝐸 = dim 𝐹 . b) Rang d’une application linéaire – Théorème du rang Définition 17 : Soit 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹.
On appelle rang de 𝑓, noté rg(𝑓), la dimension de Im𝑓.
Remarque 17 : Si ℬ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) est une base de 𝐸, d’après la propriété 19 et la définition 10, le rang de 𝑓 est le rang de la famille (𝑓(𝑒 ), 𝑓(𝑒 ), … , 𝑓(𝑒 )).
Théorème 20 : Théorème du rang
Soit 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹 où 𝑬 est un espace vectoriel de dimension finie. On a : dim 𝐸 = dim Im𝑓 + dim Ker𝑓
Ou encore :
dim 𝐸 = rg(𝑓) + dim Ker𝑓 Remarque 18 :
(i) Ce théorème est très pratique pour déterminer rapidement le noyau quand on connaît l’image et inversement.
(ii) Conséquence du théorème : rg(𝑓) = 0 ⇔ 𝑓 = 0 c) Caractérisation des isomorphismes
Propriété 21 : Soient 𝐸 et 𝐹 deux espaces vectoriels de même dimension finie et 𝑓 une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹. On a :
𝑓 est injective ⇔ 𝑓 est surjective ⇔ 𝑓 est bijective Remarque 19 : En particulier, si 𝐸 est de dimension finie :
(i) Tout endomorphisme injectif de 𝐸 est un automorphisme de 𝐸 ; (ii) Tout endomorphisme surjectif de 𝐸 est un automorphisme de 𝐸.
Propriété 22 : Soient 𝐸 et 𝐹 deux espaces vectoriels de même dimension 𝑛 et 𝑓 une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹. On a :
𝑓 est bijective ⇔ rg(𝑓) = 𝑛 Remarque 20 :
En particulier, si 𝐸 est de dimension 𝑛, un endomorphisme 𝑓 de 𝐸 est un automorphisme de 𝐸 si, et seulement si rg(𝑓) = 𝑛.
Exemple 10 : Soit 𝑓 l’application
ℳ, (ℝ) ⟶ ℳ , (ℝ) 𝑥
𝑦 ↦
2𝑥 + 𝑦 𝑥 − 3𝑦
. Comment montrer rapidement que 𝑓 est bijective ?
11 2) Matrice associée à une application linéaire
a) Définition et premières propriétés
Définition 18 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension 𝑛, de base ℬ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) et 𝐹 un espace vectoriel de dimension 𝑝, de base ℬ′ = 𝑒′ , 𝑒′ , … , 𝑒′ .
Si 𝑓 est une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹, on appelle matrice de 𝒇 relativement aux bases 𝓑 et 𝓑′, la matrice de ℳ , (ℝ) dont la jème colonne est formée des coordonnées du vecteur 𝑓(𝑒 ) dans la base ℬ′. On la note 𝑀𝑎𝑡ℬ,ℬ (𝑓).
Exemple 11 : Soit 𝑓 l’application
ℳ, (ℝ) ⟶ ℳ , (ℝ) 𝑥
𝑦 𝑧
↦ 2𝑥 + 𝑦 𝑧 − 3𝑦
.
𝐸 = ℳ , (ℝ) de dimension 3 et de base canonique ℬ = (𝑒 , 𝑒 , 𝑒 ) et 𝐹 = ℳ, (ℝ) de dimension 2 et de base canonique ℬ′ = (𝑒′ , 𝑒′ ).
𝑓(𝑒 ) = 𝑓 1 0 0
= 2
0 = 2𝑒 + 0𝑒 , 𝑓(𝑒 ) = 𝑓 0 1 0
= 1
−3 = 1𝑒 − 3𝑒 et 𝑓(𝑒 ) = 𝑓
0 0 1
= 0
1 = 0𝑒 + 1𝑒 Ainsi 𝑀𝑎𝑡ℬ,ℬ (𝑓) = 2 1 0
0 −3 1 Remarque 21 :
En particulier, si 𝑓 est un endomorphisme de 𝐸, la matrice de 𝑓 relativement à la base ℬ est la matrice carrée de ℳ (ℝ) dont la jème colonne est formée des coordonnées du vecteur 𝑓(𝑒 ) dans la base ℬ.
