Calcul matriciel

Stanislas

T.D. 18

Calcul matriciel

Introduction à la diagonalisation MPSI 1

2015/2016

Dans tout ce problème, ndésigne un entier naturel non nul, K le corpsR ouC etE un espace vectoriel de dimension n.

Partie I : Valeurs propres

Pour toute matriceA∈Mn(K), le scalaireλest une valeur propre deA s'il existeX∈Mn,1(K) non nul tel queAX=λX. Le spectre deA, notéSp(A), est l'ensemble des valeurs propres deA. Siu est un endomorphisme deE, un scalaire λest une valeur propre deu s'il existe un vecteur x non nul tel que u(x) =λx. Le spectre de u, noté Sp(u) est l'ensemble des valeurs propres de u. Le vecteur X (resp.x) est un vecteur propre de A(resp. u) associé à la valeur propreλ. 1. Exemples.

a)Soit (λ1, . . . , λn)∈Kⁿ. Déterminer les valeurs propres deDiag{λ₁, . . . , λn}. b)Soit hune homothétie de E. Déterminer les valeurs propres deh.

c)Soitu un endomorphisme nilpotent, i.e. il existe un entier naturel non nulptel queu^p−16=

0_L(E) etu^p = 0_L(E). Déterminer les valeurs propres deu. d)Déterminer les valeurs propres de la matrice A=

1 2 3 4

.

On cherchera à caractériser les valeurs propres comme racines d'un polynôme de degré2.

2.Montrer queλest une valeur propre deAsi et seulement sidet(A−λI_n) = 0. En déduire que, pour tout endomorphismef et pour toute base B deE,Sp(f) = Sp(M_B(f)).

3. Montrer que pour toute matriceA∈Mn(K), siB est semblable àA, alorsSp(A) = Sp(B). Pour tout A∈Mn(K), le polynôme caractéristique deA est χ_A(X) = det (A−XI_n).

4. Propriétés.

a)Montrer que χ_A est un polynôme de degrén.

b)Déterminer le coecient dominant, celui de degrén−1 puis celui de degré0 deχ_A. 5.Montrer queλest une valeur propre deA si et seulement siχ_A(λ) = 0. En déduire le nombre maximal de valeurs propres distinctes deA.

6.Soitθ∈R. Déterminer les valeurs propres de 0 1

1 0

,





1 2 0

0 3 0

2 −4 2



etR_θ=

cosθ −sinθ sinθ cosθ

. (On distinguera selon les casK=RouK=C).

Partie II : Sommes directes

Soit u un endomorphisme deE et λune valeur propre deu. Le sous-espace propre associé à la valeur propre λest l'espace vectorielEλ(u) = Ker (u−λIdE).

7.Montrer que, siu etv sont deux endomorphismes deE qui commutent, alors les sous-espaces propresEλ(u) deu sont stables parv.

8. Soit u un endomorphisme de E et {λ₁, . . . , λ_p} l'ensemble de ses valeurs propres distinctes.

Montrer que la somme Eλ1(u) +· · ·+Eλp(u) est directe. En déduire le nombre maximal de valeurs propres distinctes deu.

Soit on choisira une récurrence surp, soit on utilisera les déterminants de Vandermonde.

Partie III : Diagonalisation

Stanislas A. Camanes

T.D. 18. Calcul matriciel MPSI 1

Un endomorphisme u ∈ L(E) est diagonalisable si E est somme directe de ses sous-espaces propres.

9. Montrer queu est diagonalisable si et seulement s'il existe une base de E formée de vecteurs propres deu.

10. Montrer que u est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous- espaces propres est égale à la dimension deE.

11. Montrer que si upossède nvaleurs propres distinctes, alors u est diagonalisable.

Une matrice M ∈ Mn(K) est diagonalisable si et seulement s'il existe une matrice inversible P ∈G`n(K) et une matrice diagonale Dtelle que M =P DP⁻¹.

12. Parmi les matrices étudiées dans la première partie, lesquelles sont diagonalisables ?

Stanislas A. Camanes