On la note 𝑀𝑎𝑡ℬ(𝑓).
Remarque 22 :
La matrice de 𝐼𝑑 dans n’importe qu’elle base de 𝐸 est la matrice 𝐼 (matrice identité de ℳ (ℝ)).
Propriété 23 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension 𝑛, de base ℬ et 𝐹 un espace vectoriel de dimension 𝑝, de base ℬ′. Soit 𝑓 une application linéaire de E dans F de matrice A relativement aux bases ℬ et ℬ′. Soit 𝑥 un vecteur de E et y un vecteur de F défini par 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Notons X le vecteur colonne de ℳ , (ℝ) constitué des coordonnées de 𝑥 dans la base ℬ et Y le vecteur colonne de ℳ , (ℝ) constitué des coordonnées de y dans la base ℬ′. On a :
𝑦 = 𝑓(𝑥) ⇔ 𝑌 = 𝐴𝑋
Exemple 12 : En reprenant l’exemple 11, pour calculer l’image du vecteur 1 2 3
par l’application 𝑓, il suffit d’effectuer le produit matriciel 2 1 0
0 −3 1 1 2 3
= 4
−3 . Ainsi 𝑓 1
2 3
= 4
−3 .
12 b) Opérations
Théorème 21 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de base ℬ, et 𝐹 un espace vectoriel de base ℬ’. Soient 𝑓 et 𝑔 deux applications linéaires de ℒ(𝐸, 𝐹), dont les matrices relativement aux bases ℬ et ℬ′, sont
respectivement 𝐴 et 𝐵, alors :
1) la matrice de 𝑓 + 𝑔 relativement aux bases ℬ et ℬ′ est 𝐴 + 𝐵 ;
2) pour tout réel 𝜆, la matrice de 𝜆𝑓 relativement aux bases ℬ et ℬ′ est 𝜆𝐴.
Remarque 23 : En particulier, si 𝑓 et 𝑔 sont deux endomorphismes de 𝐸, dont les matrices relativement à la base ℬ sont respectivement A et B, alors :
1) la matrice de l’endomorphisme 𝑓 + 𝑔 relativement à la base ℬ est 𝐴 + 𝐵 ;
2) pour tout réel 𝜆, la matrice de l’endomorphisme 𝜆𝑓 relativement à la base ℬ est 𝜆𝐴.
Théorème 22 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension 𝑛, de base ℬ, et 𝐹 un espace vectoriel de dimension 𝑝, de base ℬ’. L’application 𝑀𝑎𝑡ℬ,ℬ qui à toute application linéaire de ℒ(𝐸, 𝐹), associe sa matrice relativement aux bases ℬ et ℬ′, est un isomorphisme de ℒ(𝐸, 𝐹) vers ℳ , (ℝ).
Ainsi : dim ℒ(𝐸, 𝐹) = 𝑛𝑝 = dim 𝐸 × dim 𝐹 (d’après le théorème 19).
Remarque 24 : En particulier, l’application 𝑀𝑎𝑡ℬ qui à toute application linéaire de ℒ(𝐸), associe sa matrice relativement à la base ℬ, est un isomorphisme de ℒ(𝐸) vers ℳ (ℝ) et dim ℒ(𝐸) = 𝑛 . Théorème 23 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension 𝑛, de base ℬ, et 𝐹 un espace vectoriel de dimension 𝑝, de base ℬ’. Soit 𝑓 une application linéaire de 𝐸 dans 𝐹 et 𝐴 la matrice de 𝑓 relativement aux bases ℬ et ℬ′. On a rg(𝑓) = rg(𝐴).
Théorème 24 : Soient 𝐸, 𝐹 et 𝐺 trois espaces vectoriels de bases respectives ℬ , ℬ , ℬ . Soit 𝑓 une application linéaire de E dans F et 𝑔 une application linéaire de 𝐹 dans 𝐺.
Si A est la matrice de f relativement aux bases ℬ et ℬ et si B est la matrice de g relativement aux bases ℬ et ℬ , alors la matrice de 𝑔 ∘ 𝑓 relativement aux bases ℬ et ℬ est 𝐵 × 𝐴.
Remarque 25 : En particulier, si 𝑓 et 𝑔 sont deux endomorphismes de 𝐸, dont les matrices relativement à la base ℬ sont respectivement A et B, alors la matrice de l’endomorphisme 𝑔 ∘ 𝑓 relativement à la base ℬ est 𝐵 × 𝐴.
Propriété 24 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de base ℬ. Soit 𝑓 un endomorphisme de 𝐸 de matrice 𝐴 relativement à la base ℬ.
Pour tout entier naturel k, la matrice de l’endomorphisme 𝑓 dans la base ℬ est 𝐴 .
Théorème 25 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de base ℬ, et 𝐹 un espace vectoriel de base ℬ’ tels que dim 𝐸 = dim 𝐹. L’application linéaire 𝑓 est bijective si, et seulement si, sa matrice A relativement aux bases ℬ et ℬ′ est inversible.
Dans ce cas, la matrice de 𝑓 relativement aux bases 𝓑′ et 𝓑 est 𝐴 .
Remarque 26 : En particulier, si 𝑓 est un endomorphisme de 𝐸, dont la matrice relativement à la base ℬ est A, alors : l’endomorphisme f est bijectif si, et seulement si, A est inversible.
Dans ce cas, la matrice de 𝑓 relativement à la base ℬ est 𝐴 .
13
3) Polynôme annulateur d’un endomorphisme, d’une matrice
Définition 19 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension 𝑛, de base ℬ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) et 𝑓 un endomorphisme de 𝐸 de matrice A relativement à la base ℬ.
Soit 𝑃 la fonction polynôme de ℝ[𝑋] telle que 𝑃(𝑥) = 𝑎 𝑥 où 𝑚 est un entier naturel.
𝑃(𝑓) est l’endomorphisme de 𝐸 défini par : 𝑃(𝑓) = 𝑎 𝑓
𝑃(𝐴)est la matrice de ℳ (ℝ) définie par : 𝑃(𝐴) = 𝑎 𝐴
Exemple 13 : Si 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 2, alors 𝑃(𝑓) = 𝑓 − 3𝑓 + 2𝑰𝒅𝑬 et 𝑃(𝐴) = 𝐴 − 3𝐴 + 2𝑰 Propriété 25 : Soient 𝑃 et 𝑄 deux fonctions polynômes de ℝ[𝑋] et 𝛼, 𝛽 deux réels.
(𝛼𝑃 + 𝛽𝑄)(𝑓) = 𝛼𝑃(𝑓) + 𝛽𝑄(𝑓) et (𝑃𝑄)(𝑓) = 𝑃(𝑓) ∘ 𝑄(𝑓) (𝛼𝑃 + 𝛽𝑄)(𝐴) = 𝛼𝑃(𝐴) + 𝛽𝑄(𝐴) et (𝑃𝑄)(𝐴) = 𝑃(𝐴)𝑄(𝐴)
Exemple 14 : On reprend 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 2. Sous sa forme factorisée, 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 2).
Alors : 𝑃(𝑓) = (𝑓 − 𝐼𝑑 ) ∘ (𝑓 − 2𝐼𝑑 ) et 𝑃(𝐴) = (𝐴 − 𝐼)(𝐴 − 2𝐼)
Définition 20 : On dit que le polynôme P est un polynôme annulateur de f (respectivement de A) si 𝑃(𝑓) = 0 (respectivement 𝑃(𝐴) = 0).
Exemple 15 : Soit 𝐴 = 1 1 1 0 2 0 0 0 2
et 𝑃(𝑥) = 𝑥 − 3𝑥 + 2.
Montrer que 𝑃 est un polynôme annulateur de 𝐴. En déduire que 𝐴 est inversible et déterminer 𝐴 . 4) Changement de base
a) Matrice d’une famille de vecteurs
Définition 21 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension 𝑛, de base ℬ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) et ℱ = (𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 ) une famille de 𝑝 vecteurs de 𝐸.
On appelle matrice de 𝓕 relativement à la base 𝓑, la matrice de ℳ , (ℝ) dont la jème colonne est formée des coordonnées du vecteur 𝑓 dans la base ℬ. On la note 𝑀𝑎𝑡ℬ(ℱ).
Exemple 16 : Dans ℝ , la famille ℱ = (𝑓 , 𝑓 ) où 𝑓 = (1,2,3) et 𝑓 = (−1,0,1) a pour matrice dans la base canonique de ℝ : 1 −1
2 0
3 1
.
Propriété 26 : Soit 𝐸 un espace vectoriel de dimension 𝑛, de base ℬ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) et ℱ = (𝑓 , 𝑓 , … , 𝑓 ) une famille de 𝒏 vecteurs de 𝐸.
Si la matrice de ℱ dans la base ℬ est inversible, alors ℱ est une base de 𝐸.
14
Théorème 26 : Une matrice 𝐴 de ℳ (ℝ) est inversible si, et seulement si, rg(𝐴) = 𝑛.
b) Matrice de passage
Définition 22 : On note ℬ = (𝑒 , 𝑒 , … , 𝑒 ) et ℬ′ = (𝑒′ , 𝑒′ , … , 𝑒′ ) deux bases de E.
La matrice de la base ℬ′ relativement à la base ℬ est appelée matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′ et notée 𝑃ℬ,ℬ ou plus simplement 𝑃.
Propriété 27 : Pour toutes bases ℬ et ℬ′ de E, la matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′ est inversible et sa matrice inverse 𝑃 est la matrice de passage de la base ℬ′ à la base ℬ.
Autrement dit : si 𝑃 = 𝑃ℬ,ℬ alors 𝑃 = 𝑃ℬ ,ℬ
c) Changement de bases
Théorème 27 : Soient ℬ et ℬ′ deux bases de E et 𝑃 la matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′.
Pour tout vecteur 𝑥 de 𝐸, on note 𝑋 (respectivement 𝑋’) la matrice de 𝑥 dans la base ℬ (respectivement dans la base ℬ′). Alors, on a : 𝑋 = 𝑃𝑋’.
Théorème 28 : Soient ℬ et ℬ′ deux bases de E et 𝑃 la matrice de passage de la base ℬ à la base ℬ′.
Pour tout endomorphisme 𝑓 de 𝐸, on note 𝐴 (respectivement 𝐴’) la matrice de 𝑓 dans la base ℬ (respectivement dans la base ℬ′). Alors, on a : 𝐴′ = 𝑃 𝐴𝑃.
Exemple 17 : Soit la famille (𝑢, 𝑣, 𝑤)de vecteurs de ℝ définis par 𝑢 = (0,1,1), 𝑣 = (2,0, −1) et 𝑤 = (2,1,1).
La matrice 𝑃 de la famille (𝑢, 𝑣, 𝑤) dans la base canonique de ℝ est 𝑃 = 0 2 2
1 0 1
1 −1 1 .
On démontre facilement que cette famille est une base de ℝ . Ainsi la matrice 𝑃 est inversible.
Dans cette base, quelles sont les coordonnées du vecteur 𝑥 = (4, −1, −2) ? Notons 𝑋 = 4
−1
−2
la matrice de 𝑥 dans la base canonique de ℝ .
Alors, 𝑋 = 𝑃𝑋’ ⇔ 𝑋 = 𝑃 𝑋 =
0 2 2
1 0 1
1 −1 1
−1 4
−1
−2
=
−1
2 2 −1
0 1 −1
1
2 −1 1
4
−1
−2
=
−2 1 1 On en déduit que 𝑥 = −2𝑢 + 𝑣 + 𝑤
d) Matrices semblables
Définition 23 : Deux matrices 𝐴 et 𝐴’ de ℳ (ℝ) sont dites semblables s’il existe une matrice inversible 𝑃 telle que : 𝐴 = 𝑃 𝐴𝑃.
Théorème 29 : Deux matrices 𝐴 et 𝐴’ sont semblables si, et seulement si, elles représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.
Remarque 27 : Mais ceci est une autre histoire … Voir le chapitre suivant !
15 IV – Un peu de SCILAB
1) Premiers résultats
a) Définition d’une matrice / d’un vecteur
Une matrice (ou un vecteur) se définit entre crochets, la liste de ses éléments se définit de la façon suivante :
- Les éléments d’une ligne sont séparés par des virgules ou des espaces ; - Les éléments d’une colonne sont séparés par des points-virgules.
Exemple 18 :
Après validation de l’instruction L=[1 2 3] ou L=[1, 2, 3], Scilab affiche : L =
1. 2. 3.
Après validation de l’instruction C=[1 ; 2 ; 3],Scilab affiche : C =
1.
2.
3.
Après validation de l’instruction M=[1 2 3 ;4 5 6],Scilab affiche : M =
1. 2. 3.
4. 5. 6.
b) Opérations
Soient 𝐴 et 𝐵 deux matrices compatibles pour les opérations ci-dessous et 𝑘 un entier (éventuellement relatif) :
Opération 𝐴 + 𝐵 𝐴 − 𝐵 𝐴𝐵 𝐴 𝐴 𝐴
Syntaxe Scilab A+B A-B A*B A^k Inv(A) A’
Opérations sur les éléments de matrices :
Matrice voulue 𝑎 𝑏 𝑎 /𝑏 𝑎
Syntaxe Scilab A.*B A./B A.^k
Remarque 28 : un seul point après la première matrice et l’opération concerne les termes deux à deux.
Taille d’une matrice :
L’instruction size(A) renvoie le format de la matrice 𝐴.
Exemple 19 :
Après validation de la suite d’instructions A=[1 4 9 ;25 4 0];size(A),Scilab affiche : ans =
2. 3. (deux lignes et trois colonnes)
16
Remarque 29 : Le point-virgule situé après la création de la matrice empêche l’affichage de la matrice.
Pour afficher 𝐴, il suffit de remplacer le point-virgule par une virgule.
Exemple 20 :
Après validation de la suite d’instructions A=[1 4 9 ;25 4 0],size(A),Scilab affiche : A =
1. 4. 9.
25. 4. 0.
ans =
2. 3.
Rang d’une matrice :
L’instruction rank(A) renvoie le rang de la matrice 𝐴.
Exemple 21 :
Après validation de la suite d’instructions A=[1 2 3 ;1 2 3 ;1 2 2];rank(A),Scilab affiche : ans =
2.
Fonctions de matrices :
Si 𝐴 est une matrice et si 𝑓 est une matrice connue de Scilab (soit prédéfinie, soit programmée), l’instruction f(A) renvoie la matrice dont les coefficients sont les images par 𝑓 des coefficients de 𝐴.
Exemple 22 :
Après validation de la suite d’instructions A=[1 4 9 ;25 4 0];B=sqrt(A),Scilab affiche : B =
1. 2. 3.
5. 2. 0.
Extraction et modification de certains éléments d’une matrice :
Soit 𝑢 une variable contenant un vecteur ligne (ou colonne) et une variable 𝐴 contenant une matrice.
L’instruction u(k) extrait le 𝑘ème coefficient de 𝑢
L’instruction A(i,j) extrait le coefficient de la 𝑖ème ligne et 𝑗ème colonne de 𝐴 L’instruction A(i,:) extrait la 𝑖ème ligne de 𝐴
L’instruction A(:,j) extrait la 𝑗ème colonne de 𝐴 Exemple 23 :
Après validation de la suite d’instructions A=[1 4 9 ;25 4 0];a=A(2,1),Scilab affiche : a =
25.
Soit 𝑢 une variable contenant un vecteur ligne (ou colonne) et une variable 𝐴 contenant une matrice à 𝑛 lignes et 𝑝 colonnes.
Considérons de plus un réel 𝑏, un vecteur ligne 𝐿 à 𝑝 colonnes et un vecteur colonne 𝐶 à 𝑛 lignes.
L’instruction u(k)=b remplace le 𝑘ème coefficient de 𝑢 par 𝑏.
L’instruction A(i,j)=b remplace le coefficient de la 𝑖ème ligne et 𝑗ème colonne de 𝐴 par 𝑏.
L’instruction A(i,:)=L remplace la 𝑖ème ligne de 𝐴 par le vecteur ligne 𝐿.
L’instruction A(:,j)=C remplace la 𝑗ème colonne de 𝐴 par le vecteur colonne 𝐶.
17 Exemple 24 :
Après validation de la suite d’instructions A=[1 4 9 ;25 4 0];C=[-1 ;-2];A( :,3)=C, Scilab affiche :
A =
1. 4. -1.
25. 4. -2.
Résolution d’un système :
Soit une variable 𝐴 contenant une matrice à 𝑛 lignes et 𝑝 colonnes et une variable 𝐵 contenant un vecteur colonne à 𝑛 lignes.
- L’instruction A\B donne une solution particulière du système 𝐴𝑋 = 𝐵 mais pas toutes les solutions.
- L’instruction linsolve(A,-B)renvoie le vecteur vide [] si le système 𝐴𝑋 = 𝐵 n’a pas de solution, le vecteur solution s’il est unique ou une solution particulière si le système en a une infinité.
Exemple 25 :
Après validation de la suite d’instructions A=[1 2;1 3];B=[1;0];linsolve(A,-B), Scilab affiche :
ans = 3.
-1.
Fonction find (très utile pour les simulations de variables aléatoires) : Soit une variable 𝐴 contenant une matrice.
L’instruction find(A test logique)donne, sur une ligne, les positions des coefficients de 𝐴 qui rendent le test vrai. Ces positions sont comptées comme si la matrice A était considérée comme un vecteur colonne contenant les colonnes de 𝐴 l’une sous l’autre.
Exemple 26 : Après validation de la suite d’instructions
A=[0.65 0.34 0.12;0.8 0.63 0.25;0.7 0.49 0.1],find(A<=0.5), size(find(A<=0.5)
Scilab affiche : A =
0.65 0.34 0.12 0.8 0.63 0.25 0.7 0.49 0.1 ans =
4. 6. 7. 8. 9.
ans =
1. 5.
Remarque 30 :
L’instruction size(find(A<=0.5) donne la taille de la matrice obtenue après avoir validé
l’instruction find(A<=0.5). La matrice obtenue est une matrice à 1 ligne et 5 colonnes. La deuxième valeur, 5, donne donc le nombre de coefficients de 𝐴 qui rendent le test vrai.
2) Compléments sur les vecteurs et matrices a) Les vecteurs
Pour un vecteur ligne dont les éléments forment une suite arithmétique de premier terme 𝑎, de raison 𝑟 et ne dépassant pas 𝑏, on note : u=a:r:b
18 Exemple 27 :
La commande u=-2:3:15 donne : -2. 1. 4. 7. 10. 13.
La commande v=10:-2:1 donne : 10. 8. 6. 4. 2.
L’instruction
linspace(valeur mini,valeur maxi,nombre de valeurs)
construit un vecteur à pas constant dont le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes sont déterminés à l’avance.
Exemple 28 :
La commande u=linspace(3,7,11) donne :
3. 3.4 3.8 4.2 4.6 5. 5.4 5.8 6.2 6.6 7.
b) Matrices
On peut, lorsque cela est possible et pour les grandes matrices, définir une matrice en définissant chaque ligne comme un vecteur particulier.
Exemple 29 :
La commande A=[1:2:9;2:6;2:2:10] donne : A=
1. 3. 5. 7. 9.
2. 3. 4. 5. 6.
2. 4. 6. 8. 10.
i. Matrices prédéfinies
La matrice ones(n,m) : matrice à n lignes et m colonnes dont tous les coefficients sont égaux à 1.
La matrice zeros(n,m) : matrice à n lignes et m colonnes dont tous les coefficients sont égaux à 0.
La matrice eye(n,m) : matrice à n lignes et m colonnes dont tous les coefficients sont nuls sauf les éléments 𝑎, qui valent 1 (c’est la matrice identité si n=m)
Exemple 30 : (EDHEC 2015)
On considère la matrice 𝐶 de 𝑀 (ℝ) définie par 𝐶 =
⎝
⎜
⎛
1 1 1 1 0 0 1 0 0
1 1 0 0 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 1 1⎠
⎟
⎞
Compléter, à l’aide de matrices de type zeros et ones, les deux espaces laissés libres dans la commande Scilab suivante pour qu’elle permette de construire la matrice 𝐶.
C = [ones(1,5);---,---;ones(1,5)]
19 ii. Opérations
Concaténation : elle permet de juxtaposer vecteurs et matrices déjà définis dont les formats sont compatibles.
Exemple 15 :
La commande u=1:5;v=[u,u] donne :
v= 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. 5.
La commande u=1:2:7;A=[u;u;u;u] donne : A=
1. 3. 5. 7.
1. 3. 5. 7.
1. 3. 5. 7.
1. 3. 5. 7.
Si 𝐴 est une matrice, la commande A(a:r:b) renvoie les éléments de 𝐴 dont les positions sont 𝑎, 𝑎 + 𝑟, 𝑎 + 2𝑟, … , sans dépasser 𝑏. Les positions sont données de haut en bas de colonne en colonne.
Exemple 16 :
Après les instructions : A=[1 3 -2;5 -1 0;2 7 -3],B=A(2:2:9) on obtient : A =
1. 3. -2.
5. -1. 0.
2. 7. -3.
B = 5.
3.
7.
0.
Les fonctions min et max renvoient respectivement le plus petit et le plus grand élément d’une matrice.
Exemple 17 :
Après les instructions : A=[1 3 -2;5 -1 0;2 7 -3] ;x=min(A),y=max(A) on obtient : x =
-3.
y = 7.
La fonction length renvoie le nombre d’éléments d’une matrice.
Ne pas confondre avec la fonction size qui donne dans l’ordre le nombre de lignes et de colonnes.
20 Exemple 18 :
A=grand(10,10,’nor’,5,0.5);
x=find(A<5.5 & A>4.5);
B=A(x);
p=length(B)/length(A)
La première instruction construit une matrice carrée d’ordre 10 dont les éléments sont les valeurs d’une loi normale de paramètre m=5 et σ=0,5 ;
La deuxième donne les positions des éléments de A vérifiant les conditions de la fonction size ; La troisième donne les valeurs des éléments de A vérifiant les conditions de la fonction size.
La dernière donne la proportion d’éléments de A compris entre 4,5 et 5,5.
La fonction sum(A) renvoie la somme des éléments d’une matrice A.
La fonction cumsum(A) renvoie une matrice de même taille que A, dont les éléments sont les sommes partielles des éléments de A, ajoutés en commençant par ceux de la première colonne, puis de la deuxième …
Exemple 19 :
Après les instructions : u=1:10;s=sum(u),t=cumsum(u) on obtient : s =
55.
t =
1. 3. 6. 10. 15. 21. 28. 36. 45. 55.
La fonction prod(A) renvoie le produit des éléments d’une matrice A.
La fonction cumprod(A) renvoie une matrice de même taille que A, dont les éléments sont les produits partiels des éléments de A, multipliés en commençant par ceux de la première colonne, puis de la deuxième …
Exemple 20 :
Après les instructions : u=1:8;p=prod(u),q=cumprod(u) on obtient : p =
40320.
q =
1. 2. 6. 24. 120. 720. 5040. 40320.
Remarque 31 :
Ces fonctions sont la plupart du temps utilisées avec des vecteurs.
cumsum permet de calculer les sommes partielles d’une série et de conjecturer sa convergence ou divergence éventuelle
L’utilisation de cumprod est très pratique pour le calcul des factorielles et évite l’utilisation d’une boucle for.
